16.3.Гіпербола.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Гіперболою називається множина точок площини, для кожної з яких модуль різниці відстаней до двох даних точок площини сталий і менший за відстань між цими точками.

Такі точки називаються фокусами гіперболи, а від стань між ними - фокаль-ною відстанню.

Позначимо фокуси гіперболи буквами F„ Fv Нехай фокальна відстань \FF I —2с.

ffH;0 0

1          і

 

IIF,A/1 - \F.M\\=2a Рис. 10.

Рис. 11.

Якщо M- довільна точка гіперболи (рис. 10) , то за означенням гіперболи мо-дупь різниці \F, А/І - \F.M сталий. Позначивши його через 2а, дістанемо

||F1M| - |F,M||= 2a.

 2

Зазначимо, що за означенням гіперболи 2а < 2с, тобто а<с.

Дана рівність є рівнянням гіперболи. Виберемо систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокуси гіперболи; вісь ординат проведемо через сере-дину відрізка F F2 перпендикулярно до нього Тоді фокусами гіперболи будуть точ-KaFji-cfi) \F2{c;0) (рис. 11).

Нехай М(х; у) - будь-яка точка гіперболи, тоді

FXM = -y(jc + с)2 + у2 і і^-^І = л/(х ~ с)2 + У'

Підставляючи значення \F, А/1 і Іі7, А/1 в рівняння дістанемо

л\(х + с)г + у2 —л\{х — с)г + у2 -2а.

Розділ 16. Криеі другого порядку

Це рівняння є рівнянням гіперболи у вибраній системі координат. Його можна звести до більш простого вигляду.

Нехай х > 0, тоді рівняння можна записати без знака модуля:

-^(х + с)2 + у2 -лі(х-с)2 + у2 = 2а, або

л/(л: + с)2 + у2 = 2а + л\(х - с)2 + у2 Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату

(х + с) +у =4а +4a-\J(x-c) +у + (х - с) + у' Звідси

(х-с) + у

 2 С

 х — a

2/-Ї      ,2,2^"   2/-Ї      2

х — 2хс + с + у = — х — 2сх + a

^          2

a

За означенням гіперболи а<с, тому с2 - а2 - додатнє число. Позначимо його через Ь2, тобто покладемо ¥= с2 - а2, тоді рівняння набирає вигляду

Xі -у1 =Ь'

Розділивши почленно на Ь2, дістанемо рівняння

2          2

х _у =1

2          і 2

Якщо х < 0, то рівняння записують без знака модуля

-л/(х + с)2 + у2 +лІ(х-с)2 + у2 =2а, і так само, як при х > 0, зводиться до канонічного виду

2          2

Рівняння        = 1 називається канонічним рівнянням гіперболи.

2          7 2

Приклад 1. Записати канонічне рівняння гіпфболи, яка проходить через точку

М

 9Л

якщо фокальна відстань гіперболи дорівнює 10.

5; V 47

Розділ 16. Криеі другого порядку

Розв’язання. Оскільки \F7 FJ=10, TO C = 5. Запишемо канонічне рівняння гіперболи

2          2

a 2 62 Заумовою точка належить гіперболи, отже:

25 81

 

= 1. a 166

3 другого рівняння дістанемо співвідношення для визначення а2 і Ь2:

/2         2          2          2

о = с — a =25 —a . Розв 'язавши систему:

25 81

 

a1 \6b2

-1

;

/2         2

о = 25 - a

х2 У1

знайдемоa2 = \6, b2 = 9. Шуканимрівняннямєрівняння   — = 1.

16 9 Приклад 2 Довести, що рівняння

20х2 -29j2 = 580-є рівнянням гіперболи. Знайти координати фокусів.

Розв’язання. Розділивши обидві частини рівняння на 5 80, дістанемо

2 2

X V

            = 1.

29 20

Це є рівняння гаперболи, для якої а2=29, Ь2=20. Із співвідношення Ь1+а2= с2 знаходимо с2 =29 + 20 — 7, с — 7. Отже, фокуси гіперболи знаходяться в точках F,(-7;0), F,(7;0).

Дослідимо гіперболу за його рівнянням.

Розглянемо гіперболу, задану в деякій прямокутній декартовій системі коорди-нат своїм канонічним рівнянням

2          2

х _у =1 а2 Ь1

Наведемо такі властивості гіпфболи:

/. Гіпербола не має спільних точок з віссю Оу, а вісь Ох перетинає в двох точках.

Розділ 16. Криеі другого порядку

Щоб визначити координати точок перетину гіперболи з віссю Оу, треба розв ’язати сумісно їх рівняння

2          2

Х         У -1     0

a 2 Ь2

Підставляючи х — 0 в рівняння гіперболи, дістанемо^2 = -b2, а це означає, що система не має розв’язків. Отже, гіпербола не перетинаєвісь ординат.

Щоб визначиги координати точок перетинугіпфболи з віссю Ох, требарозв’я-зати сумісно їх рівняння

2          2

            — = 1, У=0-

a 2 Ь2

Точка перетину гіперболи з віссю Ох повинна мати ординату^ — 0 і, крім того, повинна належати гіперболі. Підставивши^ =0 в рівняння гіперболи, дістанемо

х —±а.

Отже, точками перетину гіперболи з віссю Ох буцуть точки А(а; 0) і В(-а; 0); вони називаються вершинами гіперболи.

Відрізок АВ називається дійсною віссю гіперболи. Довжина відрізка АВ, оче-видно, дорівнює 2а. Число а називають дійсною піввіссю гіперболи, число Ь - уяв-ноюпіввіссю.

2.         Гіпербола має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії.

В рівняння змінні х і у входять тільки у другому степені. Таким чином, якщо координати точки Щх; у) задовольняють рівняння, то це ж рівняння задовольняти-муть і координати точок N}(-x; у) і N2(x;-y).

Легко бачити, що точка ЛГ симетрична точці N відносно осі ординат, точка N2 симетрична точці N відносно осі абсцис. Таким чином, гіпербола має дві осі си-метрії, вони взаємно перпендикулярні.

3.         Гіперболамає центр симетрії.

Якщо координати точки Щх; у) задовольняють рівняння гіперболи, то це саме рівняння задовольняють ікоординатиточкиАТ(-х;-};). ТочкаАГ, очевидно, симетрична точці N відносно початку координат. Таким чином, гіпербола має центр симетрії. Цешр симетрії гіпфболи називається центром гіперболи.

Ь

4.         Гіпербола перетинається з прямою у = кх при |к\< — у двох точках. Якщо

a

| k|>, то спільних точок у гіперболи і прямої немає. a Щоб визначити координати точок перетину гіперболи і прямої у = he, треба розв’язати систему рівнянь

Розділ 16. Криеі другого порядку

x1 y2

            = 1

a2 b2

y - kx Викпючаючи^ дістанемо

Xі k2x2

 

= 1

a 2 b 2

ЗВІДКИ

(b2 -k2a2)x2 =a2b2.

При b2 - k2a2 < 0, тобто при \k\ >, здобуге рівняння, a тому й система

a розв'язків не мають. Отже, прямі, що проходять через початок координат з куго-

, • •      ь

вим коефщієнтом, модупь якого більше або дорівнює, не перетинають гшербо-

а

1-, ■ ■ b          b

лу. Прямі, рівняння яких мають вигляд у = — х, V =       X , називаються асимпто-

а          a

тамигіперболи.

,, ,. .     _          ,,, b

При Ь1-к1а1 > 0, тобто при \к\<, система має два розв язки:

a

ab        kab

лІЬ2 -к2а2      лІЬ2 -к2а2

Таким чином, кожна пряма, що проходить через початок координат з кутовим

Ь коефщієнтом, модуль якого менший ніж —, перетинає гшерболу у двох точках.

a Прик — 0 з формул дістаємох = ±а,у = 0, тобтопряма^ — 0 перетинаєгіперболув ії вфшинах.

Оскільки гіпфбола симетрична відносно осей координат, то досигь вивчити її форму в першому квадранті координатної площини. 3 формул

ab        kab      7 п

х = + =            г,         у = +    г, к>0-

лІЬ2-к2а2       лІЬ2-к2а2

Розділ 16. Криеі другого порядку

X = + !            ,           J = i

маємо, що із зростанням к від 0 до (при цьому пряма^ = кх повертається проти

a

руху стрілки годинника) і абсциси, і ординати точок перетину прямої з гіперболою зростають. Пряма^ — кх перетинає гіпербопу у більш віддалених від початку коорди-нат точках. Отже, гіпербола має вигляд, зображений на рис. 11. Вона складається з двох не зв'язаних між собою частин, які називаються її вітками.

 

Рис. 11. Як вже бачили (рис. 11), права вітка гіперболи розміщена вище від асимптоти

Ь .        .           Ь          .           Ь

у =       і нижче від асимптоти у =. Тому відношення півосеи гшерболи

a          a          a

визначають її форму Чим менше це відношення, тим сильніше гіпербола стиснена до осі Ох.

Як і у випадку еліпса, для характеристики форми гіперболи доцільно користува-

Ь .        С

тися не відношенням — , а відношенням — .

a          a

Відношення півфокусної відстані с до дійсної півосі а називається ексцентриси-

тетом гіперболи. Ексцентриситет позначається буквою е. Отже,

с е = —-a

Оскільки для гіпфболи с > а, то ексцешрисигет гіпфболи задовольняє нерівності

е>\.

ь

Виразимо ексцентриситет гіперболи через відношення її півосей:

a

с л]а2 +Ь2

е= =     ,

a          a

Розділ 16. Криеі другого порядку

1 +

тобто:

 

е =.

\а)

Ь

Згідно з формупою, меншим значенням відношення відповідають менші

a значення ексцентриситету. Таким чином, чим менший ексцентрисигет гіперболи,

тим сильніше стиснена вона до осі абсцис.

Гіпербола називається рівносторонньою (або рівнобічною), якщо довжини її

півосей рівні між собою. Оскільки для рівносторонньої гіперболи а— Ь, то її рівняння

має вигляд:

х2 -у2 =а2.

Асимптотами рівносторонньої гіперболи є прямі у — х і у — -х. Отже, асимптоти рівносторонньої гіперболи взаємно перпендикулярні. Ексцентриситет рівносторонньої гіпфболи:

Є = л/2 •

Приклад3. ДанофокусигіперболиF.C-IO; 0)і F,(10; 0)таіїасимптоту4х + 3у = 0. Знайти рівняння гіперболи. Розв'язання

Записавширівнянняасимпгогиувигляді у =           х, знайдемо відношення піво-

г. /і       3

Ь 4

СЄЙ ГІПЄрбоЛИ = 7 ■

a 3 3 умови задачі випливає, що с = 10. Тому а2 + Ь2 = 100. Задача зводиться до

розв 'язання рівнянь

Ь 4

 

a 3

a +b =100

,-r-       ,4

Підставивши Ь = — а удругерівняннясистеми, дістанемо

3          2

2 16а

a A      = 100.

2          2

X у

звідки а2 — 36. Тепф знаходимо Ь2 — 64. Оіже, гіпербола має рівняння        = 1 .

36 64

Розділ 16. Криеі другого порядку