15. ПРЯМІ НА ПЛОЩИНІ 15.1.РІВНЯННЯ ПРЯМИХ.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Відомо, що пряму лінію на гшощині можна провести, якщо:

1)         задано дві точки;

2)         задано точку і паралельний їй вектор (такий вектор називаємо напрямним для даної прямої);

3)         задано точку і перпендикулярний їй вектор (такий вектор називаємо нор-мальним для даної прямої);

4)         задано точку та кут, який дана пряма утворює з додатнім напрямом осі Ох.

Складемо рівняння таких прямих.

1. Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

у к       \          

            ^г м     в

у/^А               

                        X

Нехай на прямій / задані точки А(х„ у,), В(х„ у,) (рис. 1).

Якщо точка М(х, у) належить прямій /, то век-

тор AM = (х — Хх\у — у1)колінеарний вектору

АВ - (х2 - Xj; у2 - ух).

Запишемо умову колінеарності векторів

У ~ У\

=

х — х

Рис. 1.

АМ\\АМ

Хг-*\ Уг-Уі

Дане рівняння визначає рівняння прямої, що проходить через дві точки. Отже, рівняння складено.

Якщо задані точки лежать на осях координат, тобто А(а, 0), 5(0, Ь) (рис. 2), то рівняння прямої, що проходить через дві точки буде записано так:

х — a у-0

—; або

0-а Ь-0

■ + 1 = -;

Рис. 2.

a

X

 

х У 1 —+ —= 1

а Ь

Останнє рівняння ще називають рівнянням прямих у відрізках

 

2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку з відомим напрямним вектором.

НехайточкаЖх,, у,) належигь прямій /, якапара-

лельнавектору р =(т,п) (рис. 3).ЯкщоточкаМ(х,у)

належить прямій /, то вектор AM = (х — Х1 \ у — у1)

Рис. 3.

колінеарний вектору р . Згідно умови колінеарності векторів отримаємо:

х - Xj У — У\

             ZZ     

т          п

Дане рівняння визначає рівняння прямої, що проходить через задану точку з заданим напрямним вектором.

3. Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до дано-го вектора (нормальне рівняння прямої).

Нехай точка А(х„ у,) належигь прямій /, а вектор

П —(а,Ь) перпендикулярний цій прямій (рис. 4). Якщо точка М(х, у) належить прямій /, то вектор

Рис. 4.

AM = (х — Х1; у — у1) перпендикулярний вектору Згідно умови перпендикулярності векторів

AM- п = 0 , отже

а{х — хх)+Ь{у — ух) - 0

Дане рівняння і є рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпен-дикулярно заданому вектору (нормальне рівняння прямої).

4. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай пряма / нахилена до додатного напрямку осі Ох під кутом а\ проходигь череззадануточкуЖх,, у,) (рис. 5).Побугуємотрикугник^ЛЖ, вякому АВ=х-х„

ВМ=у-у ZMBA = 90° .

MB

Якщо точка М(х, у) належигь прямій /, то АМАВ = a і ——

АВ

Розділ 15. Прямі на площині

tga.

y У\

A

Z\

м

В

 

=tga.

Отже,

У~У\

х — х,

Якщо позначиги tg a = k , TO отримаємо рівнян-ня прямої з кутовим коефіцієнтом к

у - у, - к(х — хЛ

X]        X         I          

рис. 5  Якщо a = 0°, TO і k=0, а це означає, що пряма /

паралельна осі Ох. Якщо a = 90°, TO k = tga немає змісту, а це означає, що пряма /паралельна осі Оу (перпендикупярна осі Ох).

Якщо пряма перетинає вісь Оу в заданій точці^(0, Ь), то рівняння прямої набу-ває вигляду

у -Ь-к(х-О),

у - kx + b.

Розглянемо ряд прикладів.

Приклад 1. Данотрикутник^5С, з заданими координатами вершин^(-3;2), 5(1;5)і С(5;-7). Записатирівняння медіани, щовиходитьзвфшини^. Розв’язання: Якщо точка М- середина сторони ВС, то легко визначити координати точки:

5 + (-7)

-1.

Ум

1 + 5 „ хм =—^ = ll

2          2

Підставивши координати точок^ і Мв рівняння прямої, що проходить через дві точки, отримаємо:

х+3 у—2

3+3 -1-2 абох + 2у-1—0.

Відповідь: х + 2у-\=0 -рівняння медіани ААВС проведеноїз вершини^.

Приклад 2. Записати рівняння прямої, що проходигь через точку^(4;-3) і відсікає на осях трикугник площею три квадратні одиниці (рис. 6). Розв’язання:

тт        ,           Х         У

Длярозв язкузадачізастосуєморівнянняпрямоіувідрізках  1          = 1.

а Ь

Розділ 15. Прямі на площині

 

ab

За умовою задачі SА — 3 кв.од. Площу прямокутних трикугників можна представити через довжини відрізків, які відсікає пряма на

Тому, ab = ±6 (два

 

осях координат, SA

знаки, оскільки а і Ь можу мати і різні знаки). Шукана пряма проходить через дану точ-куЛ(4; –3), томуїї координати задовольняють рівняння прямої у відрізках і ми можемо запи-

Рис. 6.

сати    1          = 1, тоото отримали ще одну

а Ь

залежністьміжа \Ь.

Для визначення a і Ь маємо дві системи:

ab = 6;

ab - -6;

 

la

Ь

-1;

la

= 1.

3 першої системи знаходимо а1 =2; Ь1 — 3 , a розв’язавши другу систему

 

отримаємо а2 = —4; Ь2 =

х у       х у

Запишемо рівняння шуканих прямих:        1          = 1 і     1          — 1.

2 3       -4        3

 

х у х 2у

Відповідь: - + — = 1; - = 1.

4 3

2 3

ПрикладЗ: Записатирівняння прямої, щопроходигь через точку Q(-3;4) і угво-рює з додатним напрямком осі Ох кут 300.

Розв’язання: Оскільки a — 30 , то к — tga —        . Підставивши значення

v3

k

Х1 = —3, у1 = 4 в рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, отримаємо

 "v3 /    \           ГГ       Д"

у - 4 = — (х + 3J, або V3x - 3у +12 + 33 = 0 .

 

Відповідь: д/3х - 3_у + 12 + 3/3 = 0

Розділ 15. Прямі на площині