8.2. Спрощені способи розрахунку дисперсії


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Обчислення дисперсії, а отже, і середнього квадратичного відхилення в цілому ряді випадків пов'язано з великими і складними розрахунками, які потребують значних затрат часу і праці. Однак, їх можна значно спростити, якщо використати деякі математичні властивості дисперсії.

1.         Якщо всі варіанти ознаки х зменшити на довільну величину A

то дисперсія від цього не зміниться:

а2(х-А) = о2;

де о2 - дисперсія варіантів х;

О2(Х-А) - дисперсія варіантів зменшена на довільну величину A

2.         Якщо всі значення варіантів х зменшити в і раз, то дисперсія

зменшиться в і2 раз, а середнє квадратичне відхилення - в і раз:

о2=о2 і2,а о = ох і.

і           і

3.         Якщо обчислити середній квадрат відхилень від любої

величини А, яка в тій чи іншій мірі відрізняється від середньої

арифметичної (х), то він завжди буде більший за середній квадрат

відхилень, обчислений від середньої арифметичної:

аі>о2.

При цьому більший на цілком певну величину - на квадрат різниці між середньою і цією умовно взятою величиною, тобто на

(х — А) . Все це можна записати рівнянням:

с2А=с2 +{х-А)2 ,або с2 =с2А-{х-А)2,

де О2 - середній квадрат відхилень від середньої арифметичної (х); ОА - середній квадрат відхилень від довільної величини A

Тобто, дисперсія від середньої арифметичної завжди буде менша від дисперсій вирахуваних від будь-яких інших величин, так як вона має властивість мінімальності.

Розглянемо методику такого розрахунку на нашому прикладі.

 

Таблиця 8.4

Розрахунок дисперсії σА при A — 107,5

 

Маса

виробу,

г(х)      Число

виробів,

шт. (f)  х-А А= 107,5  (х - А)2           (х - A)2 f

97,5     5          -10      100      500

102,5   19        -5        25        475

107,5   53        0          0          0

112,5   17        5          25        425

117,5   6          10        100      600

Разом: 100      X         X         2000

 

2_, ( - A) f 2000

TJ

 20 ;

Zxf

10750

           

х

 

107,5 (обчислена раніше).

Обчислимо дисперсію за формулою:

σ2 = σ2А - (х - А)2 = 20 - (107,5 -107,5)2 = 20 .

Ми отримали той самий результат, що й при звичайному способі розрахунку дисперсії. В даному випадку середня арифметична і довільна величина А співпали.

Техніку розрахунку дисперсії і середнього квадратичного відхилення можна значно спростити використавши математичні властивості дисперсії, тобто спосіб моментів або відліку від умовного нуля.

Покажемо методику цього розрахунку в табл. 8.5.

Таблиця 8.5 Розрахунок дисперсії способом моментів

Маса

виробу.

г(х)

х-A

і

і — 5

х-А А=107,5

Число

X

виробів,

шт. (f)

 

ДоЮО            5          97,5     - 10     - 2

100-105          19        102,5   - 5       - 1

105-110          53        107,5   5          0

110-115          17        112,5   5          1

115-120          6          117,5   10        2

100

X

X

X

Разом:

х-A і

-          19 0

17 12

х-A і

X

х-A і

20 19 0

24

f

 

Насамперед, обчислимо моменти першого і другого порядків:

v і J      0

ті = —\ — = = ^ '

т2

 

х-A і

Т^

і

 

80 100

0,8.

Дисперсію способом моментів, або відліку від умовного нуля, визначають за формулою:

σ2 = і2(т2 - т2 ) = 52(0,8 -02 )=25 0,8 = 20. В тому випадку, коли довільна величина A — 0, a і — 1, дисперсію за способом відліку від умовного нуля визначають за формулою:

σ2

(х)2

I>2f fZxf

Обчислимо дисперсію за цією формулою за даними нашого прикладу.

Таблиця 8.6

Розрахунок дисперсії за формулою σ = х - (х)

 

Маса   Число                        

виробу,           виробів,          х f        х2        x2f

г(х)      шт. (f)                        

97,5     5          487,5   9506,25           47531,25

102,5   19        1947,5 10506,25         199618,75

107,5   53        5697,5 11556,25         612481,25

112,5   17        1912,5 12656,25         215156,25

117,5   6          705,0   13806,25         82837,50

Разом: 100      10750,0           X         1157625,00

Підставимо розраховані дані в табл. 8.6 у формулу дисперсії і отримаємо:

σ2

 

I>2f (2>^

 

1157625 f 10750 )

100

 115776,25 -11556,25 = 20 .

Як і слід було очікувати, результати обчислення дисперсії за всіма вищенаведеними способами однакові.