14.6. Перевірка статистичних гіпотез про істотність розбіжностей між дисперсіями


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Перевірка статистичних гіпотез про рівність дисперсій має велике практичне значення, особливо при вирішенні технічних завдань, наприклад, при аналізі стабільності виробничого процесу до і після впровадження нової техніки і технології, точності приладів, машин і устаткування; однорідності двох сукупностей відносно таких ознак, як стаж роботи, рівень продуктивності праці; в біологічних дослідженнях тощо. На оцінці різниць дисперсій побудований один з найбільш ефективних статистичних прийомів кількісного дослідження видів причинно-наслідкових залежностей - метод дисперсійного аналізу, який детально викладений у розділі 8.

Потреба у перевірці гіпотези про рівність дисперсій виникає при порівнянні середніх величин, коли передбачається, що генеральні дисперсії рівні. Однак, вибіркові дисперсії, як правило, нерівні, тому потрібно під час перевірки статистичної гіпотези про рівність середніх перевірити гіпотезу про істотність різниці дисперсій.

Гіпотеза про рівність двох дисперсій перевіряється за допомогою F-критерія Фішера, а для оцінки істотності відмінностей ряду дисперсій при однаковій чисельності вибірок користуються критерієм Кохрана (q), при неоднакових вибіркових сукупностях -критерієм Бартлета (М).

F-критерій Фішера являє собою відношення двох вибіркових

. ~ г> 2 . ~ 2   .           .           .           -1-1

дисперсш S j і S 2 при відповідних ступенях ВІЛЬНОСТІ Кі 1 к2.

F,=-^eS?>S*.

Обчислений фактичний F-критерій за даними вибіркових сукупностей порівнюють з табличним (FT) з урахуванням для кожної дисперсії ступенів вільності варіації (kj і к2) при заданому рівні значущості (а). Стандартні таблиці F-критерію являють собою розподіл відношень більшої дисперсії до меншої, тому F-критерій

 

завжди буде більший одиниці (F>1), а за критичну область приймають коли Бф >FT

Якщо при перевірці статистичних гіпотез про рівність дисперсій

(Н0: S j — S 2) виявиться, що Бф >FT нульова гшотеза відхиляється, a

при Бф <FT - приймається.

п          •          I I        2 / г, 2 .-

Якщо за альтернативною гшотезою па: S j Ф S 2 вибирають

і і         2          2          .-

двосторонніи критеріи, а якщо па: S j > S 2 - вибирають односторонніи

критерій.

Послідовність перевірки статистичної гіпотези про істотність різниці між двома дисперсіями розглянемо на прикладі. Для перевірки гіпотези про рівність дисперсій (оцінки істотності різниці дисперсій) показників тривалості горіння електричних лампочок проведено механічний 5-ти і 10-ти відсотковий відбір однотипних підприємств 3 генеральної сукупності отримані вибірки з різною чисельністю

одиниць спостереження: Пі=25; n2=15; Sj — 12; S22 = 10.

Сформулюємо нульову і альтернативну гіпотези:

2 ^2 іі  2          2

0: Sj — S 2; па: Sj > S2.

Приймемо рівень значущості a — 0,05. Обчислимо фактичне значення F-критерію:

F =^L = ll = i2 ф S^ 10 ' '

Табличне значення F-критерію при кі=Пі-1=25-1=24, к2=п2-1= 15-1=14 і а=0,05 (р=0,95) дорівнює FT(0;o5)=2,35.

ОСКІЛЬКИ фактичне значення F-критерію значно менше табличного (Рф=1,2<Рт(0>05)=2,35) нульова гіпотеза про рівність дисперсій приймається, а це означає, що дисперсія ознаки (тривалість горіння лампочок) в меншій сукупності підприємств майже не відрізняється, тобто різниця між порівнювальними дисперсіями є неістотною (випадковою).

Для великих вибірок перевірка статистичної гіпотези про рівність двох дисперсій здійснюється через t-критерій нормального розподілу, який визначається за формулою:

t = ——          -,

μ-i

де: μ -2 - середня з помилок вибіркових середніх квадратичних відхилень.

 

_          S,         S7        .           _          r—2     T

Тут: JJLX = , ^=; jU2 = , ^=, звідси: JJLX1 =y]jU2 + JJLX .

•J2(n, -1)         \/2(n, -1)

V V 1  /           \ V 2    /

При необхідності отримання оцінки істотності декількох (більше двох) дисперсій з однакової чисельності вибіркових сукупностей використовують критерій Кохраща (q).

Критерій Кохрана (q) визначають діленням максимальної з порівнювальних дисперсій до суми всіх дисперсій.

S2

ІФ=!    ї           2         Г'

Sj +S2 +S3 +.... + Sn

Фактичну величину критерію Кохрана (qф) порівнюють з табличним значенням (qT) з врахуванням кількості ступенів вільності (k=n-l) і заданому рівні значущості (a).

Якщо фактична величина критерію Кохрана менша табличного (Чф<Чт), нульова гіпотеза приймається, а якщо ^>qT), нульова гіпотеза відхиляється, дисперсії визнають неоднорідними, оскільки їх відмінність істотна.

Розглянемо приклад. 3 метою дослідження годинної продуктивної праці робітників заводу було відібрано власне випадковим відбором три групи робітників по 9 осіб з цехів заводу. Для перевірки гіпотези про істотність різниць дисперсій отримані такі параметри: Пі= п2= п3= 9 осіб; S2 = 6; S22 = 6; S2 = 3; k= n-l=9-l=8; a =0,05.

Визначимо фактичний критерій Кохрана (qф): 66

Чф=     ^' *4ZOO.

6 + 5 + 3 14

Табличне значення критерію при кількості ступенів вільності к=8, ймовірності р=0,95 дорівнює qT(0j05)=0,3043.

ОСКІЛЬКИ   qф=0,4286>qT(005)=0,3043 нульова гіпотеза

відхиляється. Тобто дисперсії вважають неоднорідними, так як їх різниця досить суттєва.

Одним з найбільш потужніших критеріїв перевірки гіпотези про однорідність дисперсій вважається критерій Бартлета (М). Він використовується для оцінки істотності відмінності декількох дисперсій, вирахуваних з неоднакових вибірок. Теоретичною основою застосування цього критерію є припущення, що розподіл ознак у досліджуваних сукупностях є нормальним.

Суть розрахунку критерію Бартлета (М) заключається у порівнянні середніх дисперсій обчислених за формулами середньої арифметичної і середньої геометричної [26,161]:

 

Ea2n

а?=Еп1А/п[(а?Г].

a En,

Якщо порівнювальні дисперсії рівні, то обчислені середня арифметична і середня геометрична з дисперсій збігатимуться.

Критерій Бартлета (М) для перевірки дисперсій визначається за формулою

М = 1п=іг-Еп..

Перетворивши натуральні логарифми у десяткові формула Бартлета матиме вигляд:

М=2,3026 (lg a2 En, -En, lg o2 ).

E———

„          .. „ „     n, En,

Порівнявши відношення M:C, де L— 1+   ■          -,

3(m-l)

TO тому розподіл відповідатиме розподілу %2 (хі-квадрат) з кількістю

ступені вільності к=р-1 де р - КІЛЬКІСТЬ дисперсій, які порівнюються.

Критичні значення критерію (М) знаходять за стандартними таблицями

розподілу %2 при обраній довірчій ймовірності і кількості степенів

вільності.

Розглянемо послідовність перевірки статистичної гіпотези за

критеріями Бартлета на конкретному прикладі. В результаті

статистичного аналізу вибіркових сукупностей населення трьох

областей Західного регіону України щодо середньодушового вкладу в

Ощадний банк отримані наступні данні: Пі=100; п2=120; п3=130;

а2 — 22; а2 = 21; а2=20.

1          2          5

3 метою перевірки нульової гіпотези істотності відмінностей дисперсій отриманих з неоднакових вибіркових сукупностей, обчислимо необхідні параметри:

-т Ео2п 22 100 + 21120 + 200 130 7320

 20,91;

En,       100 + 120 + 130         350

lg О2 = lg 20,91 = 1,3203;

Еn,lg С2а =100 • lg 22 +120 • lg 21 +130lg 20 = =100-1.3424 + 120-1.3222 + 130-1.3010 = 462.034; M=2,3026-(lg a2En -En lg a2 )=2,3026(1,3203-350-462,034)=2,3026-(462,l 05-462,034)=2,3026-0,071=0,16348.

 

x— J+J+A       L

 , , n En , 100 120 130 350 1 0,0231685

C=l +   ■          •-l +                 = l_|     = 1,00386.

3(m —1)         3-2      6

Розрахункова величина критерію Бартлета дорівнюватиме: М = 0Д6348 =0Д^ С 1,00386 Табличне значення уі при ймовірності р=0,95 і числі ступенів вільності к=р-1=3-1=2 становитиме %^( =095) = 6,0.

ОСКІЛЬКИ %ф =0,163 <%^(з=095) = 6,0 можемо зробити висновок

про неістотність відмінностей у дисперсіях, тобто ці відмінності є випадковими, а отже, результати статистичних спостережень підтверджують гіпотезу, яка перевірялась.