11.4 Виявлення тенденцій розвитку явищ


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Виявлення основної тенденції (тренду) ряду, Є ОДНИМ 3 головних методів аналізу і узагальнення динамічних рядів. Зображена на графіку лінія тренду динамічного ряду покаже плавну зміну досліджуваного явища в часі, яке звільнене від короткочасних відхилень, викликаних різними причинами. В статистичній практиці виявлення основної тенденції розвитку явищ в часі проводиться методами укрупнення інтервалів, рухомої середньої і аналітичним вирівнюванням.

 

Одним з найпростіших способів обробки ряду з метою виявлення закономірності зміни його рівнів є укрупнення інтервалів (періодів) часу. Суть цього методу полягає в тому, що дані динамічного ряду об'єднуються в групи по періодах і розраховується середній показник на період - триріччя, п'ятиріччя і т.д. Такій обробці доцільно піддавати динамічний ряд з більш-менш систематичними коливаннями рівня, що дозволяє чіткіше виявити загальну тенденцію розвитку явища.

Укрупнення інтервалів проілюструємо за даними наступного прикладу (табл. 11.13).

Таблиця 11.13 Динаміка врожайності озимої пшениці в селянській спілці “Колос”.

 

            Урожайність  Сумарна         Середня

Роки    озимоі пшенищ,        врожаиність,  врожаиність,

            ц/га     ц/га (за триріччя)       ц/га (за триріччя)

50,5

16,8

55,3

18,4

61,3

20,4

26,6

79,9

31,2

93,7

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Якщо розглядати рівні урожайності озимої пшениці за короткі проміжки часу, то в силу впливу багатьох факторів, головним чином, погодних умов різних років, які діють в різних напрямках, в рядах динаміки спостерігається зниження або підвищення їх рівнів. Через це не видно основної тенденції розвитку досліджуваного явища.

В результаті проведеного укрупнення інтервалів, взявши дані за триріччя, ми отримали новий ряд динаміки сумарної урожайності за три роки, який показує її збільшення.

Середня річна врожайність за триріччя також показує тенденцію її росту.

 

Важливим способом виявлення загальної тенденції ряду динаміки є згладжування за допомогою рухомої середньої. Тут також вдаються до укрупнення періодів, але воно проводиться шляхом послідовних зміщень на одну дату при збереженні постійного інтервалу періоду.

Порядок розрахунку рухомої середньої за даними попереднього прикладу покажемо в таблиці 11.14.

Таблиця 11.14 Розрахунок трирічної рухомої середньої врожайності озимої пшениці.

 

            Урожайність  Сумарна         Середня

Роки    озимоі пшенищ,        врожаиність,  врожаиність,

            ц/га     ц/га (за триріччя)       ц/га (за триріччя)

1993    15,6 1  -          -

1994    16,0 fl  50,5     16,8

1995    18,9J f]            50,6     16,9

1996    15,7 J У          54,6     18,2

1997    20,0 J  55,3     18,4

1998    19,6     59,4     19,8

1999    19,8     60,9     20,3

2000    21,5     61,3     20,4

2001    20,0     68,8     22,9

2002    27,3     71,7     23,9

2003    24,4     79,9     26,6

2004    28,2     80,5     26,8

2005    27,9     89,2     29,7

2006    33,1     93,7     31,2

2007    32,7     -          -

Як видно із таблиці 11.14, згладжений ряд, який складається з рухомих середніх показує більш плавне підвищення урожайності озимої пшениці.

Згладжування способом рухомої середньої можна проводити також і за парним числом членів ряду. Однак таке згладжування трохи складніше, так як середня мусить бути віднесена тільки до середини між двома датами, котрі знаходяться в середині інтервалу. Щоб ліквідувати такий зсув застосовують спосіб перетворення рівнів, або центрування. При перетворенні рівнів рівень першого інтервалу ділять на два і його половина входить в суму, за якою вираховується рухома середня. Потім беруться всі наступні рівні в повному розмірі і до них додається половина рівня, який виходить за межі згладжування.

 

Центрування заключається в тому, що із кожної пари згладжених рухомих середніх розраховується середня арифметична, яка і відноситься до відповідної дати.

При застосуванні методу рухомої середньої важливе значення має вибір періоду або інтервалу згладжування, який повинен відповідати періоду коливань в даному динамічному ряду. Якщо, наприклад, періодичність коливань встановлення в 3 місяці, то береться 3-членна рухома середня, в 6 місяців - 6-членна рухома середня і т.д.

Найбільш ефективним і складним способом виявлення основної тенденції є аналітичне вирівнювання. При цьому рівні ряду динаміки розглядаються як функція часу [yt = f(t)J, а завдання вирівнювання

зводиться до знаходження того виду функції, ординати точок якої були б найбільш близькі до значень фактичного динамічного ряду.

На практиці найбільш поширеними формулами, які виражають тенденцію розвитку (тренд) явищ є: пряма, показникова функція, парабола другого і третього порядків, гіпербола, логістична функція, експонента, ряд Фур’є та деякі інші.

Вирівнювання за прямою використовують в тих випадках, коли абсолютні прирости більш-менш постійні, тобто коли рівні динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії, або близькі до неї.

Рівняння прямої має вигляд:

yt =а0 +ajt, де у, - вирівняні значення динамічного ряду;

ао і aj - параметри шуканої прямої (початковий рівень і щорічний приріст);

t - умовне позначення часу. Для знаходження параметрів ао і аь потрібно розв'язати за способом найменших квадратів систему нормальних рівнянь:

\ ХУ = пао+аіХ1' llyt = a0Xt + a1Xt2! де у - фактичні рівні динамічного ряду; п - число членів ряду динаміки. Дану систему нормальних рівнянь можна легко спростити, якщо відлік часу брати з середини ряду таким чином, щоб сума часу дорівнювала нулю (^4 = 0). При непарному числі рівнів серединна

точка приймається за 0, тоді попередні періоди позначаються відповідно через -1, -2, -3 і т.д., а наступні за серединним періоди відповідно через +1, +2, +3 і т.д. При парному числі рівнів динамічного ряду два серединних моменти часу позначаються через -1 і +1, а всі решта через два інтервали, тобто попередні періоди до середини через -3, -5, -7 і т.д., а наступні - відповідно через +3, +5, +7 і т.д.

При відліку часу від середини ряду коли ^t = 0 , тоді система рівнянь для знаходження параметрів ао і щ матиме вигляд:

" ХУ = ПЕО;

1 Zyt = a1Xt2,

Звідки

a

 

І>

п

а1

 

Zyt

пшениці за

Методику вирівнювання врожайності озимої рівнянням прямої покажемо на прикладі (табл. 11.15).

Таблиця 11.15 Розрахункова таблиця для вирівнювання ряду динаміки за прямою.

 

Роки    Урожайність

озимої

пшениці,        Умовне позначення j.2        yt         Вирівняна урожайність

            ц/га     t                                  yt = а0 +ajt

1993    15,6     -7        49        -109,2 14,1

1994    16,0     -6        36        -96,0   15,3

1995    18,9     -5        25        -94,5   16,5

1996    15,7     -4        16        -62,8   17,8

1997    20,0     -3        9          -60,0   19,0

1998    19,6     -2        4          -39,2   20,2

1999    19,8     -1        1          -19,8   21,5

2000    21,5     0          0          0          22,7

2001    20,0     1          1          20,0     23,9

2002    27,3     2          4          54,6     25,2

2003    24,4     3          9          73,2     26,4

2004    28,2     4          16        112,8   27,7

2005    27,9     5          25        139,5   28,9

2006    33,1     6          36        198,6   30,1

2007    32,7     7          49        228,9   31,4

п= 15  ^у = 340,7       It = o   £t2=280          ^yt = 346,1      ^yt = 340,7

Використовуючи розрахункові підсумки, отримуємо:

 

ХУ 340,7

а0 =     =          = 22,713;

п          15

Vyt 346,1

a, =      =          = 1,236 .

£t2 280

Звідси рівняння прямої буде мати наступний вигляд: у, = 22,713 + 1,236 t.

Коефіцієнт регресії в даному рівнянні (а^ — 1,236) характеризує середній приріст урожайності озимої пшениці за рік. Величина 22,713 буде показувати теоретичну врожайність 2000 p., для якого ми взяли 0 номер року. Підставляючи у рівняння yt = 22,713 + 1,236 t послідовно

значення t (-7, -6, -5 і т.д.), отримаємо вирівняний (теоретичний) ряд динаміки урожайності озимої пшениці в селянській спілці “Колос”, який абстрагований від випадкових коливань і характеризується систематичним ростом (див. останню графу табл. 11.15).

Якщо розрахунки виконані правильно, TO ^y=^St- В нашому прикладі ^у = 340,7 = ^у, . Отже, значення рівнів

вирівняного динамічного ряду знайдені правильно.

Результати проведеного аналітичного вирівнювання ряду динаміки урожайності озимої пшениці за 1993 - 2007 pp. і фактичні дані покажемо на графіку (мал. 11.2).

До основних кривих, які використовуються для аналітичного вирівнювання динамічних рядів відносять: гіперболу, параболу другого і третього порядків, показникову функцію, та деякі інші.

Вирівнювання за гіперболою проводиться тоді, коли із плином часу ряд динаміки зростає або спадає до певної межі.

Рівняння гіперболи визначається за формулою:

1 У, = а0 + aj —.

Для знаходження параметрів а0 і aj в даному рівнянні способом найменших квадратів застосовують систему нормальних рівнянь:

^у = na0 +aj^-;

Zy-=aoZ-+aiZ^

t           t           t

Якщо добитись, щоб ^t = 0 , тоді параметри а0 і аі знаходять за новою системою рівнянь:

 

Урожайність

Ц/га     у A

35 33 31 29 27 25 23 21 19 17 15

1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006         t

III        hII        1tIII     1II       1►

1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005 2007 Роки

             фактичні дані

             вирівняні дані

Мал. 11.2 Урожайність озимої пшениці в селянській спілці “Колос”.

Zy = nao;

систему рівь

^lgy = nlga0; ^tlgy = lgaj^t

мати:

7 = аі2^ Перетворивши цю систему рівнянь в логарифмічну, будемо

Звідки

lgac

 

Vlgy     ^tlgy

—        i lga, = ——

It2

 

Розглянемо вирівнювання за гіперболою на умовному прикладі, який характеризує динаміку зниження собівартості одиниці продукції за 2003-2007 pp. (табл. 11.16).

Таблиця 11.16 Динаміка зниження собівартості продукції за 2003-2007 pp. і розрахункові дані для вирівнювання за гіперболою.

 

            Собівартість                                                             Вирівняні

            одиниці                                                                     рівні

POKE продукції, грн.

У         lg y       t           t2         t lg y     igy,       y, = a0 +

1 + a, t

2003    70        1,8451 -2        4          -3,6902           1,8484 70,53

2004    50        1,6990 -1        1          -1,6990           1,6749 47,31

2005    30        1,4914 0          0          0          1,5013 31,72

2006    20        1,3010 1          1          1,3010 1,3278 21,27

2007    15        1,1761 2          4          2,3522 1,1542 14,27

іі = 5    Еу = 185         > І2 V —

= 7,5066         It = o   £t2 =ю ^tlgy = = -1,7356        = 7,5066         Xy, =185,10

Прийнявши в якості вирівнювання рівняння гіперболи

1 •       1

yt=a0+aj          l прологарифмувавши иого lgy, =lga0+tlgaj

параметри ao i ai знайдемо за наведеними вище формулами:

^lgy 7,5066

lga0

 

5 -1,7356 10

 1,50132 , звідси ao — 31,72;

іт^

lgai

 

-0,17356 , звідси ai = - 1,491.

Отже, lgy, = 1,50132-0,17356 t, або y, = 31,72-1,491-

Для розрахунку вирівняних рівнів зручніше користуватися рівнянням логарифмів.

Підставляючи в формулу значення t — -2, -1, 0, +1, +2, знайдемо логарифми (lg у,), а потім за таблицями антилогарифмів - у,. Так, для 2003 p.:

lgy, = 1,50132-0,17356 (-2J= 1,8484 , звідси у, = 70,53 . Для 2004 p.: lgy, = 1,50132-0,17356 (-l)= 1,6749, звідси у, = 47,31.

 

Для 2005 p.:

lg yt = 1,50132- 0,17356 (0J = 1,5013 , звідси yt =31,72 іт.д.

Логарифми вирівняних рівнів і самі рівні показані в двох останніх колонках табл. 11.16.

Як видно із таблиці, вирівняні рівні дуже близькі до емпіричних, що в свою чергу свідчить про відповідність рівняння гіперболи для відображення тренду.

Результати проведеного вирівнювання ряду динаміки зниження собівартості продукції за 2002-2007 pp. покажемо на графіку (мал. 11.3).

 

грн.

80 70 60 50 40 30 20 10

 

I►

2003 2004 2005 2006 2007

Роки

             фактичні дані

            вирівняні дані

Мал. 11.3. Динаміка зниження собівартості продукціїза2003-2007 pp.

Ha графіку чітко видно вирівнювання емпіричної лінії гіперболою. Вона зображає обернений зв'язок, де з плином часу собівартість зменшується.

При вирівнюванні за параболою другого порядку

У, = а0+ajt + a2t параметри ао, аі і а2 визначаються способом

 

найменших квадратів, для чого складають і розв'язують систему нормальних рівнянь:

^у = па0 +а!^Ч + а2^Ч2; Xyt = a0Xt + a1Xt2+a2Xt3; ^Zyt^ao^+a^^+a^t4. Якщо добитись щоб ^t = 0 , тоді і ^Ч = 0 , а, отже, система рівнянь спроститься:

Xy = na0+a2Xt2;

Xyt2=a0Xt2+a2Xt4

Zyt

а параметри ац і а2 визначаються

1з щєі системи aj -=

w

розв язком системи двох рівнянь з двома невідомими.

Покажемо на прикладі вирівнювання динамічного ряду рівнянням параболи другого порядку. Для отримання необхідних даних побудуємо розрахункову таблицю 11.17.

Таблиця 11.17 Виробництво взуття на одній із фабрик області за 1998-2007 pp.

 

t

Роки

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Вироб-ництво взуття, тис. пар

            I          

12 50 70 80 92 95 97 99 98 87

t

 

-9        81        6561

-7        49        2401

-5        25        625

-3        9          81

-1        1          1

1          1          1

3          9          81

5          25        625

7          49        2401

9          81        6561

yt

-108 -350 -350 -240 -92 95 291 495 686 783

yt

972 2450 1750 720 92 95 873 2475 4802 7047

Вирівняні рівні

у, = а0 +

+ ajt + a2t

19,6 43,9 63,9 79,7 91,2 98,6 101,7 100,6 95,2 85,6

 

п=10

^у = 780

Zt = o

 

Zt2

 330

І*4 =

= 19338

Zyt =

= 1210

 2

= 21276

= 780

 

т^        •          ^yt 1210

В нашому прикладі aj =        =          = 3,667 .

Vt 330

Система рівнянь для знаходження параметрів а2 і а0: Г£у = па0+а22У;

LZyt^^oZ^+a^t4. Підставляємо дані із таблиці в рівняння цієї системи:

780 = 10а0 + 330а2; 21276 = 330 а0 +19338 а2.

Поділивши члени першого рівняння на 10, а члени другого рівняння на 330, отримаємо систему рівнянь:

78,000 = а0 +33 а2; 64,473 = а0 + 58,6 а2.

Віднімаємо від другого рівняння перше:

 .          -13,527

- 13,527 — 25,6а2, звідси а2 =        = -0,528;

25,6

78 — а0 + 33 • (- 0,528) — а0 - 17,424;

а0 = 95,424.

Отже, рівняння параболи другого порядку матиме вигляд:

yt = 95,424 + 3,667 t — 0,528 t .

Розрахуємо вирівняні рівні:

для 1998 р.     у, = 95,424 + 3,667 (—9) — 0,528 -81 = 19,653 ;

для 1999 р.     у, = 95,424 + 3,667 -(—7) —0,528-49 = 43,883 ;

для 2000 р.     у, = 95,424 + 3,667 • (— 5) — 0,528 • 25 = 69,889 ;

іт.д.

Результати вирівнювання записані в останній графі табл. 11.17. Як видно із розрахунків, і в даному прикладі вирівняні рівні динамічного ряду досить близькі до даних емпіричного ряду. Отже, парабола другого порядку досить точно відображає тренд на даному відрізку часу.

Параметри рівняння параболи другого порядку потрібно інтерпретувати наступним чином: а0 - це величина, яка виражає середні умови утворення рівнів ряду; аі - швидкість розвитку даних динамічного ряду; а2 - характеризує прискорення цього розвитку.

Проілюструємо вирівнювання за параболою другого порядку на графіку (мал. 11.4).

 

тис. nap у A 110

80

60

40

20

 

|           w

199819992000200120022003 2004 2005 20062007 Роки

             фактичні дані

            вирівняні дані

Мал. 11.4. Виробництво взуття на одній із фабрик в області.

Як показує графік, розраховані нами дані досить добре відтворюють емпіричні рівні ряду.

В наукових дослідженнях аналітичне вирівнювання проводять також і за багаточленами більш високих ступенів, таких як парабола третього порядку, котра описується рівнянням:

yt = а0+ ajt + a2t +a3t .

Потрібно мати на увазі, що чим вищий порядок параболи, тим вона більш точно відтворює фактичні дані.

Вирівнювання за показниковою функцією проводиться в тих випадках, коли динамічний ряд розвивається в геометричній прогресії, тобто тоді, коли ланцюгові темпи росту більш-менш постійні.

Показникова функція, яка використовується для вирівнювання динамічного ряду описується рівнянням:

 

yt = a0 • aj .

Для визначення параметрів a0 i ai цього рівняння методом найменших квадратів попередньо логарифмують рівні, тоді логарифми показникової функції описують лінійною функцією:

lg yt = lg а0 +1 lg aj.

Система нормальних рівнянь в даному випадку має такий вигляд:

Zlgy = nlga0 +lgaj^t;

I ^tlgy = lga0Xt + lga1Xt2! коли добитись, щоб Z t = 0 , тоді

Ztlgy

Zigy

звідки lga0

i lgaj

 

п

I

^lgy = n lg a0; Ztlgy = lgaj^t ,

 

Розглянемо вирівнювання за показниковою функцією на прикладі динаміки росту чисельності населення одного з міст області України за 2001-2007 pp. (табл. 11.18, дані умовні):

Таблиця 11.18

Р

Роки п

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

ИСЄЛЬНІСТ

населення

міста на

початок

року,

тис. чол. у

200,0 205,8 212,3 218,8 225,5 232,6 240,0

 

lg y

t

t

t lg у

igy,

Вирівняні рівні

yt = a0aj

 

2,3010 -3        9          -6,9030           2,3006 199,8

2,3135 -2        4          -4,6270           2,3138 206,0

2,3269 -1        1          -2,3269           2,3270 212,3

2,3401 0          0          0          2,3402 218,9

2,3532 1          1          2,3532 2,3534 225,6

2,3666 2          4          4,7332 2,3666 232,6

2,3802 3          9          7,1406 2,3798 239,7

 

w=l

Zy = 1535

Z^y =

= 16,3815

Zt = o

Z*2

 28

 

Ztlgy = = 0,3701

Zigy« =

= 16,3814

Zyt=

= 1534,9

 

Використавши розраховані коефіцієнти:

R

таблиці дані, визначимо

 

lgac

 

Xlgy 16,3815

                       

 2,3402, a0 = 218,9;

Z^

 Xtlgy 0,3701

lga, = -=— =   = 0,0132 , ai = 1,030.

Отже lgy, = 2,3402 + 0,0132 t, або yt =218,9-1,03*.

Для розрахунку вирівняних рівнів користуються логарифмічною функцією підставляючи послідовно значення t — -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, а знайшовши (lg yt) за таблицями десяткових антилогарифмів

визначають теоретичні (вирівняні) значення (yt).

Логарифми вирівняних рівнів і самі теоретичні рівні наведені в двох останніх колонках табл. 11.18.

Результати проведеного вирівнювання ряду динаміки чисельності населення одного з міст України за 2001-2007 pp. покажемо на графіку (мал. 11.5). тис. чол. A

 

230

210

 

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Роки

             фактичні дані

            вирівняні дані

Мал. 11.5 Динаміка росту чисельності міста.

 

Як за даними таблиці 11.18, так і на графіку (мал. 11.5) чітко простежується близькість емпіричних і теоретичних рівнів, що свідчить про правильність вибраної нами функції для вирівнювання.

Коефіцієнт аі в показниковій функції характеризує середній темп росту досліджуваної ознаки. В нашому прикладі а^ — 1,03 означає, що чисельність населення міста щорічно збільшується в 1,03 рази, або на 3 %.

Особливе місце в аналітичному вирівнюванні рядів динаміки займає вирівнювання за допомогою ряду Фур'є, який описується рівнянням:

У, = а0 + Е (an coskt + an+1 smkt),

n=l

де k - ступінь точності гармонік (найчастіше від 1 до 4); t - час, виражений в радіанній мірі або градусах.

Вирівнювання за наведеною формулою проводять в тих випадках, коли в емпіричному ряду спостерігається певна періодичність змін його рівнів, яка виступає у вигляді синусоїдних коливань. Останні являють собою гармонійні коливання, а синусоїди, отримані при вирівнюванні рядом Фур’є, називають гармоніками відповідних порядків.

При вирівнюванні по ряду Фур’є періодичні коливання рівнів динамічного ряду виступають у вигляді суми декількох гармонік, нашарованих одна на одну. Так, наприклад, при k — 1 рівняння Фур’є матиме вигляд:

У, = а0 + aj cos t + а2 sin t.

При k — 2 відповідно:

yt = a0 + aj cos t + a2 sin t + a3 cos 2t + a4 sin 2t, i т.д.

B залежності від величини часу (t) знаходять за певною таблицею (11.19) відповідні значення cos і sin.

Таблиця 11.19 Час в радіанній мірі і в градусах.

 

Число рівнів (п)        I           II         III        IV        V         VI        VII       VIII     IX        X         XI        XII

Радіанна

міра (t)            0          к 6       к 3       к

2          2к 3     5к 6     к          7я 6     4я 3     Зя

2          5к 3     1І7І

6

Градуси          0          30        60        90        120      150      180      210      240      270      300      330

Вирівнювання по ряду Фур’є, як правило, використовують для дослідження сезонності різних соціально-економічних явищ і процесів.

 

Параметри рівняння теоретичних рівнів визначаються за способом найменших квадратів.

Знайшовши часткові похідні функції ряду Фур’є і прирівнявши їх до нуля, отримаємо систему нормальних рівнянь, за якими можна вирахувати параметри:

ІУ

а0 =     ;

п

2^ycost

аі

п

2^ysint

 

a

Покажемо вирівнювання за періодичною функцією ряду Фур'є на умовному прикладі про об’єм реалізації побутових холодильників торговельними підприємствами однієї із облспоживспілок України за 2005-2007 pp. (табл. 11.20). В цій же таблиці наведемо значення cos і sin для відповідних t

Таблиця 11.20

 

Вирівняні рівні

yt = а0 +

+ aj coskt + + a2 sin kt

ycost ysint

1942,00

2560,76

1250,00

0 1478,50 2168,46 2194,00

2733,03 2533,65 2370,34 2286,84

1063,00 2341,66 3291,00 1511,17

1841,12 1352,00

0 -872,50

2305,56 2421,45 2603,47 2802,85

-1252,50

0 1917,00 2176,26

2169,33 3704,00 3320,24 1256,50

2966,16 3049,66 3030,94 2915,05

 

                        Реалі-             

Рік,      Радіанна         защя холо-                

квартал (п)     міра (t)            диль-

ників,

шт.

(у)        cos t     sin t

I           0          1942    1,000   0

 П

2005 Tn           JI/6      2957    0,866   0,500

 

            л/3       2504    0,500   0,866

IV        Till       2194    0          1,000

I           2я/3     2126    -0,500 0,866

            5я/6     2704    -0,866 0,500

            к          3291    -1,000 0

IV        ІТІІ6    1745    -0,866 -0,500

I           4я/3     2505    -0,500 -0,866

 II

2007 тп           Зя/2     3704    0          -1,000

 

            5я/3     3834    0,500   -0,866

IV        11п/6   2513    0,866   -0,500

Разом

32019

X

X

X

| +388,69 |-2288,491 32019,00

 

В таблиці 11.20 показано розрахунок необхідних даних для знаходження параметрів рівняння ряду Фур’є за першою гармонікою:

Ху 32019

а0 =     =          = 2668,25 ;

п          12

2Vycost >vcost 388,69

aj = —=          = -=     =          = 64,78 ;

n          n/2       6

2Xysint Vysint -2288,49

a2 = —=         = -=     =          = -381,41.

n          n/2       6

Звідси yt = 2668,25+ 64,78cost-381,41 sint.

Підставляючи в дане рівняння значення cos t і sin t (із табл. 11.20), отримаємо теоретичні значення обсягу реалізації холодильників по кварталах року:

уг = 2668,25 + 64,78 • 1,000 - 381,41 • 0 = 2733,03 ;

у, = 2668,25 + 64,78-0,866-381,41-0,500 = 2533,65 ; yt = 2668,25 + 64,78-0,500-381,41-0,866 = 2370,34 ;

іт.д.

Як показують дані таблиці 11.20, вже перша гармоніка ряду Фур’є досить добре апроксимує емпіричний ряд динаміки.

Порівняння емпіричних і теоретичних ліній реалізації побутових холодильників в облспоживспілці (мал. 11.6) показує, що вирівнювання за рівнянням першої гармоніки ряду Фур'є рівнів динамічного ряду досить точно відтворюють фактичні дані реалізації цієї групи товарів.

Аналогічно розраховують рівняння ряду Фур’є із застосуванням другої, третьої і четвертої гармонік з перевіркою близькості їх теоретичних і фактичних значень.

Вирівнювання рядів динаміки відіграє важливу роль в аналізі соціально-економічних процесів, які змінюються в часі. Правильний підбір типу прямої або кривої для визначення тренду має велике теоретичне і практичне значення, особливо при прогнозуванні.

Вирівнювання рядів динаміки використовують також для знаходження відсутніх членів ряду за допомогою інтерполяції і екстраполяції.

Інтерполяцією називається в статистиці знаходження відсутнього показника всередині ряду. Вона Грунтується на припущенні, що за наявними даними можна визначити характер розвитку явища в цілому.

Найбільш простим є знаходження відсутнього рівня всередині ряду у випадку зміни явища по прямій. Наприклад, на початок 2007 р.

 

в селянській спілці числилось 10 тис. голів овець, а на кінець року -12,4 тис. голів. Потрібно визначити ймовірну чисельність овець на 1.04.2007 р. шт.

3900

 

3700 3500 3300 3100 2900 2700 2500 2300

2100

1900

1700

 

Рік, квартал

II III IV I II III IV I II III IV

2005    2006    2007

             фактичні дані

            вирівняні дані

Мал. 11.6 Поквартальна реалізація побутових холодильників торговими підприємствами споживчої кооперації області.

Визначимо річний абсолютний приріст овець:

Δ = у12 -У[ = 12,4-10,0 = 2,4 тис. голів. Знаходимо середньомісячний абсолютний приріст:

 

— УДу 2 4

A =      =^ = 0,2 тис. голів.

у п 12

Якщо припустити, що кожного місяця абсолютний приріст

овець був приблизно однаковий, тоді на 1.04.1996 р. в спілці числилось

10,6 тис. голів:

Уі.о4.2оо7Р. = Уі + Ау • t = 10 + 0,2 • 3 = 10,6 тис. голів.

Екстраполяцією в статистиці називається знаходження невідомих рівнів в кінці або на початку динамічного ряду. Цей прийом заключається в тому, що за знайденими математичними рівняннями передбачають попередній або майбутній розвиток явищ. Звернемось до прикладу.

Нехай в місті на 1.01.2007 р. проживало 200 тис. чол.

Середньорічний темп приросту за попередні п'ять років склав 2 Потрібно визначити ймовірну чисельність населення міста на 1.01.2010

Р-

Для знаходження перспективної чисельності населення станом на 1.01.2010 р. використовуємо формули:

Yt = Уі • Т*, або yt = Yj + A • t; Уіоі2оіоР = 200-1,023 = 212 тис. чол., або Уі.оі.2оюр. = 200 + 4 • 3 = 212 тис. чол.

Як інтерполяція, так і екстраполяція Грунтуються на припущенні, що наявні величини цілком достатньо визначають темп розвитку досліджуваного явища і, отже, його можна поширювати на відсутні рівні динамічного ряду.

Іноді виникає потреба порівняти між собою зміну динамічних рядів за ряд років декількох споріднених або взаємозв'язаних явищ (наприклад, виплавку чавуну і сталі, видобуток вугілля, нафти і газу і т.п.). 3 цією метою переводять абсолютні показники рядів динаміки у відносні, прийнявши рівні якого-небудь періоду за одиницю або сто. Таке перетворення динамічних рядів називається приведенням їх до однієї основи. Розглянемо приклад (табл. 11.21).

За основу для порівняння ми взяли абсолютний рівень 2003 p. В даному прикладі темпи росту грошових заощаджень населення в області "А" значно вищі, ніж в області "Б".

В процесі аналізу динамічних рядів часом доводиться обчислювати коефіцієнт випередження, який являє собою відношення більшого середньорічного темпу приросту до меншого і показує, у скільки разів швидше зростає рівень одного ряду динаміки порівняно з іншими. Так, наприклад, за п'ятиріччя середньорічний темп приросту

.

 

грошових надходжень у відділеннях національного банку становив 19,5 %, а у відділення Промінвестбанку - 6,5 %. Отже коефіцієнт випередження дорівнює: 19,5 : 6,5 — 3. Таким чином, грошові надходження у відділення Національного банку зростали в три рази швидше, ніж у відділення Промінвестбанку.

Таблиця 11.21 Грошові заощадження населення в двох областях України (дані умовні).

 

Роки    Заощадження населення

 

            область "А"    область “Б"

 

            тис. грн. в % до 2000 р.       тис. грн. в % до 2000 р.

2003    815      100,0   631      100,0

2004    849      104,2   637      100,9

2005    893      109,6   642      101,7

2006    900      110,4   658      104,3

2007    915      112,3   660      104,6

В економічній практиці при контролі за виконанням планових завдань використовують динамічні ряди наростаючих підсумків. Такий контроль здійснюється шляхом процентного відношення кожного окремого підсумку до планового завдання на весь період. Внаслідок цього отримуємо ряд чисел, які характеризують хід виконання планового завдання в процентному відношенні. Наприклад, підприємство планувало реалізувати готової продукції за рік в обсязі 24 млн. грн., фактично реалізувало в січні продукції на суму 1,3 млн. грн., в лютому - 1,8 млн. грн. і в березні - 2,4 млн. грн.

Визначимо відсотки виконання планового завдання реалізації продукції наростаючим підсумком з початку року:

за січень         1,3 : 24 • 100 = 5,4 %;

за січень і лютий       (1,3 + 1,8) : 24 ■ 100 — 12,9 %;

за січень, лютий і березень (1,3 + 1,8 + 2,4) : 24 ■ 100 — 22,9 %;

іт.д.