9.4. Графічне зображення рядів розподілу


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Для наглядного зображення варіаційного ряду використовують такі графіки як: полігон, гістограма, кумулята, огіва, крива концентрації (Лоренца), крива Парето, показникова крива, антимода та ін.

Полігон - це графічне зображення варіаційного ряду в прямокутній системі координат, при котрому величина ознаки відкладається на осі абсцис, частоти або частки (щільність розподілу) -на осі ординат.

Частіше полігон застосовується для зображення дискретного варіаційного ряду, однак може використовуватись і для інтервального ряду.

3 метою ілюстрації деяких графіків рядів розподілу використовуємо дані табл. 9.6. Так, за цими даними графік полігону матиме вигляд:

f

 

32 28 24 20 16 12

х

0

41 43 45М0=47 49 51 53 Мал. 9.4. Полігон розподілу господарств регіону за урожайністю озимої пшениці

За допомогою полігона можна визначити також моду, для цього з його вершини опускають перпендикуляр на вісь абсцис, а точка їх перетину і буде модальною величиною. В нашому прикладі мода відповідає врожайності 47 центнерів з гектара озимої пшениці.

 

Гістограма - це графічне зображення інтервального варіаційного ряду у вигляді прямокутників відповідної висоти, основи яких знаходяться, як певні відрізки, на осі абсцис, і, які відповідають інтервалам зміни ознаки. Висоти прямокутників пропорційні при рівності інтервалів частотам або часткам інтервалів, а при нерівності -абсолютним або відносним щільностям, що робить гістограму незалежною від ширини інтервалів.

Гістограму ряду розподілу за даними табл. 9.6 наведемо на мал. 9.5.

f

32 28 24 20 16 12

s

 

х

40 42 44 4бМ0 48 50 52 54

Мал. 9.5. Гістограма розподілу господарств регіону за урожайністю озимої пшениці

Для графічного визначення моди за допомогою гістограми пунктирними лініями з'єднують верхні кути модального інтервалу і стовпчиків, що прилягають до нього. Модою буде перетин осі абсцис перпендикуляром, опущеним з точки зіткнення цих прямих, як показано на мал. 9.5. Цей метод більш коректно оцінює модальну величину, так як враховує передмодальну і післямодальну частоти, тобто за гістограмою мода дорівнює 46,67 центнери з гектара. Графічне визначення моди можливе тільки у варіаційних рядах розподілу з рівними інтервалами.

Двобічну гістограму використовують для графічного зображення комбінаційних розподілів, де одна групувальна ознака приймає два значення, а друга - кількість груп з рівними інтервалами.

 

Для її побудови по осі ординат відкладають межі інтервалів за першою ознакою, а на осі абсцис по обидві сторони від осі ординат - однакові відрізки для часток або частот розподілу за другою групувальною ознакою.

Двобічні діаграми широко використовуються при дослідженні особливостей розподілу демографічних явищ, де за характерною формою графічного зображення їх називають пірамідою. Відхилення від піраміди свідчить про наявність певних особливостей у розподілі сукупності.

Покажемо побудову двобічної діаграми за даними чисельності населення одного з регіонів України (дані умовні) за віком і статтю (мал. 9.6).

Для графічного порівняння двох і більше інтервальних рядів розподілу на гістограму накладають полігон розподілу, з'єднавши середини вершин прямокутників гістограми ламаною лінією.

Вік, років 100

0,8

 

70

0,75

1,4

 

1,7

2,5

2,3

3,3

2,9

2,8

м

3,1

Ь

Н         Ь

20 15 10 5 Чоловіків, %

 

40

20

2,1

2,7

2,0

3,0

2,7

2,4

+

н

2,8

Н         Ь

5 10 15 20 Жінок, %

Мал. 9.6. Статево-вікова піраміда розподілу населення регіону України

Для забезпечення відповідності площ полігона і гістограми, потрібно по обидві сторони останньої відкласти додаткові відрізки завширшки крайнім інтервалам, і з’єднати їх середини з серединами прямокутників гістограми (мал. 9.7).

 

f

 

32 28 24 20 16 12

х

0

40 42 44 46 48 50 52 54 56

Мал.. 9.7. Полігон розподілу господарств регіону за урожайністю озимої пшениці

Кумулятивні діаграми використовують для графічного порівняння двох або більше варіаційних розподілів з рівними чи нерівними інтервалами. Для їх побудови використовують прямокутну систему координат де на осі абсцис відкладають відрізки інтервалів групувань, а на осі ординат - нагромаджені частоти або частки. Висота прямокутників відповідає кумулятивним частотам або часткам конкретних інтервалів ряду розподілу.

При побудові кумуляти інтервальної ознаки нижньої межі першого інтервалу відповідає частота, яка дорівнює нулю, а верхній -частота першого інтервалу. Верхній границі другого і наступних інтервалів відповідають їх нагромаджені частоти, а останньою інтервалу - сума всіх частот (графік кумуляти побудований за даними табл. 9.7, приведений на мал. 9.8).

На основі кумулятивної кривої розподілу визначають, скільки одиниць сукупності, або яка частка не перевищує певного значення групувальної ознаки. На мал. 9.8 штрихові лінії показують, що із 100 господарств регіону 55 мали врожайність озимої пшениці менше 47 центнерів з гектара.

Для графічного визначення медіани з точки на осі ординат, яка відповідає півсумі нагромаджених частот, проводять пряму (штрих-пунктирну) лінію (мал. 9.8), паралельну осі абсцис. Перпендикуляр

 

опущений з точки перетину цієї прямої з кумулятою на вісь абсцис вкаже на медіану. В нашому прикладі Ме — 46,67 центнерів з гектара.

Нагромаджені частоти (Sf)

80

60

 

30

X

            W

40 42 44 46 48 50 52 54

Мал. 9.8. Кумулятивна гістограма розподілу господарств регіону за урожайністю озимої пшениці

При побудові кумуляти дискретної ознаки на вісь абсцис наносять значення варіантів, а на ординату - нагромаджені підсумки частот або часток. З'єднавши вершини ординат прямими лініями отримуємо кумулятивну криву, яку ще називають кумулятивним полігоном.

Різновидом кумулятивного розподілу варіаційного ряду є огіва. Вона являє собою дзеркальне відображення кумуляти розподілу. При її побудові на осі абсцис відкладають нагромаджені частоти або частки, a на осі ординат - межі інтервалів варіаційного ряду розподілу. Побудову кривої огіви розподілу регіону за врожайністю озимої пшениці покажемо на мал. 9.9. Штрих-пунктирною лінією визначена медіана.

Крива концентрації Лоренца, як різновид кумулятивної діаграми, використовується в якості показника ступеня оцінки концентрації розподілу частот варіаційного ряду. Вона відображає також ступінь рівномірності розподілу частот.

 

X

54 52 50 48 46 44 42 40

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Нагромаджені частоти (Sj)

Мал. 9.9. Огіва розподілу господарств регіону за урожайністю

озимої пшениці

 

Криву Лоренца будують у прямокутній системі координат, де на осі абсцис і ординат наносять однакові масштаби шкали від нуля до ста. Така діаграма має форму квадрата, на її осі абсцис відкладають значення нагромаджених часток, які характеризують розподіл сукупності за групувальною ознакою, а на осі ординат - нагромаджені значення обсягу даної ознаки.

Першою на осі “х" відкладається точка (одиниця або група одиниць), яка має найвищий показник за обсягом досліджуваного явища, а потім кумулятивні підсумки в порядку рангів їх одиниць. Із кожної кумулятивної точки на осі абсцис відкладається перпендикуляр, висота якого відповідає кумулятивному підсумку обсягу досліджуваного явища. Послідовно з’єднавши вершини цих перпендикулярів отримаємо криву концентрації Лоренца.

При рівномірному розподілі елементів сукупності за групувальною ознакою повинна зберегтись рівність х — у і на графіку ця залежність виразиться прямою лінією, яка проходить через початок координат під кутом в 45°. Тобто це буде діагональ квадрата, яка з'єднує нижній лівий кут з верхнім правим на якій будується крива Лоренца. Ця діагональ розглядається як лінія рівномірного розподілу. Всякі відхилення від неї свідчать про нерівномірність розподілу. Чим більше крива Лоренца буде відхиляться від діагоналі, тим більша нерівномірність розподілу і вища концентрація обсягу досліджуваного явища.

 

Розглянемо методику побудови кривої концентрації Лоренца на прикладі розподілу підприємств за вартістю основних виробничих фондів (табл. 9.8, дані умовні).

Таблиця 9.8.

 

Групи підприємств за середньорічною вартістю основних виробничих фондів, тис. грн.    В відсотках

 

            число підпри-ємств,

X                     нагромаджені підсумки

 

           

            виробничі фонди,

У         число підпри-ємств,

X         основні

виробничі

фонди,

100000 і більше          1,7       27,0     1,7       27,0

50000 - 10000            2,0       19,0     3,7       46,0

10000 - 50000            13,0     20,0     16,7     66,0

5000 - 10000  12,8     17,0     29,5     83,0

1000 - 5000    37,0     8,0       66,5     91,0

500 - 1000      12,0     7,9       78,5     98,6

300 - 500        12,6     0,6       91,1     99,5

100 - 300        5,0       0,3       96,1     99,8

менше 100      3,9       0,2       100,0   100,0

Разом: 100,0   100,0 х х

Для побудови кривої концентрації Лоренца на квадраті 100x100 (мал. 9.10) знаходимо точки з координатами, які відповідають нагромадженим підсумкам проценту числа підприємств і обсягу основних фондів в них. Послідовно з'єднуємо всі точки плавною лінією, ми отримуємо криву концентрації основних виробничих фондів на підприємствах.

Кумулятивні підсумки 100 відсотків фондів

Лінія

концентрації

розподілу

60

Лінія

рівномірного

20

Кумулятивні підсумки відсотків підприємств

20 40 60 80

розподілу

Мал. 9.10.Крива концентрації основних виробничих фондів на підприємствах

 

Графік Лоренца можна будувати не тільки за спадаючими, але й зростаючими значеннями досліджуваного показника, але тоді крива концентрації буде не випуклою, а ввігнутою, розміщеною під діагоналлю.

До інших видів графічного зображення рядів розподілу відносять: показникові криву, криву Парето і антимоду. Ці графіки мають вигляд:

 

f 1        f і         f A

u

            ►

X         X

Мал. 9.11.      Мал. 9.12.      Мал. 9.13.

Показникова крив£ Крива Парето Модель (Портера) Антимода

Прикладом показникового розподілу є термін служби товарів народного споживання, які вибувають із-за аварійності - довговічність посуду в підприємствах громадського харчування, тривалість телефонних викликів, час між простоями верстатів і т.д.

Розподіл Парето показує розподіл доходів у відповідності з їх величиною.

Антимода - це абсциса нижньої точки, розміщеної в центральній частині U- подібного розподілу досліджуваної ознаки. Як видно із мал. 9.13, обидві сторони антимоди частоти зростають.