11.3. Середні показники динаміки


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Динамічні ряди складаються з багатьох варіаційних рівнів, a тому, як люба статистична сукупність, вони потребують деяких узагальнюючих характеристик. Для цього вираховують середні показники: середні рівні ряду, середні абсолютні прирости, середні темпи росту і приросту.

 

При обчисленні середніх показників динаміки необхідно користуватись загальними положеннями теорії середніх.

Методи розрахунку середнього рівня інтервального і моментного рядів динаміки залежать від їх виду.

В інтервальному ряду з рівними інтервалами середній рівень ряду вираховується за формулою середньої арифметичної простої:

- ІУ

у =       ,

п

де у - середній рівень ряду;

X У - сУма рівнів ряду;

п - число рівнів.

В табл. 11.2 були наведені дані про валовий збір картоплі в

області за 1999 - 2004 pp. за цими даними зробимо розрахунок

середньорічного рівня валового збору картоплі за шість років:

_ ЕУ 20 + 23 + 27 + 28 + 30 + 32 161

у =       =          =          = 26, 8 млн. т.

п          6          6

Якщо окремі періоди інтервального ряду динаміки мають різну довжину, то для визначення середнього рівня використовують середню арифметичну зважену:

- ІУ*

де у - рівні ряду;

t - проміжки часу. Дану формулу використовують для знаходження середнього рівня в моментних рядах з нерівними інтервалами.

Нехай, наприклад, на 1 січня 2007 р. на підприємстві перебувало в списку працівників: 1210 чол.; 6 січня було прийнято 33 чол.; 15 січня звільнилось 7 чол.; 21 січня прийнято 12 чол.; 29 січня звільнилось 10 чол. В даному випадку моментний ряд буде мати вигляд:

Таблиця 11.9 Чисельність працівників на підприємстві в січні 2007 р.

 

на 1.01            на 6.01            на 15.01          на 21.01          на 29.01          на 1.02

1210    1243    1236    1248    1238    1238

В цьому ряду проміжки між окремими датами не рівні між собою: з 1 січня до 6 січня - 5 днів, з 6 до 15 січня - 9 днів, з 15 до 21 січня - 6 днів, з 21 до 29 січня - 8 днів, і з 29 по 31 січня включно - 3 дні.

 

Середньоспискова чисельність працівників підприємства в січні місяці буде дорівнювати:

іг

У

2^уї 1210-5 +1243-9 +1236-6 +1248-8 +1238-3

                                  

1237 чол.

38351

 

           

 1224 чол.,

Для наближеної оцінки інколи визначають півсуму рівнів на початок і кінець періоду і приймають її за характеристику середнього рівня всього періоду. Однак цей середній рівень є грубою оцінкою і застосовується рідко. За даними попереднього прикладу середньоспискове число працівників підприємства становитиме: Уі +уп 1210 + 1238

                                  

У

де уп - кінцевии рівень ряду динаміки.

Як бачимо, отримана середня - неточна, тому, що в ній не враховані проміжні значення ряду динаміки.

В економічних дослідженнях для аналізу динаміки середніх рівнів часто практикують укрупнення інтервалу ряду. Візьмемо інтервальний ряд динаміки щоденного роздрібного товарообороту по одному із торгів області.

Таблиця 11.10 Роздрібний товарооборот торгу області в червні.

 

Число Товарооборот,           Число Товарооборот,           Число Товарооборот,

МІСЯЦЯ        млн. грн.        МІСЯЦЯ        млн. грн.        МІСЯЦЯ        млн. грн.

1          201      11        208      21        236

2          202      12        219      22        235

3          204      13        220      23        238

4          191      14        223      24        238

5          196      15        197      25        239

6          210      16        190      26        245

7          205      17        228      27        242

8          213      18        230      28        247

9          215      19        234      29        250

10        211      20        234      30        251

Для переходу від ряду динаміки щоденного товарообороту до ряду даних по п'ятиденках складемо роздрібний товарооборот за кожну п'ятиденку. Після цього перетворимо інтервальний ряд по п'ятиденках в ряд середньоденних рівнів роздрібного товарообороту шляхом ділення загального обсягу товарообороту за кожні п'ять днів

 

на величину інтервалу (5 днів). Середньоденний товарооборот за місяць в цілому отримаємо шляхом ділення загального обсягу роздрібного товарообороту за місяць на 30 днів. Його можна також визначити шляхом додавання середньоденних даних по п'ятиденках і діленням отриманої суми на шість.

Наші розрахунки подамо в табл.. 11.11.

Таблиця 11.11

 

Показники     П'ятиденки    Разом

за місяць

 

            I           II         III        IV        V         VI       

 

Роздрібний товаро-оборот, млн. грн.

Середньоденний роздрібний товаро-оборот, млн. грн.  994

198,8   1054 210,8      1067 213,4      1116

223,2   1186

237,2   1235 247,0      6652

221,7

Укрупнення інтервалів в інтервальних рядах динаміки використовують для виявлення тенденції розвитку явища. В нашому прикладі простежується послідовне зростання роздрібного товарообороту як за укрупненими інтервалами, так і за середніми рівнями по п'ятиденках.

Якщо інтервальний ряд динаміки має різні інтервали, тоді потрібно застосовувати середню арифметичну зважену. Наприклад. Роздрібний товарооборот торгу за перше півріччя характеризується наступними даними (табл.. 11.12):

Таблиця 11.12

Січень Лютий            Березень II квартал

Роздрібний                                       

товарооборот,           5200    5160    5340    18000

млн. грн..                                         

За даними таблиці видно, що ми маємо три рівні ряду з

інтервалом в один місяць, а четвертий рівень - квартал. Для

визначення середньомісячного товарообороту за перше півріччя,

потрібно взяти об'єм товарообороту за півроку і поділити цю суму на

шість місяців (квартальний товарооборот береться з трійними вагами).

(5200+ 5160+ 5340)+18000 33700

у„ =     =          = 5616,7 млн. грн.

3 + 3    6

Якщо за вищенаведеними даними потрібно вирахувати

середньоквартальний товарооборот, тоді переходять до

рівноінтервального ряду шляхом укрупнення інтервалів.

 

- Уг*+Угг* 15700 + 18000 33700

= —— — =     =          = 16850 млн. грн.

2          2          2

Для визначення середнього рівня в моментному динамічному ряду з рівними або приблизно рівними проміжками часу між сусідніми датами, застосовують формулу середньоїхронологічної, яка має вигляд:

1          1

 у] +у2 +у3 +... + уп-ін—Уп

у = -    —■

п-1

В знаменнику береться число рівнів за мінусом одиниці тому, що в чисельнику серед доданків перший і останній беруться в половинному розмірі.

Розглянемо для прикладу моментний ряд з рівними інтервалами, який відображає зміну тракторного парку в сільських спілках району (табл.ЛІ.1).

Визначимо середнє число тракторів за кожний квартал, перше і друге півріччя і за рік в цілому.

622      640

            V 640 + 643 Ч           

-2        2 1914

уІК =   =         = 638 шт.;

3          3

640      682

            V 664 + 670 Ч            „„,

-          2          2 1""5 г

Уіік =    =         = "65 шт.;

3          3

682 768

            h 733 + 753 Ч

-          2          2 2211

Упік =            = 737 шт.;

3          3

768 888

            V 800 + 8264 

-          2          2 2454

УГУК =                     = 818 шт.

За кожне півріччя середні рівні можна шукати за формулою

середньої хронологічної, або за середньою арифметичною простою з

середньоквартальних рівнів.

622 682

            V 640 + 643 + 640 + 664 + 670 Ч    

Уіп= —           = = 651,5 шт.;

г- — Уг» +Упк 638 + 665

або уІП = ——           — =     = 651,5 шт.;

2          2

 

682 888

            Ь 733 + 753 + 768 + 800 + 826 ч     

УІІП =             = 777,5 шт.;

13-1

,, _ Угпк+УіУк 737 + 818

або Упп = ~   ^^ =     = 777,5 шт.;

Як бачимо, відповідь, не залежно від способу визначення середніх рівнів, в обох випадках однакові.

В цілому за рік середньомісячне число тракторів в селянських спілках можна визначати за формулами середньої хронологічної або середньої арифметичної із середніх квартальних чи піврічних рівнів: 622

 + 640 + 643 + 640 + 664 + 670 + 682 + 733 + 753 + 768 + 800 +

Уг

 

13-1

 888

+ 826Н           

9 8574

            ^— =   = 714,5 шт.

,, _ 638 + 665+737 + 818 2858

або у =            =          = 714,5 шт.;

4          4

г- - Угп+Упп 651,5 + 777,5

або у_ = —— — =     = 714,5 шт.

р          2          2

Дещо по-іншому вираховують середні рівні в моментному ряду з нерівними інтервалами. Припустимо, що ми маємо такі дані про спискову чисельність працівників промислового підприємства за перше півріччя 2007 р. На 1.01 на підприємстві перебувало в списку 2000 чол., на 1.02 - 1950 чол., на 1.03 - 2010 чол., на 1.04 - 2020 чол. і на 1.07 2040 чол. Потрібно вирахувати середньоспискове число працівників за перший і другий квартал і за перше півріччя.

Знаходимо середньоспискове число працівників за перший квартал.

Хід розв'язку можна подати так:

2000 + 1950 1950 + 2021 2021 + 2020

            +          +         

-          2          2         2

3 1975 + 1980 + 2015 5970

 

1990 чол.,

3          3

або перетворивши чисельник, отримаємо:

 

2000 1950+1950 2010 + 2010 2020

2

2

            +          +          +         

4-1

 

2000    2020

            I-1950 + 2010H         

2          2 5970

=          =         = 1990 чол.,

4-і        3

Тобто, середньоспискову чисельність працівників підприємства отримуємо за формулою середньої хронологічної.

Вираховуємо середньоспискове число працівників за другий

квартал за даними на I квітня і I липня:

_          2020 + 2040

уІІК =  = 2030 чол.

Знаходимо середньоспискове число працівників за перше півріччя:

- Угк+Уттк 1990 + 2030 4020

Уіп = ~           =         =          = 2010 чол.,

2          2          2

,_ _ 1975 + 1980 + 2015 + (2030-3) 12060

або уІП =        =         = 2010 чол.

6          6

В даному випадку використовуємо формулу середньої арифметичної зваженої, взявши середньоспискове число працівників за другий квартал з потрійними вагами.

Середній абсолютний приріст визначається як середня арифметична проста з ланцюгових абсолютних приростів за певні періоди і показує на скільки одиниць в середньому змінився рівень у порівнянні з попереднім.

У         '

п

де A - середній абсолютний приріст; п - кількість приростів. Оскільки сума ланцюгових приростів (X^у) Дорівнює приросту за весь досліджуваний період (уп - уі), то формула середнього абсолютного приросту може мати такий вигляд:

т Уп _Уі у~ п-1 Число абсолютних приростів менше числа рівнів динамічного ряду на одиницю. За таблицею 11.8 середньорічний абсолютний приріст валового збору картоплі складе:

 

XAy 3 + 4 + 1 + 2 + 3 13

A =      =         = — = 2,6 млн. т.

n          5          5

г- т Уг _Уі 33-20 13

або Д„ = —    =         = — = 2,6 млн. т.

у п-1   6-1 5

Середній темп росту вираховується за формулою середньої

геометричної.

Тр = лДрі ' Тр2 ' ТрЗ ' • • •' Тріі : де Т - середній темп росту;

Т pj, Т р2, Т р3,..., Т " — ланцюгові темпи росту;

п - число темпів. Для обчислення середнього темпу росту використовують також іншу формулу:

™        Уг

Т = п-1 -UL ;

V Уі

де уп - кінцевий рівень ряду; Уі - початковий рівень ряду; п - кількість рівнів динамічного ряду. Обчислення середніх темпів росту проводять у випадках, коли відомі початковий і кінцевий рівні ряду, або коли відомі темпи росту чи приросту за весь період.

Підставивши значення ланцюгових темпів росту, обчислених в таблиці 11.8 у формулу середньої геометричної, знайдемо середньорічний темп росту за 2002 - 2007 pp.:

Т = ^/1,150 • 1,174 • 1,037 • 1,071 • 1,100 = ^/1,650 = 1,105 .

При обчисленні середньої геометричної з коренями високих ступенів використовують логарифми, тому що середня геометрична в загальному вигляді може бути визначена як антилогарифм від середньої арифметичної із логарифмів чисел. В нашому прикладі, логарифмуючи ліву і праву частини, отримаємо:

lgT = — (lg 1,15 + lg 1,174 + lg 1,037 + lg 1,071 + lgl,100j =

= -(0,0607 + 0,0697 + 0,0158 + 0,0298 + 0,0414) = ^^ = 0,04348

5          5

Антилогарифм для 0,0435 дорівнює 1,105. Отже, середній річний темп росту валового збору картоплі в області за 2002 - 2007 pp. склав 1,105 або 110,5 %.

 

Користуючись другою формулою, обчислимо середньорічний темп росту валового збору картоплі в області:

=;/Уті / 33 ҐП——-

Т = п-1 _!І- = 5 — = =Д;650 = 1,105 ;

V yj V 20

Уі V 20

 = 1 .    —        _

lgT =—lgl,65 = 0,0435; Т = 1,105 або 110,5 %.

3 метою перевірки точності обчислення середньорічного темпу росту перемножимо початковий рівень ряду 1992 p. (yj — 20 млн. т.) послідовно 5 раз на 1,105, в результаті чого ми повинні отримати рівень валового збору картоплі в області за 1997 р. (уп — 33 млн. т.).

уп = У) • Т = 20 • 1,105 • 1,105 • 1,105 • 1,105 • 1,105 = 20 • 1,105 =

= 32,9489 ~ 33 млн.т.

Обчислюючи середні темпи росту за формулою середньої геометричної доводиться вдаватись до таблиць логарифмів. На практиці дослідники користуються готовими таблицями A.M. Айрапетова (видавництво "Статистика", М., 1979 p.), за допомогою яких легко знаходять середньорічні темпи росту, приросту або зниження.

Середні темпи росту обчислюють крім середньої геометричної простої, ще й за формулою середньої геометричної зваженої, яка має вигляд:

Т = д/Tpj • Тр2 • т'з •...• Трпп ,

де t - інтервал часу, на протязі якого зберігається даний темп росту; ^Ч - сума відрізків часу періоду.

Розглянемо приклад. Середній річний темп росту продуктивності праці робітників заводу за перших два роки п'ятиріччя склав 1,04, а за наступні три роки - 1,05. Визначити середньомісячний темп росту продуктивності праці робітників заводу за 5 років:

Т = д/і,04 • 1,05 ;

lgT = — (2 lg 1,04 + 31gl,05j= —(2-0,0170+ 3-0,0212) =

5          5

= 1(0,0340 + 0,0636) = !.0,0976 = 0,0195;

5          5

lgT = 0,0195 ; T = 1,046 , або 104,6 %.

 

При використанні логарифмів для визначення середніх темпів росту потрібно пам'ятати, що логарифми величин менших за одиницю, але позитивних, мають від'ємну характеристику.

Потрібно також мати на увазі, що середній темп можна вираховувати тільки в тих випадках, коли темпи динамічного ряду безперервно зростають або спадають. Коли темпи коливаються в різних напрямках, вирахуваний за ними середній темп є величиною дуже умовною.

Середній темп приросту визначається як різниця між середнім темпом росту і одиницею (якщо середній темп росту у вигляді коефіцієнта), або 100 (якщо він у відсотках):

Т = Т - 1 (у вигляді коефіцієнтів);

Т = Т -100 (у вигляді відсотків).

Середній темп приросту показує, на скільки відсотків збільшився, або зменшився рівень у порівнянні з попереднім в середньому за одиницю часу.

Вище обчислено, що середньорічний темп росту валового збору картоплі в області склав 1,105, або 110,5 %. Значить середньорічний темп приросту валового збору картоплі складе у вигляді коефіцієнтів:

Т = 1,105 -1 = 0,105 у вигляді відсотків:

Т = 110,5 -100 = 10,5 %.

Застосування наведених показників динаміки є лише першим етапом аналізу динамічних рядів, який дозволяє виявити швидкість і інтенсивність розвитку явищ.

Подальший аналіз рядів динаміки соціально-економічних показників зв'язаний з більш складними узагальненнями, з визначенням основної тенденції, вивченням сезонних коливань рівнів і дослідженням зв'язку між рядами.