Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_59a72a2aefadb55865a477efaf22092b, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
16.2.Еліпс. : Вища математика : Бібліотека для студентів

16.2.Еліпс.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Еліпсом називається множина точок площини, для кожної з яких сума відста-ней до двох даних точок тієї самої площини стала і більша за відстань між цими точками.

Такі точки називаються фокусами еліпса, а відстань між ними фокальною відстанню. Покажемо, як, виходячи з означення еліпса, можна розбити еліптичну юіумбу Заб'ємо в землю два кілочки (рис .6) потім нигку зв’яжемов кільце і натяг-немо це кільце на обидва кілочки. Натягнувши нитку третім кілочком, креслимо еліпс. Змінивши відстань між кілочками і довжину нитки, дістаємо еліпси різних розмірів і форм.

 

Рис. 6.

Розділ 16. Криеі другого порядку

Позначимо фокуси еліпса буквами F, і і7,. Нехай фокальна відстань F-[F2\ — 2с .ЯкщоМ-довільнаточкаеліпса(рис. 7), тозаозначенням еліпсасума F^M + \F2M євеличинастала. Позначившиїїчерез 2а, дістаємо

FXM +\F2M= 2a.

Зазначимо, щозаозначенням еліпса2а > 2с, тобтоа> с. Попереднярівністьє рівнянням еліпса. Якщо точка F, збігається з точкою F. то рівняння еліпса набирає вигляду

2|FjAf = 2a,mo6moFxM\ -a. Це рівняння є рівнянням кола радіуса а з центром в точці F,. Таким чином, коло є

окремим випадком еліпса.

 

\FfM\+\F2M\*2a

Рис.7.

Рис. 8.

Вибиримо систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокуси еліпса, вісь ординат через середину відрізка F F2 і перпендикулярна до нього.

Тоді фокусами буцуть точкиі^Г-сіО) і FiciO) (рис. 8). Нехай М(х;у) - буць-яка точка еліпса, тоді

FXM -ЛІ(Х + С)2 + у2 iF2M\ --yj(x-c)2 + у2 , підставляючизнайдені значення F,M і F2M врівняння еліпса, дістаємо

л](х + с)2 + у2 +лІ(х-с)2 + у2 = 2а-

Зведемо дане рівняння до простішого вигляду. Для цього перенесемо другий доданок в праву частину і піднесемо обидві частини рівняння до квадрату

(х + с) +у =4а -4алІ(х-с) +у + (х-с) +у

після спрощень дістаємо

^(х — с) + у =а          х.

Розділ 16. Криеі другого порядку

Піднісши обидві частини до квадрату матимемо

Звідси

(х-с) +у =(а     %У

a

a1 -С2 22        2          2

            х +у -а —с ,

а2

за означення еліпса а> с, тому а —С - додатнє число. Позначимо його через Ь2, тобто Ь — a — С ■ Тоді рівняння набере вигляду

1)2 2 , 2 ,

^Х + у -Ь

а2

Розділивши обидві частини рівності на Ь2 отримаємо

2          2

х У 1

а2 Ь2

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпса. Якщо а=Ь, тобто с=0, то рівняння еліпса набуває вигляду

х1 +у2 =а2, що визначає рівняння кола.

Приклад 1. Скласти канонічне рівняння еліпса, який проходигь через точку М (5;0), якщо фокальна відстань дорівнює 6. Розв'язання: Оскільки фокальна відстань дорівнює 6, то с — 3. Запишемо рівняння еліпса

a 2 Ь2 Заумовою задачі точкаМ(5;0) належить еліпсу отже

a звідсиа2 = 25. ЗнайдемоЬ2, ¥= а2 -с2 = 25 - 9 = 16. Отже, шуканим рівнянням еліпса є рівняння

Xі У1 — + — = 1.

25 16

Розділ 16. Криеі другого порядку

Приклад 2. Довести, що рівняння 36х + lOOy — 3600 = 0 є рівнянням еліпса, знайти координати фокусів і фокальну відстань. Розв'язання: Розділивши обидві частинирівнянь на 3600, дістаємо

х2 у2

— + =1, 100 36

це є рівнянням еліпса.

3 рівняння Ь2 = а2 - с2 випливає, що а2 - Ь2 =с2. Оскільки а2 = 100, Ь2 = 36, то с2 = 64,

звідси с = 8. Фокуси еліпса знаходяться в точкахF;(-8; 0) і F18; 0). Фокальна відстань

FjF2 =16 .

Дослідимо еліпс за його рівнянням.

1.         Еліпс не проходить через початок системи координат, так як координати точ-ки О(0 ;0) не задовільняють рівняння.

2.         Еліпс перетинає кожну з осей координат в двох точках.

Щоб визначити координати точок перетину еліпса з віссю Ох, треба розв'язати

х1 у1 рівняння 2 + 2 — A , та у=0, одержимо х = ±а • а Ь Отже, точками перетину еліпса з віссю Ох будуть А(а;0) і С(-а;0). Аналогічно знаходимо точки перетину з віссю Оу: B(0;b) i D(0;-b). Точки A, В, С, D називають вершинами еліпса.

Відрізок АВ називається великою віссю еліпса, відрізок BD - малою віссю. Фокуси еліпса F1 і F2 лежать на великій осі. Довжина великої осі дорівнює 2а, малої осі 2Ь. Числа a і Ь називаються півосями еліпса.

3.         Еліпс має дві взаємно перпендикупярні осі симетрії, а також центр симетрії.

Це легко показати, так як невідомі в рівняння входять тільки в другій степені.

Центр симетрії еліпса називається центром еліпса.

4.         Еліпс можна дістати рівномірним стиском кола.

Розгянемо коло радіуса R=a з центром в початку координат. Нехай Р(Х; Y) довільна точка кола (рис. 9).

 

У                    

I J>      At        I i

1 0       і           Ja

Рис. 9.

Розділ 16. Kpuei другого порядку

2          Т7-2

X I

Тоді — Н        = 1. Точці P(X; Y) на копі поставимо у відповідшсть точкуР(х; у)

a a

Ь таку, щоб х=Х і у = — ї. Точку Р дістанемо завдяки зсуву точки Р, при якому a

_          .           . Ь тг

абсциса не змшюється, а ордината зменшується у відношені — . Координати точки

Р, задовшьняють рівняння елшса

х2 у2 X2

b т, ї . [a J X Y

 "I        = — Н            = — "I = 1.

a 2 b 2 a 2       b 2       a 2 а2

Отже, Р знаходигься на еліпсі.

Таким чином, еліпс можна дістати з кола рівномірним стисканням до осі Ох,

Ь при якому ординати точок зменшуються в тому самому відношенні . Звідси вип-

а

Ь ливає, що форма еліпса залежить від значення — . Чим менше це відношення, тим

a

Ь більш стиснутим буде еліпс, і, навпаки, чим більше відношення, тим еліпс буде

a

Ь          Ь

більш округлим. Якщо значення — найбільше, тобто — =1, то еліпс перетворєються

a          a

в коло. Для характеристики форми еліпса доцільно користуватися не відношенням

Ь          с

, а відношенням . Відношення півфокусної відстані с до великої півосі а нази-

а          a

вається ексцентриситетом еліпса. Його позначають буквою е.

С Є =. a

Оскільки 0 < с < a ,то ексцешрисигет еліпса задовільняє нфівності 0 < е < 1 .

/2 т 2

с ліа — b

Звідси е = =    або е

a          a

1- '

Приклад. Дано два еліпса 16х2 + 25у2 - 400 = 0 та 9х2 + 25у2 - 225 = 0. Порівняти їх форму Розв'язання:

Розділ 16. Криеі другого порядку

• X2 У2 i • X2 У2       тт

Пфепишемо рівняння елшсів y ВИГЛЯДІ  1          = 1 1    h = 1. Для Пф-

25 16   25 9

r.                     3

шогоеліпса a1 = 5,ЬЇ = 4,відповідно с: = -v 25 —16=3, gj =. длядругогоеліп.     .           ПГ7.    —        Ч

са а2 =5, о2 = 3, відповідно с2 = л/25 — 9=4, е2 = — . Вданомувипадку е2 > е:, відповідно другий еліпс стиснутий до великої осі більше ніж перший.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_59a72a2aefadb55865a477efaf22092b, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0