14.3. Розклад вектора по базису.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 

Загрузка...

Базисом на площині називають впорядковану пару неколінеарних векторів і точку відліку

Теорема. Будь-який вектор с на площині можна розкласти за двома неколінеа-

рними векторами а і Ь , тобтопредставитиувигляді: с = ха + уЬ ■

Розділ 14. Вектори

Доведення. Нехай вектори a ■> Ь ■> с компла-

нарні і вектори а та Ь неколінеарні. Від точки О

відкладемо всі три вектори і на продовженні век-

горів а та Ь побудуємо паралелограм ONCM

а          гак, щоб вектор с був його діагоналлю.

Тоді по правилу паралелограма с = ОМ + ON ■

Але ОМ = х ■ a, ON = у ■ Ь , як копінеарні вектори. Отже, вектор с = ха + уЬ ■

Числа, які стоять при базисних векторах урозкладі вектора за двома неколінеа-рними векторами називають координатами вектора в даному базисі і позначають

с=(х;у).

Відповідно в просторі базисом називатиметься впорядкована трійка некомпла-нарних векторів і точка відліку Для чотирьох некомпланарних векторів справедлива наступна теорема.

Теорема. Будь-який вектор d впросторіможнарозкластизатрьоманекомпла-

нарними векторами a, Ь і с , тобто представити у вигляді: d = ха + yb + zc .

Доведення. Від точки О відкладемо вектори a, Ь , с , d і на продовженні

векторів а, Ь , с побудуємопаралелепіпед OBDAOlBlDlAl вякомувектор ODl = d є діагоналлю. Як бачимо

OD = ОВ + ОА = ха + yb, ODl = OD + DDl = ха + yb + zc ■ Числа х, у, z які стоять при базисних векторах урозкладі вектора за трьома не-компланарними векторами називають координатами вектора в просторі і позначають

d = {x;y;z}.Якщобазиснівекторивзаємо-перпендикулярні (їх позначають /', j, к ), то разом з точкою відліку вони утворюють де-картову систему координат, а координати вектора в такому базисі називають декарто-вими координатами. В декартовій системі координат розклад вектора матиме вид a = хі + yj + zk ■ Якщо початком вектора a є точка A(xA;yA;zA), а кінцем - точка

Рис. 11.

В(хв;ув;гв^, то координати вектора

Розділ 14. Вектори

a = AB визначають як різницю відповідних координат точок А і В,

а = АВ = {хв-хА;ув -yA;zB -zj, тобто

a = AB = (хв -хА)ї + (ув -yA)J + (zB -zA)k . Звідси легко встановити довжину вектора як відстань між двома точками:

|5| = \АЩ = ^{xB -хА)2 + (ув -yAf + (zB -zAf .