11.6 Особливості вимірювання взаємозв’язків в рядах динаміки


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

При вивченні кореляційних зв'язків в багатомірних рядах динаміки спостерігається певна залежність рівнів даного періоду від попереднього, внаслідок чого виникають певні методологічні особливості. В таких динамічних рядах фактором зміни рівнів виступає, крім інших, також час.

Вплив даного рівня динамічного ряду на зміну наступного з плином часу приводить до так званої автокореляції. Тому кореляційно-регресійний метод правильно покаже зв'язок між явищами динамічних рядів лише в тому випадку, якщо в кожному з цих рядів відсутня автокореляція.

В практиці економіко-статистичного аналізу рядів динаміки застосовують різні способи усунення автокореляції, такі як спосіб різницевих перетворень (при лінійному тренді), спосіб відхилень тенденції (при нелінійній залежності), або введення змінної величини t в рівняння регресії у, = f (х1; х2, х3,..., t), де вона відіграє роль фактора часу.

При застосуванні методу регресії для дослідження динамічних рядів виникає особливість, яка заключається в тому, що в рівнях динамічних рядів присутня авторегресія, яка проявляється так же, як і автокореляція.

Авторегресія виражає залежність величини рівня динамічного ряду від попередніх значень рівня в певні моменти часу.

Методику побудови рівня регресії з введенням фактора часу розглянемо на прикладі двох вхаємозв'язаних рядів динаміки: глибини зрошення багаторічних трав з добавленням органічних компонентів yt, та урожайності насіння цих трав xt (табл. 11.31).

 

Таблиця 11.31 Розрахункова таблиця для обчислення коефіцієнтів регресії.

 

            Глибина                                                                                          

            зрошення 3    Урожайність                                                                       

            добавленням насіння                                                                                

Роки    органічних компонентів,     багаторічних трав, ц/га        t           Xі        Xі        ху        xt         yt         St

            см. (х) (у)                                                                             

1997    12        5,6       -5        25        144      67,2     -60      -28,0   4,9

1998    8          4,0       -4        16        64        32,0     -32      -16,0   3,4

1999    10        4,0       -3        9          100      40,0     -30      -12,0   4,3

2000    6          2,4       -2        4          36        14,0     -12      -4,8     2,8

2001    9          3,6       -1        1          81        32,4     -9        -3,6     4,0

2002    15        5,0       0          0          225      75,0     0          0          6,4

2003    11        4,6       1          1          121      50,6     11        4,6       4,9

2004    13        6,5       2          4          169      84,5     26        13,0     5,8

2005    14        7,0       3          9          196      98,0     42        21,0     6,3

2006    10        4,5       4          16        100      45,0     40        18,0     4,8

2007    12        6,0       5          25        144      72,0     60        30,0     5,6

Разом  120      53,2     0          110      1380    611,1   36        22,2 | 53,2

Зв'язок між глибиною зрошення багаторічних трав з добавлення органічних компонентів та врожайності насіння цих трав можна відобразити лінійною функцією:

yt = а0 +ajX + a2t,

де аі - параметр, який характеризує середній приріст результативної ознаки на одиницю приросту факторної ознаки (х); а2 - середній щорічний приріст (у) під впливом зміни комплексу

факторів крім (х); t - час (роки). Параметри цього рівняння визначаються методом найменших квадратів, склавши і розв'язавши систему нормальних рівнянь з трьома невідомими:

Xy = na0+a1Xx + a2Xt; Zxy = a0Xx + ajXx2+a2Xxt; Zyt = a0Xt + a1Xxt + a2Xt2. Якщо добитись що ^4 = 0, то за даними табл. 11.31 система нормальних рівнянь буде мати вигляд:

 

53,2 = 11 a0 +120 аг; 611,1 = 120 a0 +1380 aj +36 a2; 22,2 = 36 aj +110 a2.

Розв'язавши цю систему, отримаємо наступні значення параметрів:

а0 — 0,549;    аі = 0,393;       а2 = 0,073.

Лінійне рівняння зв'язку буде мати вигляд:

У, = 0,549 + 0,393 х + 0,0731.

Параметри рівняння регресії потрібно тлумачити так: якщо при інших рівних умовах глибина зрошення багаторічних трав з добавленням органічних компонентів збільшиться на 1 см., то врожайність насіння цих трав зросте на 0,393 ц/га. За рахунок впливу інших факторів, які рівномірно змінюються протягом часу, урожайність насіння багаторічних трав щорічно зростатиме в середньому на 0,073 ц/га.

Підставляючи в отримане рівняння регресії значення t і х визначимо теоретичні рівні врожайності багаторічних трав (остання колонкатабл. 11.31):

■М997р.         '           '           '           V /       ' '

-^ 1998 р.       '           '           '           V /       ' '

у1999р. = 0,549 + 0,393 • 10 + 0,073 -(-3) = 4,3; іт.д.

Приведене рівняння регресії повинно виключити авторегресію. Для переконання в цьому знайдемо автокореляцію різниць між фактичними даними і вирівняними даними за цим рівнянням, тобто кореляцію величин у - у, = є,.

Коефіцієнт автокореляції відхилень приймає значення в межах від -1 до +1 і визначається за формулою:

S>, -е„,

г,=_&гТаблиця 11.32 Розрахунок коефіцієнта автокореляції.

 

Роки    у          У,        εt=(y-yt)          εt+i      ε ε +1  ε, = (у - у,)

1997    5,6       4,9       0,7       0,6       0,42     0,49

1998    4,0       3,4       0,6       -0,3     -0,18   0,36

1999    4,0       4,3       -0,3     -0,4     0,12     0,09

2000    2,4       2,8       -0,4     -0,4     0,16     0,16

2001    3,6       4,0       -0,4     -1,4     0,56     0,16

2002    5,0       6,4       -1,4     -0,3     0,42     1,96

2003    4,6       4,9       -0,3     0,7       -0,21   0,09

2004    6,5       5,8       0,7       0,7       0,49     0,49

2005    7,0       6,3       0,7       -0,3     -0,21   0,49

2006    4,5       4,8       -0,3     0,4       -0,12   0,09

2007    6,0       5,6       0,4       0,7       0,28     0,16

Разом  53,2     53,2     0          0          1,73     4,54

У нашому прикладі коефіцієнт автокореляції з часовим зсувом -лагом р — 1 дорівнює:

Xεtεt+i 1,73

га = -= — =     = 0,381 .

Vε,      4,54

Значення коефіцієнта додатнє га = 0,381 свідчить про незначний ступінь кореляції залишкових величин.

Висновок щодо наявності або відсутності автокореляції в залишкових величинах роблять порівнюючи фактичне значення га з табличним для даного числа спостережень (n) і прийнятого рівня значимості.

Для нашого прикладу: г = 0,381, при п — 10 і 5 %-ному рівні

"■ф

ймовірності г = 0,360 . Тобто г > г на 0,021 пункти, що і засвічує

dj         а.ф       dj

про незначну автокореляцію.

В багатьох економіко-статистичних дослідженнях доводиться вивчати паралельно декілька динамічних рядів, в яких коливання рівнів взаємообумовлені, наприклад, динаміка цін на які-небудь овочі на ринку в значній мірі зв'язана з їх урожайністю; в свою чергу динаміка урожайності або валовий збір залежать від динаміки кількості опадів, агрохімобробітку; попит населення на певні товари народного споживання залежить від пропозиції, тобто від об'єму їх виробництва і т.д.

 

Для вимірювання залежності між такими рядами динаміки використовують методи кореляції, тобто розраховують різні коефіцієнти кореляції.

Розглянемо приклад. Нехай потрібно виміряти силу зв'язку між рядами динаміки, застосувавши метод корелювання рівнів умовних даних про зміну вартості основних виробничих фондів і випуском продукції за 1998-2007 pp.

3 цією метою скористаємось лінійним коефіцієнтом кореляції для розрахунку якого побудуємо табл. 11.33.

Таблиця 11.33

 

Роки    Вартість

основних

виробничих

фондів,

млн. грн.

(х)        Випуск продукції, млн. грн.

(У)       х2        ху        у2

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007     5,3

6,4

7,9

8,3

9,2

10,1

12,5

13,0

14,6

15,7     5,8

7,0

8,7

10,9

11,3

13,8

14,0

15,9

18,8     28,09

40,96

62,41

68,89

84,64

102,01

156,25

169,00

213,16

246,49 30,74

44,80

68,73

75,53

100,28

114,13

172,50

182,00

232,14

295,16 33,64

49,00

75,69

82,81

118,81

127,69

190,44

196,00

252,81

353,44

Разом  103,0   115,3   1171,90           1316,01           1480,33

В серед-ньому           10,3     11,53   117,19 131,601           148,033

Визначаємо середні квадратичні відхилення для обох рівнів:

σх = -у х - (х) = -у/117,19 -10,3 =^11,1 = 3,332;

σ

У

\/У~-(У) = V 148,033 - 11,53 = д/15,092 = 3,885 . Звідси лінійний коефіцієнт кореляції дорівнює:

ху-х у 131,601-10,311,53

г =

 0,992.

σхσу

3,3323,885

Коефіцієнт кореляції між рівнями цих динамічних рядів показує прямий і дуже сильний зв'язок. Однак корельовано дані розвиваються в часі, а тому, перш ніж робити висновок про тісноту зв'язку між

 

досліджуваними явищами, потрібно перевірити обидва ряди на автокореляцію. Наявність автокореляції встановлюється за допомогою коефіцієнта кореляції.

Для розрахунку коефіцієнта кореляції по першому ряду (х -вартість основних виробничих фондів) побудуємо табл. 11.34.

Таблиця 11.34

 

            Вартість основних                           

Роки    виробничих фондів, млн. грн.        Xt+1    xt • xt+1          xt

1998    5,3       6,4       33,92   28,09

1999    6,4       7,9       50,56   40,96

2000    7,9       8,3       65,57   62,41

2001    8,3       9,2       76,36   68,89

2002    9,2       10,1     92,92   84,64

2003    10,1     12,5     126,25 102,01

2004    12,5     13,0     162,50 165,75

2005    13,0     14,6     189,80 169,00

2006    14,6     15,7     229,22 213,16

2007    15,7     5,3       83,21   246,49

Разом  103,0   103,0   1110,31           1171,90

Вирахуємо за підсумковими даними таблиці необхідні величини для знаходження коефіцієнта автокореляції (г„ ):

"

1110,31

t+1

 111,031;

п

- I*

х = ^=—

t+1

 

103 10

1,03 ;

 

п

х x =

2          XXt     -2        1171,9 7

σх = -=            xt =      10,3 =117,19-106,09 = 14,1;

0,370.

111,031-106,09 5,22

t+i

(х+)

г =

14,1

14,1

і

Потім проводимо аналогічні вирахування для другого ряду (у -випуск продукції) і отримуємо г„ = 0,353 .

Порівнюємо отримані коефіцієнти автокореляції з їх табличною величиною при чисельності спостережень п — 10, і рівні значимості р — 0,05 (5 %-ний рівень). Перший коефіцієнт автокореляції перевищив

 

табличне значення г = 0,360, а другий - близький до нього, тому

можна зробити висновок про існування автокореляції.

Отже, для того, щоб отримати правильне значення зв'язку між рядами динаміки, потрібно усунути певну тенденцію розвитку, а вже потім розраховувати коефіцієнт кореляції.

Одним із способів усунення автокореляції є корелювання відхилень фактичних рівнів від вирівняних, які відображають тренд. Для цього потрібно: а) провести аналітичне вирівнювання порівнювальних рядів; б) визначити величини відхилень кожного фактичного рівня динаміки від їх вирівняних значень; в) провести корелювання отриманих відхилень.

Розрахуємо за даними попереднього прикладу лінійні тренди для обохрядів:

х, = а0 + ajt = 10,3 + 0,5751;

ft = 11,53 + 0,6676 t.

Фактичні рівні рядів динаміки і їх тренди наведені в табл. 11.35.

Таблиця 11.35

Розрахункова таблиця для визначення лінійного коефіцієнта кореляції.

 

            Вартість                     Вирівняні                                                     

            основних виробничих         Випуск продукщі,      значення        dx -      dy =     2          2          d d

 

           

           

                                  

           

           

           

           

 

            фондів,           млн. грн.                    %         = x-x    = у —y            x          y         

            млн. грн.        (у)                  

                                                          

            (х)                                                                                         

1998    5,3       5,8       5,1       5,5       0,2       0,3       0,04     0,09     0,06

1999    6,4       7,0       6,3       6,9       0,1       0,1       0,01     0,01     0,01

2000    7,9       8,7       7,4       8,2       0,5       0,5       0,25     0,25     0,25

2001    8,3       9,1       8,6       9,5       -0,3     -0,4     0,09     0,16     0,12

2002    9,2       10,9     9,7       10,9     -0,5     0          0,25     0          0

2003    10,1     11,3     10,9     12,2     -0,8     -0,9     0,64     0,81     0,72

2004    12,5     13,8     12,0     13,5     0,5       0,3       0,25     0,09     0,15

2005    13,0     14,0     13,2     14,9     -0,2     -0,9     0,04     0,81     0,18

2006    14,6     15,9     14,3     16,2     0,3       -0,3     0,09     0,09     -0,09

2007    15,7     18,8     15,5     17,5     0,2       1,3       0,04     1,69     0,26

Разом  103,0   115,3   103,0   115,3   0          0          1,70     4,00     1,66

Коефіцієнт кореляції відхилень розраховують за формулою:

УЖ-dy 1,66    _

г =       =         = 0 636

 

Отже, автокореляція завищила показник тісноти зв'язку, так як вирахуваний із безпосередніх рівнів ряду він дорівнює 0,992, а між залишковими величинами він значно менший (0,636).

До аналогічних результатів можна прийти, якщо знайти кореляцію різниць між наступними і попередніми рівнями обох рядів: Ах = хі-хі-1; Ау = у;-у;-]. При заміні рівнів динамічних рядів

різницями між ними усувається вплив автокореляції в кожному динамічному ряду. Однак, потрібно мати на увазі, що різниці першого порядку виключають автокореляцію в рядах динаміки з прямолінійним трендом. Якщо зміна динамічних рядів в часі проходить по параболі другого порядку, тоді усунення впливу автокореляції проводять за допомогою кореляції других різниць (різниць між першими різницями).

Коефіцієнт кореляції перших різниць визначається за формулою:

ЕАх-Ау

Ї/ZATZAT

Визначення цього коефіцієнта покажемо на даних попереднього прикладу (табл. 11.36).

Таблиця 11.36

 

            Вартість основних    Випуск           Різниця між    наступними рівнями

           

           

                                                          

Роки    виробничих   продукції,                                                     

 

            фондів,           млн. грн.        A

X         A

у          А2

X         А2

у          A -A

х у

            млн. грн. (х)   (у)                                                      

1998    5,3       5,8       -          -          -          -          -

1999    6,4       7,0       1,1       1,2       1,21     1,44     1,32

2000    7,9       8,7       1,5       1,7       2,25     2,89     2,55

2001    8,3       9Д       0,4       0,4       0,16     0,16     0,16

2002    9,2       10,9     0,9       1,8       0,81     3,24     1,62

2003    10,1     11,3     0,9       0,4       0,81     0,16     0,36

2004    12,5     13,8     2,4       2,5       5,76     6,25     6,00

2005    13,0     14,0     0,5       0,2       0,25     0,04     0,10

2006    14,6     15,9     1,6       1,9       2,56     3,61     3,04

2007    15,7     18,8     1,1       2,9       1,21     8,41     3,19

Разом  X         X         X         X         15,02   26,20   18,34

Вирахуємо коефіцієнти кореляції різниць:

 

r = ^==            ==       =0,924.

^АІ-ЦАІ л/15,02-26,20

Отриманий коефіцієнт кореляції різниць свідчить про прямий і тісний зв'язок між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції.

Досліджуючи кореляцію між рядами динаміки, можна зустріти багато випадків коли зміна рівнів одного ряду викликає зміну рівнів другого ряду тільки через певний проміжок часу (місяць, квартал, рік і т.д.).

Наприклад, зміна виробництва деяких товарів народного споживання, в даному періоді впливає на зміну об'єму товарообігу в майбутньому періоді; зміна числа шлюбів в даному році може вплинути на народжуваність в наступному році і т.д.

Тому, провівши попередній якісний і логічний аналіз з метою оцінки зв'язку між рядами динаміки, потрібно зсунути один ряд відносно другого на визначений проміжок часу (лаг) і корелювати ряди з лагом.

Для тривалого періоду залежність між рівнями рядів динаміки може змінюватись в часі. Тому показник тісноти зв'язку в таких динамічних рядах визначають як серію коефіцієнтів кореляції, розрахованих за аналогією рухомої середньої. Це дає можливість виявляти періоди в яких залежність збільшувалась або зменшувалась, і, знаючи такі періоди, легше пояснити зміну цієї залежності в конкретних умовах місця і часу.

Таким чином ми розглянули три основні особливості кореляції динамічних рядів:

перша особливість заключається в усуненні автокореляції при

корелюванні динамічних рядів;

-          друга особливість проявляється в можливості корелювання динамічних рядів з часовим лагом;

-          третьою особливістю кореляції динамічних рядів є можливість застосування змінної (рухомої) кореляції.