16.4.Парабола.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Парабол ою називається множина точок площини, для кожної з яких відстань до даної точки дорівнює відстані до даної прямої, яка не проходить через дану точку.

Така точка називається фокусом параболи, а пряма - директрисою (напрям-ною). Відстань від фокусу до директриси називається фокальним параметром пара-боли і позначається черезр.

Виберемо систему координат таким чином, що вісь Ох проведено через фокус F перпендикулярно до директриси. Точку перетину осі абсцис з директрисою по-значимо через D (рис. 12), за початок координат О візьмемо середину відрізка/Ж, за додатний напрям осі Ох - напрям променя OF.

У цій системі координат фокус Fuae координати триси є рівняння

;0

а рівнянням дирек-

 

х +

р

0.

Нехай М(х; у) - будь-яка точка шуканої множини. Опустимо з точки М пер-пендикуляр на директрису, і нехай N - основа цього перпендикуляра. Тоді \МЩ є відстань від точки Мдо директриси і, отже,

\MF\ =\MN\.

 

Рис. 12.

Розділ 16. Криеі другого порядку

Оскільки Mr

 

+ У'

MN\ = х +

Р

TO

 

+ У'

 

х +

Р

Це рівняння є рівнянням параболи у вибраній системі координат. Його можна спростити. Внаслідок того що обидві частини рівняння невід’ємні, то рівняння

 

+ У

 

х +

Р

2

рівносильне попфедньомурівнянню . В результаті перетворень дістанемо рівняння

у2 = 2рх.

Воно називається канонічним рівнянням параболи.

Наведемотакі властивості параболи:

/. Парабола має вісь симетрії.

Змінна^ входить урівняння тільки у другому степені. Тому якщо координати точки М(х; у) задовольняють рівняння параболи, то й координати точки N2(x; -у) задовольнятимуть його. Точка N} симетрична точці N2 відносно осі Ох. Отже, вісь Ох є симетрією параболи. Вісь симетрії параболи називається віссю параболи. Точ-ка перетину параболи з віссю називається вершиною параболи. Вершина параболи знаходиться в початку координат.

 

Рис. 13.

Розділ 16. Криеі другого порядку

2.         Парабола розміщена у піеплощині х > 0.

Справді, оскільки параметр/» додатний, то рівняння можугь задовольняти тільки

точки з невід’ємними абсцисами, тобто точки півплощиних > 0.

3.         Парабола є об'єднанням графіків функцій

y = +yJ2px, у = -д/2/ЯХ (рис. 13). Щобупевнитися в цьому, досить розв’язатирівняння відносно змінної^.

Приклад 1. Світловий промінь у— -2 падає на дзеркало, осьовим перерізом якого є парабола^2 — 24х (рис. 14). Знайти рівняння прямої, якій належить відбитий промінь.

 

Рис. 14. Розв'язання.

Якщо падаючий промінь паралельний головній оптичній осі параболічного дзеркала, то відбигий промінь проходить через його фокус. У цьому разі вісь пара-болічного дзеркала збігається з віссю Ох. Пряма^ — -2 паралельна осі абсцис, і тому відбитий промінь пройде через фокус параболи у2 — 24х. Оскільки 2р — 24, тобто

р

— = 6, то фокусом параболи є точка F(6; 0).

Щоб знайти точки падіння світлового променя, треба розв’язати систему рівнянь

{

2 у =24д;

Розділ 16. Криеі другого порядку

Розв'язавши цю систему, знайдемо точку падіння променя A

6

 

Відбитий промінь належить прямій, яка проходить через точки Запишемо рівняння цієї прямої

у- 0 х-6

             =        

-2-0 1

 

V0 J

і (6; 0).

Звідси отримаємо \2х — 35>> - 72= 0.

 

F

F

Якщо фокус параболи розміщений лівіше осі Оу (рис. 15), тобто має координа-

то рівняння параболи буце:

у2 = -2рх-

ти F

2

Якщо фокус параболи лежить на осі Оу (рис.16), тобто має координати , то рівняння параболи буце:

V *■ J

х — 2ру ■

Якщо фокус параболи лежить на осі Оу (рис.17), тобто має координати

то рівняння параболи буце:

х1 = -2ру-

п Р

 

Рис. 15.

Рис. 16.

Рис. 17.

 

Розділ 16. Криеі другого порядку