15.3.Кут між прямими


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Нехай прямі /, і /, задані рівняннями

ахх + Ьху + сх - 0 та а2х + Ь2у + с2 -0,

тоді пх — (а,,ЬА, П2 — (а2 ,Ь2 ) . Позначимо через (р кут між прямими l} і l2 , a

через у/-кутміжїхнормальнимивекторами ПХ,П2 .

Якщо у/ < 90 , TO (р= у/і coscp = cosy/ (рис. 7); якщо у/ > 90 , то (р= 180°- у/

icos^ = -cosiff (рис.8). Отже cosср = Icos^l.

 

Рис. 7.

Рис. 8.

Запишемо скалярний добуток векторів п . п

1 2

П\-Пї =

П\

ЇІ2

COS^.

 

Звідси

COS у/ =

щ • п2

1          2

Розділ 15. Прямі на площині

cos <p =

 

nx • n2

 

           

\ax ■ a2 + bx ■ b2

■sjaf + bf ■ -yjal + b2

Приклад 4. Обчислити куг між прямими

- Зх - 4у + 25 = 0, 4х + 3у — 25 = 0. Розв'язання: Запишемо нормальні вектори заданих прямих

Yl = 1

(—3;—4), п2 = (4;3).

Згідно вище наведеної формули отримаємо

cos <р =

 

3-4-4-3

V3 +4 -л/4 +3

 

25

використовуючи калькулятор отримаємо (р « 16 .

Відповідь: р«16°.

Якщо рівняння прямих /, та /, записані, як рівняння прямих з куговими коефі-цієнтамиу — кхХ + Ьх, у — к2Х + Ь2 ,тозаписавшиїхувигляді

кхх — у — Ьх = 0, кхх — у — Ьх - 0 •

одержимо координати нормальних векторів П\ ={кх,— 1), Пі = {к2\—1) і фор-мула для обчислення косинуса куга між прямими набуде вигляду

\кх ■ к2 + 1 cos^ =

^кх +1 • -Jk2 +1

ОскількиО0 <^<90°,Tosin^>0 і sin <р = д/T^cosV • Звідси

sin^ =

{

1-

0л+1)

V^ +1-^2 +1

 

*!-fc2

^kx+l-^k2+\

 

tg(p =

Sin£_ COS ^9

fc,-fc2

fc, • &2 +1

 

Розділ 15. Прямі на площині

tg(p =

K ~k2

k1 ■ k2 -1

Якщо знаменник в останній формулі перетворюється в нуль, тобто к1 ■ к2 + 1 — 0 , то прямі lj та 12 перпендикулярні, а куг (р= 900.

Розв’язання:

Рівняння прямих записано, як рівняння прямих з кутовими коефіцієнтами

Приклад 5. Знайти куг між прямими у

х . 3

=          1-2 \у = — х + 5 .

7          4

 

к = — , отже /g'^? =

+ 1

 

, 1,3

к1 =     А2

7          4

Кут між прямими дорівнює 450. Відповідь: #>= 450.

1 3 7 4

1 3 7 4

-1

 

Розв’язання:

Перевіримо, чи виконується умова перпендикулярності прямих з кутовими

Приклад 6. Довести, що прямі у

х

 

3 І у = 3х — 1 перпендикулярні.

 

 1

к2=3:

 

коефіцієнтами к1

V 3у Отже, прямі перпендикулярні.

1]-3 + 1—1 + 1 = 0.