15.5. Відстань від точки до прямої.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Під відстанню від точки М, (х,; _у, ) до пря-

/           мої /, що задана рівнянням

ах + by + с=0,

Мо      розуміють довжину перпендикупяра \МйМх , де

^МС    М0(х0;у0) є ^- (рис.Ю).

Відомо, що п — {а, Ь) - це нормальний вектор даної прямої, а вектор

a          b

 нормальний одиничний вектор цієї ж прямої.

J

V

уіа2 + b2 4 а1 +Ь

Розділ 15. Прямі на площині

Вектори /7 та ММ перпендикулярні до прямої /, тому вони колінеарні.

Отже,

п0 ■ М0М

 

М0М,

cosl)

 

М0М,

Запишемо останню рівність в координатах:

М0М,

           

a

\а2 + Ь2

(Xj - х0) +

Ь

\а2 + Ь2

:ІУ\ ~Уо)

           

ах1 + Ьу1 - (ах0 + Ьу0)

la2 +Ь7

Оскільки точка М0 (х0; у 0 ) Є /, то ахд + by + с=0 і ахд + by —-с. Підстави-мо, одержимо рівняння відстані від точки до прямої:

М0М,

=

\ахх + Ьух + с\

V

2 , / ^

a + b

Приклад 8. Визначити відстань від точки М(3 ;2 ) до прямої 4х - Зу + 14 — 0 . Розв’язання: Підставимо дані умовив рівняння відстані від точки до прямої:

\axx+byx+c\ 4-3 +(-3)-2 +14 20

           

d

/ 2 , 7 1

ліа + b

Відповідь: J-4.

           

42 , / о\ ^ + (-3)

           

4.

Приклад9. ДановершинитрикугникаЖ-2;7),Ж2;-1), С(8;3). Записатирівняння:

1)         висоти опущеної з вершини^ на сторону5С;

2)         медіанипроведеної з вершини5. Розв’язання:

1) Запишемо рівняння висоти.47<С виконавши попередньо наступні дії:

a)         Виберемо довільно точку Mix, у), яка належить прямій^Л

->

b)         Знайдемо координати вектора AM:

ЛМ = (х - (-2 ); у — 7 ), У4М = (х + 2 ; у — 7 ) .

c)         Знайдемо координати вектора ВС '■

2?С = (—8 —2 ; 3 —(—1 )), 2?С = (—10 ; 4 ) .

d)         Використовуючи умову перпендикулярності векторів і запишемо рівняння

висоти АК:

Розділ 15. Прямі на площині

BC _L AM => BC- AM = 0 ,

або

-10(x + 2) + 4(y - 7)=0.

Отже, 5x - 2y + 24 = 0 -рівняннявисоти .47<f.

2) Для того, щоб записати рівняння медіани BD, необхідно знайти координати

точки Д яка ділить відрізок^Снавпіл. Тому:

х А + хс у А + ус

xD =    ; yD =  , тобто xD = -5; yD = 5

Запишемо рівняння медіани BD медіани, як рівняння прямої, що проходить чфез дві точки В і D:

х-2 у + 1 х-2 у + 1 _ , л п п

            =          •          =          , або Ьх-\2=1у-1.

-5-2 5+1 -7     6

Отже, 6х + 7у - 5 — 0 - рівняння медіани BD.

Відповідь: 5х - 2у + 24 — 0 - рівняння висоти АК; 6х + 7у - 5 — 0 - рівняння

медіани BD.