Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
8.4 Види дисперсій і правило їх додавання : Загальна теорія статистики : Бібліотека для студентів

8.4 Види дисперсій і правило їх додавання


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Для більш детального вивчення варіації тієї чи іншої ознаки, статистика за допомогою правила додавання дисперсій виявляє і досліджує вплив окремих факторів і умов, які зумовили дану варіацію в цілому. Виявити частку варіації, зумовлену певними факторами, можна розбивши всю сукупність на групи за ознакою, вплив якої досліджується.

Якщо сукупність розбита на групи за одним фактором, то для неї можна обчислити такі види дисперсій: загальну, групові (часткові), середню з групових (часткових) і міжгрупову.

Загальна дисперсія визначається як середня арифметична з квадратів відхилень кожного значення ознаки від їх загальної середньої величини. Дана дисперсія характеризує варіацію досліджуваної ознаки за рахунок впливу всіх факторів. її вираховують за формулами:

2 /-( -Хз)         2 Х( -Хз) f

σ3 = —           проста; σ3 =   зважена.

п

YJ

Групова (часткова) дисперсія визначається як середня арифметична з квадратів відхилень кожного значення ознаки в групі від групової середньої. Групові дисперсії визначаються за формулами:

2 Z(Xi-^i) 2     2 Z(Xi-Xi) 2fi

σ; =     проста; σ; =    ^г        зважена.

де X; - індивідуальні значення групових ознак; X; - середнє значення ознак і-ї групи;

п - число одиниць сукупності в групі;

f; - частоти в групі.

Групова (часткова) дисперсія вимірює варіацію ознаки тільки за рахунок факторів, які діють в середині групи, тобто всіх інших факторів, крім покладеного в основу групування.

 

Середню внутрішньогрупову (залишкову) дисперсію визначають за формулами середньої арифметичної з групових дисперсій:

- І>2    - I>2f.

О; = -==         проста; о; = ^-^         зважена.

n          2/>

Міжгрупова дисперсія визначається як середня арифметична з квадратів відхилень групових середніх від загальної середньої за формулами:

52 = ^ (Х'"Хз) -проста; 82 = ^i^ f' - зважена.

n          2/>

де 82 - міжгрупова дисперсія; X; - групові середні;

х3 - загальна середня;

п - число одиниць сукупності;

f; - ваги або частоти.

Міжгрупова дисперсія відображає варіацію досліджуваної ознаки під впливом фактора, покладеного в основу групування.

Математичною статистикою доведено, що між загальною дисперсією, середньою з групових дисперсій і міжгруповою дисперсією існує зв'язок, який описується рівністю:

o2=^f + 82. Ця рівність в статистиці називається правилом додавання дисперсій. За допомогою даного правила, знаючи два види дисперсій, завжди можна визначити невідомий третій вид:

о2 =о2 -82;

82 = а2 -о2 .

Правило додавання дисперсій використовують при проведенні вибіркового спостереження, для спрощеного обчислення дисперсій громіздкого варіаційного ряду, вимірювання сили зв'язку між явищами таін.

Проілюструємо застосування правила додавання дисперсій на прикладі.

Нехай маємо відомості про заробітну плату десяти робітників, розчленованих на дві групи за рівнем фахової підготовки.

 

Розрахункова таблиця

Таблиця 8.7

 

Перша група              Другз  група  

Табель-           Денна                         Табель-           Денна заробітна                   

нии     заробітна                               нии     плата             

номер робіт-  плата робітників-      хі _хі    (xi-xj2  номер робіт-  робітників, які закін- х2-х2   (х2-х2)2

ника    практиків,                              ника    чили ПТУ,                

(пі)      грн. (Хі)                                 (п2)     грн. (х2)                    

1          6,0       -0,52   0,2704 6          8,2       -0,42   0,1764

2          6,3       -0,22   0,0484 7          8,5       -0,12   0,0144

3          6,5       -0,02   0,0004 8          8,6       -0,02   0,0004

4          6,8       0,28     0,0784 9          8,8       0,18     0,0324

5          7,0       0,48     0,2304 10        9,0       0,38     0,1444

Разом: 32,6     X         0,6280 Разом: 43,1     X         0,3680

Спочатку обчислимо середньоденну заробітну плату робітників для кожної групи:

 

32,6     _ У,х2 43,1

 8,62 грн.

X]

 

            = 6,52 грн., х2 = -^^— =     

5          гь         5

 0,1256; 0,0736.

За даними розрахункової таблиці визначимо групові дисперсії:

d —

Х(хі"хі) 2 0,6280

             zz       

гц        5

Х(х2-Хг) 2 0,3680

п

Ф —

Середня з групових дисперсій дорівнює: — И&І 0,1256 + 0,0736 0,1992

0,0996.

п          2          2

Для знаходження міжгрупової дисперсії потрібно обчислити

загальну середню денну заробітну плату всіх робітників за формулою

середньої арифметичної простої з групових середніх:

_ Ех; 6,52 + 8,62 15,14

хз =     L =      =          = 7,57 грн.

 

Тепер вже можемо обчислити міжгрупову дисперсію:

п          2          2

Використавши правило додавання дисперсій, визначимо загальну дисперсію:

о3 = О; + 5 =0,0996 + 1,1025 = 1,2021

Правильність наших розрахунків ми можемо перевірити, обчисливши загальну дисперсію звичайним способом:

2 Z(X"^ ) 2 (б,0-7,57 ) 2+ (б,3-7,57 ) 2+ (б,5-7,57 ) 2+ (б,8-7,57 ) 2 +

ҐТ =     =         

п          10

+ (7,0 - 7,57)2 + (8,2 - 7,57)2 + (8,5 - 7,57)2 + (8,6 - 7,57)2 +

+ (8,8-7,57)2+(9,0-7,57)2 12,021

             =         = 1,2021.

10        10

Як показала перевірка, результати обчислення загальної дисперсії за обома способами такі самі, що свідчить про правильність проведених нами розрахунків.

Середнє квадратичне відхилення із загальної дисперсії дорівнює:

с3 = л/о3 = vl,2021 = 1,096 грн.

Таким чином, ми визначили, що середня денна заробітна плата групи робітників в кількості десяти чоловік склала 7,57 грн. при середньому квадратичному відхиленні 1,096 грн.

При цьому, ми можемо стверджувати - якщо загальна дисперсія склала 1,2021, то міжгрупова дисперсія в розмірі 1,1025 викликана різницями кваліфікації в групах робітників, а середня внутрішньогрупова дисперсія в розмірі 0,0996 показує частку впливу інших, крім покладеного в основу групування, факторів.

Як бачимо, правило додавання дисперсій дозволяє визначити частку складових частин в загальній дисперсії.

Поділивши міжгрупову дисперсію на загальну дисперсію отримаємо показник, який називається коефіцієнтом детермінації і показує, яка частка всієї варіації ознаки, зумовлена ознакою, покладеною в основу групування. В нашому прикладі:

 

C2       f\r\ Ґ

2 O      1,1UZJ

1,2021

rf = — =          = 0,917025 , або 91,7 %,

де І12 - (грецькабуква "ета" в квадраті) - коефіцієнт детермінації.

Значить, фактор кваліфікації робітників на 91,7 % зумовлює варіацію їхньої середньоденної заробітної плати.

Корінь квадратний із коефіцієнта детермінації називають емпіричним кореляційним відношенням, яке показує тісноту (силу) зв'язку між групувальною і результативною ознаками. Визначимо цей показник для нашого прикладу:

1& ^^

= ^/0,917 = 0,958 .

X]

аі

Це говорить про те, що зв'язок між кваліфікацією робітників і їхньою середньоденною заробітною платою дуже сильний (тісний).