Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
10.4. Нелінійні залежності : Загальна теорія статистики : Бібліотека для студентів

10.4. Нелінійні залежності


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Якщо попередній аналіз явищ, зв'язок яких досліджується, показує, що рівним змінам середніх значень факторної ознаки відповідають нерівні зміни середніх значень результативної ознаки, то для вираження загального характеру зв'язку застосовують криволінійні форми кореляційних рівнянь. В практиці економічного аналізу найбільш часто використовують наступні нелінійні функції залежності: гіперболічну, параболічну другого порядку, напівлогарифмічну, логістичну та деякі інші.

Якщо результативна ознака із збільшенням факторної ознаки зростає або спадає не безкінечно, а прямує до кінцевої мети, то для її аналізу застосовується рівняння гіперболи:

Ух =а0 +а1 х ■

Для знаходження параметрів цього рівняння способом найменших квадратів використовується система нормальних рівнянь:

Zy = nao+aiZ-'

X

Zy- = aoZ-+aiZ^'

X         X         X

Покажемо побудову гіперболічного кореляційного рівняння на прикладі.

Маємо дані про денний виробіток п'яти робітників і собівартість одиниці виробленої ними продукції (табл. 10.11).

 

Вирівнювання no гіперболі.

Таблиця 10.11

 

            Денний          Собівартість                                     

робіт-ника      виробіток

робітника,

тис. грн.         одинищ

продукції,

грн.     1

X         1 1}     у

X         ,,-1,014 1

            X         У                                           

1          1          7,0       1,00     1,00     7,00     7,22

2          2          5,0       0,50     0,25     2,50     4,17

3          3          3,0       0,33     0,11     1,00     3,09

4          5          2,0       0,20     0,04     0,40     2,28

5          10        1,5       0,10     0,01     0,15     1,64

Разом: 21        18,5     2,13     1,41     11,05   18,50

За способом найменших квадратів знайдемо параметри гіперболи:

yJ.yy_yI.yy

х2 х х 1,41-18,5-2,13-11,05

а0 =—-—       — =     = 1,014;

5-1,41-2,13-2,13

аі4-ІГ-І7

Z^Zy

ПІ

6,305

аі

 

z^z1

х х

5-11,05-2,13 -18,5 2,5131

»z

Отже, шукане кореляційне рівняння гіперболи матиме вигляд:

Ух = 1,014 + 6,305-

Підставляючи в це рівняння відповідні значення х, отримаємо теоретичні значення собівартості одиниці продукції Ух, наведені в

останній графі таблиці 10.11.

Нанесемо фактичні і теоретичні значення досліджуваних ознак на графік (мал. 10.5).

Проставлені на графіку значення змінної середньої ^х досить

близько відтворюють фактичні значення у. Наочно видно вирівнювання емпіричної ламаної лінії зв'язку гіперболою. Вона зображає обернений зв'язок, де із збільшенням денного виробітку продукції на одного робітника собівартість одиниці продукції знижується. При цьому зменшення результативної ознаки відбувається повільніше, ніж зростання факторної.

 

у

8 7 6 5 4 3 2 1

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A Денний виробіток на одного робітника, тис. грн.

Мал. 10.5. Графік кореляційної залежності собівартості одиниці продукції від денного виробітку на одного робітника.

Для визначення тісноти зв'язку між результативною і факторною ознаками обчислюємо кореляційне відношення за формулою:

\2

η =.

X

1-

І(у-у*)2

І(У-У)2

Складаємо розрахункову таблицю 10.12.

Таблиця 10.12

 

            Денний          Собівартість                                                 

робіт-  виробіток       одинищ                                                        

 

            робітника,      продукції,       у-у       (У-У)2            Ух       У-Ух   (у-ух)2

п          тис. грн.

X         грн.

У                                                       

1          1          7,0       3,3       10,89   7,22     -0,22   0,0484

2          2          5,0       1,3       1,69     4,17     0,83     0,6889

3          3          3,0       -0,7     0,49     3,09     -0,09   0,0081

4          5          2,0       -1,7     2,89     2,28     -0,28   0,0784

5          10        1,5       -2,2     4,84     1,64     -0,14   0,0196

Разом: 21        18,5     X         20,80   18,50   X         0,8434

Середнє значення результативної ознаки:

 

- АУ 18,5

у = ^=— =      = 3,7 грн.

п          5

Підставивши підсумкові дані таблиці 10.12 у вищенаведену

формулу кореляційного відношення, отримаємо:

0,8434

,1         = д/1 - 0,0405 = -,/0,9595 = 0,979

у 20,8000

х

Кореляційне відношення показує, що між собівартістю і виробітком продукції одним робітником існує тісна обернена залежність.

Надійність показника кореляційного відношення перевіримо по t-критерію Стьюдента. Для цього спочатку визначимо середню помилку кореляційного відношення:

1 —ті 1-0,979 0,041

\і~ = .   =          т=        =          = 0,0208 .

Vn-1    V4       2

t-критерій дорівнює:

ц 0,9790

t = — =           = 47,07 .

\l~ 0,0208

Це свідчить про високу надійність обчисленого показника кореляційного відношення.

Парабола другого порядку як форма математичного вираження зв'язків між досліджуваними явищами застосовується в тих випадках, коли із зростанням факторної ознаки відбувається нерівномірне зростання або спадання результативної ознаки.

При знаходженні рівняння зв'язку між такого роду показниками х і у в якості апроксимативної функції застосовується тип кривої, вираженої у вигляді параболи другого порядку:

Ух =а0 +а.,х + а2х2.

Параметри цього рівняння знаходять способом найменших квадратів шляхом складання і розв'язку системи нормальних рівнянь:

Ху=пао+аіХх+а2Хх2'

Хху = а0Хх + а1Хх2+а2Хх3;

_Хх2у = а0Хх2+а1Хх3+а2Хх4. Розглянемо в якості прикладу залежність між урожайністю насіння багаторічних трав і глибиною зрошення за даними спостереження на 10 ділянках.

 

Всі необхідні дані для наведені в табл. 10.13.

розв'язку системи рівнянь розраховані та

Таблиця 10.13.

 

                        Урожай-                                                                  

Номер Глибина         ність                                                             

спосте-           зрошення,      насшня           х2        х3        х4        ху        х2у      V

реження         CM.     трав,                                                             

п          X         ц/га

У                                                                   

1          0          1,2       0          0          0          0          0          3,0

2          5          5,0       25        125      625      25,0     125,0   4,7

3          10        7,0       100      1000    10000  70,0     700,0   6,2

4          15        8,0       225      3375    50625  120,0   1800,0 7,4

5          20        9,2       400      8000    160000            184,0   3680,0 8,4

6          25        9,5       625      15625  390625            237,5   5937,5 9,2

7          30        9,7       900      27000  810000            291,0   8730,0 9,6

8          35        9,9       1225    42875  1500625          346,5   12127,5           10,0

9          40        9,8       1600    64000  2560000          392,0   15680,0           9,9

10        45        8,7       2025    91125  4100625          391,5   17617,5           9,6

Разом: 225      78,0     7125    253125            9583125          2057,5 66697,5 78,0

{

Підставляючи дані таблиці у систему рівнянь, матимемо: 78 = 10а0 + 225а1 + 7125а2; 2057,5 = 225 а,, + 7125 аг + 253125 а2; 66697,5 — 7125 ао + 253125 аі + 9583125 а2. Звільняємося від коефіцієнта при ао, для чого кожний член рівняння ділимо на відповідний коефіцієнт при ао. Отримуємо: 7,800 = ао + 22,5 щ + 712,5 а2; 9,144 = ао + 31,667 аг + 1125 а2; 9,361 = ао + 35,265 аг + 1345 а2. Віднімаємо із другого рівняння перше, а з третього - друге, внаслідок чого отримаємо два рівняння з двома невідомими: 1,344 = 9,167 аг + 412,5 а2; 0,301 = 3,589 aj + 220,0 а2. Ділимо кожний член цих рівнянь на відповідний коефіцієнт при аі і віднімаємо від першого рівняння друге: 0,147 = аг+ 44,998 а2; 0,060 = aj + 61,298 а2;

0,087 = - 16,3 а2.

 

_ .        0,087

Звідси а2 =     = -0,005 .

-16,3

Методом підстановки отримуємо параметри а^ і ао:

щ = 0,147 - 44,998 • (-0,005) = 0,372;

ао = 7,8 - 22,5 • 0,372 - 712,5 • (-0,005) = 2,9925. Таким чином, рівняння параболи другого порядку матиме вигляд:

Ух = 2,9925 + 0,372х + 0,005х2.

Значення коефіцієнта регресії аі в рівнянні свідчить, що при збільшенні глибини зрошення на 1 см урожайність насіння багаторічних трав зростає в середньому на 37,2 кг, а значення коефіцієнта а2 вказує на те, що цей процес відбувається із сповільненням на 0,05 кг.

Далі знаходимо теоретичну лінію регресії рівняння параболи другого порядку Ух, підставляючи в рівняння регресії значення х і х2:

^ = 2,9925 + 0,372 • 0 - 0,005 • 0 = 2,9925 ~ 3,0; У 2 = 2,9925 + 0,372 • 5 - 0,005 • 25 = 4,7275 ~ 4,7 ; У3 = 2,9925 + 0,372 -10- 0,005 -100 = 6,2125 » 6,2 ; і т.д. Визначаємо середню урожайність насіння багаторічних трав:

- 5> 78            I

у =       = — = 7,8 ц/га.

п 10 3 метою оцінки тісноти зв'язку між урожайністю насіння багаторічних трав і глибиною зрошення визначимо кореляційне відношення, для чого проведемо додаткові розрахунки в табл. 10.14.

Таблиця 10.14

 

у-у

(ух-у)2

(У-У)2

у

Ух ~У

X

Номер спостере-ження п

-6,6

-2,2 -0,8 0,2 1,4 1,7 1,9 2,1 2,0 0,9

-          4,8

-          3,1

-          1,6

-          0,4

0,6

1,4

1,8

2,2

1,8

43,56 4,84 0,64 0,04 1,96 2,89 3,61 4,41 4,00 0,81

3,0 4,7 6,2 7,4 8,4 9,2 9,6 10,0 9,9 9,6

23,04 9,61 2,56 0,16 0,36 1,96 3,24 4,84 4,41 3,24

1,2 5,0 7,0 8,0 9,2 9,5 9,7 9,9 9,8

KL

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Разом: 78,0 | х | 66,76            78,0 | х | 53,42

 

Кореляційне дорівнює:

відношення за даними наших розрахунків

ІЖ-у)2

53,42 66,76

ηу =.

X

 

/0,800 = 0,895.

Х(У-У)2

Зв'язок між урожайністю насіння багаторічних трав і глибиною зрошення тісний.

Для встановлення достовірності обчисленого кореляційного відношення скористаємось t-критерієм Стьюдента.

μη

1-η2 1-0,800

V-I

0,067;

           

13,36

η

 

3 0,895 0,067

Так як tη > tT (13,36 > 3) залежність урожайності насіння багаторічних трав від глибини зрошення є доведеною.

Покажемо вирівнювання емпіричних даних за параболою другого порядку на графіку (мал. 10.6).

у

 

5 10 15 20 25 30 35 40 45

Мал. 10.6. Графік залежності між глибиною зрошення (х) і урожайністю насіння багаторічних трав (у).

Вирівнювання за напівлогарифмічною кривою проводять в тих випадках, коли із зростанням факторної ознаки, середня результативна ознака спочатку до певних меж зростає досить швидко, але пізніше темпи її зростання поступово сповільнюються.

Прикладом вирівнювання такого взаємозв'язку може бути залежність між виробітком одного продавця (у) і зростанням об'єму товарообороту магазину (х). 3 укрупненням магазину розмір

 

товарообороту в середньому на одного продавця зростає нерівномірно. В невеликих магазинах виробіток росте високими темпами, але в міру збільшення розмірів торгових точок темпи його зростання спадають. Якраз таку залежність найкраще описує напівлогарифмічна функція виду:

ух =а0 ч-ajogx.

Покажемо застосування цієї функції на прикладі роботи 25 магазинів (табл. 10.15).

Таблиця 10.15 Розрахункова таблиця для вирівнювання за напівлогарифмічною кривою.

 

            Об'єм  Виробіток                                         

Номер

магазину        товаро-

обороту

магазину,       на одного продавця, log X    (log х)2            у log X У X

п          млн. грн.

X         тис. грн.

у                                            

1          10,0     5,2       1,0000 1,000   5,200   4,989

2          10,2     5,3       1,0086 1,017   5,346   5,019

3          10,4     5,2       1,0170 1,034   5,288   5,048

4          12,0     5,4       1,0792 1,165   5,828   5,264

5          15,3     5Д       1,1847 1,404   6,042   5,631

6          16,2     5,3       1,2095 1,463   6,410   5,718

7          16,6     5,5       1,2201 1,489   6,710   5,755

8          18,8     5,4       1,2742 1,624   6,881   5,943

9          20,0     5,9       1,3010 1,693   7,676   6,036

10        20,3     6,5       1,3075 1,709   8,499   6,059

11        20,8     5,8       1,3181 1,737   7,645   6,096

12        22,0     6,8       1,3424 1,802   9,262   6,180

13        22,5     5,8       1,3522 1,828   7,843   6,214

14        26,0     5,7       1,4150 2,002   8,066   6,433

15        28,0     7,0       1,4472 2,094   10,130 6,545

16        29,0     6,6       1,4624 2,139   9,652   6,598

17        33,2     7Д       1,5211 2,314   10,800 6,802

18        34,0     8,0       1,5315 2,345   12,252 6,838

19        39,0     7,5       1,5911 2,531   11,933 7,045

20        40,0     6,9       1,6021 2,567   11,054 7,084

21        45,5     6,8       1,6580 2,749   11,274 7,248

22        56,0     7,3       1,7482 3,056   12,762 7,592

23        64,0     7,7       1,8062 3,262   13,908 7,794

24        67,0     7,9       1,8261 3,335   14,426 7,863

25        72,0     8,0       1,8573 3,450   14,858 7,971

Разом: 748,8   159,8   35,0807           50,809 229,746           159,765

 

Для знаходження параметрів напівлогарифмічної функції способом найменших квадратів, потрібно розв'язати систему двох рівнянь:

{

^у = na0 +aj^logx; ^ylogx = a0^logx + aj^(logx) .

Підставляючи у рівняння для знаходження параметрів розрахункові дані із таблиці, отримаємо: 159,8 = 25 ао + 35,08 аь 229,746 = 35,08 а,, + 50,809 аь Вирівнюємо коефіцієнти при а0, перемножуючи перше рівняння на 1,4032 (35,08 : 25) і віднімаємо заново створене рівняння від другого:

229,746 — 35,08 а0 + 50,809 аі; 224,231 — 35,08 а0 + 49,224 аі;

5,515 — 1,585 аь

5,515

Звідси aj =      = 3,479 .

1,585

Підставляючи це значення в перше рівняння визначимо а0:

25 а0 = 159,8 - 122,04 = 37,76,

37,76

а0 =     = 1,51.

Отже, напівлогарифмічне рівняння зв'язку прийме вигляд:

ух =1,51+ 3,479 log х.

Ha основі цього рівняння розрахуємо теоретичні значення $х

(див. останню колонку табл. 10.15) і вирівняємо за їх допомогою фактичні значення результативної ознаки у на графіку (мал. 10.7).

Оцінимо ступінь тісноти зв'язку між обсягом товарообороту і виробітком одного продавця за допомогою кореляційного відношення, а надійність цієї залежності перевіримо за t-критерієм Стьюдента, для чого побудуємо розрахункову таблицю 10.16.

Знаходимо середній розмір виробітку:

- ХУ 159,8

у =       =          = 6,392 ~ 6,4 тис. грн.

п          25

Визначаємо кореляційне відношення:

H =

^—.     -- =      = 0,903 .

У(у-у) V 23,90

 

8 7 6 5 4

10 20 30 40 50 60 70 80

Мал. 10.7. Графік кореляційної залежності між розміром товарообороту магазину (х) і виробітком одного продавця (у).

Таблиця 10.16

 

Номер магазину п     у          у-у       (У-У)2            У X     Ух-У   (ух-у)2

1          5,2       -1,2     1,44     5,0       -1,4     1,96

2          5,3       -1Д      1,21     5,0       -1,4     1,96

3          5,2       -1,2     1,44     5,0       -1,4     1,96

4          5,4       -1,0     1,00     5,3       -1,1     1,21

5          5Д       -і,з       1,69     5,6       -0,8     0,64

6          5,3       -1,1     1,21     5,7       -0,7     0,49

7          5,5       -0,9     0,81     5,8       -0,6     0,36

8          5,4       -1,0     1,00     5,9       -0,5     0,25

9          5,9       -0,5     0,25     6,0       -0,4     0,16

10        6,5       ОД      0,01     6Д       -0,3     0,09

11        5,8       -0,6     0,36     6Д       -0,3     0,09

12        6,9       0,5       0,25     6,2       -0,2     0,04

13        5,8       -0,6     0,36     6,2       -0,2     0,04

14        5,7       -0,7     0,49     6,4       0,0       0,00

15        7,0       0,6       0,36     6,6       0,2       0,04

16        6,6       0,2       0,04     6,6       0,2       0,04

17        7Д       0,7       0,49     6,8       0,4       0,16

18        8,0       1,6       2,56     6,8       0,4       0,16

19        7,5       1,1       1,21     7Д       0,7       0,49

20        6,9       0,5       0,25     7Д       0,7       0,49

21        6,8       0,4       0,16     7,2       0,8       0,64

22        7,3       0,9       0,81     7,6       1,2       1,44

23        7,7       1,3       1,69     7,8       1,4       1,96

24        7,9       1,5       2,25     7,9       1,5       2,25

25        8,0       1,6       2,56     8,0       1,6       2,56

Разом: 159,8   X         23,90   159,8   X         19,48

 

Значення кореляційного відношення досить близьке до одиниці, що свідчить про значну силу кореляційного зв'язку між досліджуваними ознаками.

В нашому прикладі середня помилка кореляційного відношення дорівнює:

1-гі2 1-0,815 „„„„

м =^=^= =                  = (J ОЗо

л/п -1  V24

Відношення значення кореляційного відношення до його помилки дорівнює:

Л 0,903

t_ = — =         = 23,76 .

ц_ 0,038

Так як критерій Стьюдента більший за три, то можна вважати, що обчислене кореляційне відношення досить точно характеризує силу зв'язку між обсягом товарообороту і виробітком на одного продавця.