Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_b6291aec73b8ee8f156f4bea99727d13, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
14.4. Дії над векторами, заданими своїми координатами. : Вища математика : Бібліотека для студентів

14.4. Дії над векторами, заданими своїми координатами.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

1.         При додаванні двох, або більше векторів їх відповідні координати додаються:

(xx;yx;zx) + (x2;y2;z2) = (xx+x2;yx+y2;zx+z2). Дійсно:

(xj + У\1 + ZS] + (хії + Угі + zik) = {х1+х2)ї + (у1+у2)] + (zx + z2 )к.

2.         При відніманні векторів відповідні координати віднімаються:

{хйУйгі)~{х2'У2'г2)~\хІ ~хі'іУ\ ~Уі'гІ ~z2)-Доведення аналогічне попередньому.

3.         При множенні вектора на число всі координати множаться на це число.

Справді, для вектора (Хх \ ух \ Zx ) та числа X маємо: X{xx;yx,zx) = х[хх1 + yj + гхЩ = (Хххї + XyJ + Xzxk} = (Xxx;Xyx;Xzx.

4.         Скалярний добуток двох векторів (хх \ух \ zx), (х2 \ у2 \ z2 ) дорівнює сумі

добутківвідповіднихкоординат: (xx',yx',zx) -(x2',y2',z2) — ххх2 + уху2 + zxz2.

СпРавді:         /           _ -\ /    _          -\

(xx;yx;zx) • (x2;y2;z2) = (хх1 + yj + zxkj- [x2l + y2j + z2kj =

= xxx2n + xxy2Tj + xxz2Ik + yxx2]I + yxy2]j + yxz2]k + zxx2kl +

+zxy2kj + zxz2kk

Оскільки cos90° = 0, cosO0 = 1 виконується Jf = Jj = kk = 1,a y = Jk = Jk = 0-Отже, ми можемо записати

(xx;yx;zx)-(x2;y2;z2) = xxx2 + yxy2 + zxz2 .

5.         Векторний добуток векторів a\Xx\yx\Zx\ i b ( X2; y2; z2 ) заданих своїми

координатами обчислюється так:

Розділ 14. Вектори

 

i           1          k                                            

                                               v1        z1        -          X1       z1        -          X1       V1

x1        У         z1        —                               / -                                / +                  

                                               .У2      ^2                    X2       ^                      X2       Л

x2        У2       ^2                                                                                                     

= (У1г2 " Z1Z2 )f + (^Х2 - Х1г2 )y + (х^ - У1Х2)І

(я,6,с)

6. Змішанийдобутоктрьохвекторів a\X1;y1;Z1 \, b \Х2;У2;22 ) * с\х3;У3;г3) дорівнює:

X1       Л         Z1

х2        У2       z2

х3        У3       Z3

Дійсно,

ax

 

/'          7          к                                                        

                                               Уа       Za        -          Х„        2а        -          Х„        Уа

*.         Уп       *а        —                               •/ -                              '/ +                  

                                               Уь       'Ч                    ч          Ч                     ч          Уь

Ai        Уь       *Ь                                                                                                     

к,

 

ха        Уа       Za

хь        Уь       Zb

Хс       Ус       Zc

(a,b,c) = ((axb)-c)

 

Уа       Za        ■xr-     Ха       Za        ■Ус +  Ха       Уа       ■Zc =

Уь       Zb                   ХЬ       Zb                   ХЬ       Уь      

Приклад 1.

Знаючи координати векторів a = (2,3,-4); b = (-1;2;1); с = (3;0;2), знайти

координати векторів a + b та a - с . Розв’язання:

3 + й=(2 + (-1);3 + 2;-4 + 1) = (1;5;-3), a-c = (2-3;3-0;-4-2) = (-1;3;-6),

Відповідь: a + Ь = (1; 5; -3); a - с = (-1; 3; -6) . Приклад2.

Знаючи координативекторів р = (-2;1;3) та q = (3;-2;-4) обчислитикоорди-

нативектора 3p-4q. Розв’язання.

3p-4q = 3-(-2;1;3)-4-(3;-2;-4) = (—6;3;9) — (12;—8;—16) = (-18;11;25)

Відповідь: 3g-4q = (-18;11;25).

Розділ 14. Вектори

Приклад 3.

Знаючи координати векторів a = (4;-l;l), Ь = (8;3;3), с = (5;1;1) обчислити: а) скалярний добуток векторів a ■ Ь ; б)векторнийдобутоквекторів axb ;

в) змішаний добуток векторів I a, b, с \. Розв'язання.

a) а-й = 4-8 + (-1)-3 + 1-3 = 32-3 + 3 = 32;

б) а

 

і j к                                                                

                        -1 1                 4 1                   4 -1

4 -1 1  "           33        / -        8 3       J +       8 3

83 3                                                               

 (-1 • 3 - 3 • ї)і — (4 • 3 - 8 • 1)/ + (4 • 3 - 8 • \)к = —6і — 4/ + 20к = (-6;-4;20);

в) (а,Ь,с)

 

4          -1 1                 4          -1        2                      8 3

8          3 3       =          8          3          1)         = 2       5 1

Ь          1 1                   Ь          1          1)                   

 2(8 -1 — 5-3) = -14.

Відповідь: а-Ь = 32; ях& = (-6;-4;20); (а,Ь,с) = -14 ■

На основі наведених вище формуп дій над векторами можна встановити на-ступні умови та співвідношення для ненупьових векторів

a(xl;yl;zl),b(x2;y2;z2), c = (xi;yi;zi). 1. Кут між векторами.

а-Ь = \a\-\b -cos<р■

звідси

cos ср =

 

ХхХг +УіУ2 + Z\Z2

^+yl+zl^x\+y\+z\

2. Умова перпендикупярності двох векторів:

а-Ь = Х[Х2 + ухуг + zxz2 = 0 (вектори перпендикупярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток рівний нупю).

Розділ 14. Вектори

. x y z   ....

3.Умова колшеарності двох векторів: 1 = 1 = 1 (вектори колінеарш тоді і

х2 у2 z2

лише тоді, коли відповідні їх координати пропорційні). 4.Умова компланарності трьох векторів.

(а,Ь,су

У1 У2 У3

(три вектори компланарні тоді і лише тоді, коли їх змішаний добуток рівний нулю). 5. Поділ відрізка АВ у заданому відношенні.

гт         ,, /        \           . n        . AM

Якщоточка М = yx;y;zj дшить відрізокАВувідношенні      = A, токоорди-

»г         і           •          MB

нати точки М знаходяться по формулі:

 

1 + Лх2           у1 + Лу2         Z1 + Az2

х =       ;у =      ;г

1 + Л   1 + А   1 + А

Якщо точка Мділить відрізок^5 навпіл TO A = 1, і координатиточки знаходять-ся згідно формул:

X1 + Ах2        у1 + Ау2         Z1 + Az2

X —    ; у —   ; Z —

2          2          2



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_b6291aec73b8ee8f156f4bea99727d13, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0