15.2. Загальне рівняння прямої.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Якщо в одержаних вище рівняннях прямої виконати певні алгебраїчні перетво-рення, то всі вони будугь зведені до рівняння:

ах+Ьу+с- 0, яке називають загальним рівнянням прямої.

Наприклад, розглянемо рівняння прямої, яка проходить через дані дві точки:

Х-Х1 у — У1

            =         

*2"*1 У2-У1 . Позначимо х2 — X1 — g, у2 — у1 — d і зведемо до спільного знаменника

d(x — JC1) = g(y - у1),

dx — gy - dx1- gy1 або

ax + by + c -0. Аналогічно, розглянемо нормальне рівняння прямої

а(х — х1) + b(y — у1) - 0,

ах + by — (ах1 + Ьу1) - 0, тобто

ах + Ьу + с -0. Як бачимо, коефіцієнти а, Ь в загальному рівнянні прямої це координати нор-мал ьного вектора цієї прямої.

Відмітимо, що знаючи загальне рівняння прямої, можна завжди отримати хоча б одне з вище вказаних рівнянь прямої.

Розглянемо розміщення прямої відносно системи координат в залежності від значень коефіцієнтів а, Ь, с загального рівняння прямої.

 гт        0          r-         С

1. Якщо a = 0, то рівняння матиме вигляд by + С — , або у =    , тобто всі

ь

точки прямої матимуть ту саму ординату  ; це означає, що пряма паралельна

осі Ох.

2.Якщоа= 0, с = 0, торівнянняматимевигляд у = 0 ,тобтоодержиморівнян-

ня осі Ох.

с

3.Якщоо = 0,торівнянняматимевигляд ах + с = 0,або х =            ,тобтовсіточки

с

прямої матимугь ту саму абсцису   ; це означає, що пряма паралельна осі Оу.

a

Розділ 15. Прямі на площині

4. Якщо b — 0, с — 0, то рівняння набуває вигляд х = 0, тобто одержимо рівнян-ня осі Оу.

5.Якщос = 0,торівнянняматимевигляд ах + by = О.Церівняннязадовольня-ють координати точки 0(0,0) і, отже, пряма проходитиме через початок координат.

Знаючи загальне рівняння прямої можна визначити кут між прямими, як кут між їх нормальними векторами.