Розділ 8. Показники варіації 8.1. Поняття про показники варіації і способи їх обчислення


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Середні величини мають велике теоретичне і практичне значення, вони дають узагальнюючу характеристику сукупності за варіаційними ознаками, виражають типовий, для даних умов, рівень цих ознак. Проте, для характеристики досліджуваних явищ одних тільки середніх величин недостатньо, оскільки, при однакових значеннях середньої величини, різні сукупності можуть істотно відрізнятися одна від одної за характером варіації величини досліджуваної ознаки.

Середні величини не виражають індивідуальних особливостей досліджуваної сукупності, які породжують варіацію ознаки її окремих елементів, а тому, їх потрібно доповнювати показниками, що характеризують коливання значень ознаки в сукупності.

Варіацією в статистиці називаються коливання ознаки в одиниць сукупності, а показники, що характеризують ці коливання називаються показниками варіації. Вони показують як розміщуються навколо середньої окремі значення осереднюваної ознаки.

Розглянемо такий приклад. Маємо наступні дані про продуктивність праці робітників-відрядників в двох бригадах:

Таблиця 8.1

 

Табельний номер робітника            Вироблено деталей за зміну, шт.

 

            I бригада II бригада

1

2 3 4

5          10 20 100 180 190     120 110 100 90 80

Разом: 500      500

Середня продуктивність праці в двох бригадах буде однакова і становитиме:

Ххі 500           _ Хх2 500

Xj = -==— =  = 100 шт.; х2 = -==— =        = 100 шт.

п          5          п          5

Однак, коливання продуктивності праці робітників-відрядників в першій бригаді значно більше, ніж у другій. Отже, друга бригада працює ритмічніше, ніж перша.

 

Під час проведення статистичного дослідження важливо визначити варіацію ознаки, що ховається за середніми величинами, які характеризують певну сукупність.

Показники варіації характеризують також типовість самої середньої величини.

Для вимірювання варіації у статистиці використовують такі показники як: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення (дисперсія), середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації.

Найбільш простим із цих показників є розмах варіації (R).

Розмах варіації являє собою різницю між найбільшим і найменшим значенням ознаки і визначається за формулою:

R = х - х •

 лпіах лпші '

Де Хдвх - максимальне значення ознаки; ХЩІП - мінімальне значення ознаки. В нашому прикладі розмах варіації: для першої бригади Rj = 190 -10 = 180 шт.,

для другої бригади R2 = 120 - 80 = 40 шт.

Розмах варіації простий для обчислення, але він відображає лише крайні значення ознаки і не дає уяви про ступінь варіації в середині сукупності. Тому, він використовується для наближеної оцінки варіації. Цей недолік перекривають інші показники варіації.

Середнє лінійне відхилення (1) являє собою середню арифметичну з абсолютних значень відхилень окремих варіантів від їх середньої арифметичної.

Середнє лінійне відхилення - величина іменована і визначається за формулами:

а)         середнє лінійне відхилення просте

/]х-х

1 = —  ;

п

б)         середнє лінійне відхилення зважене

^x-xf

Обчислимо середнє лінійне відхилення для нашого прикладу:

 

Розрахунок середнього лінійного відхилення

Таблиця 8.2

 

Табельн          I бригада        II бригада

ий номер

робітник

a

(п)       вироблено деталей за зміну (Хі)     хі -хі    Вироблен

о деталей

за зміну

(х2)      х2-х2

1

2 3 4

5          10 20 100 180 190     90 80 0

80 90   120 110 100 90 80     20 10 0 10 20

Разом: Ххі=500          /Jxj - Xjl = 340            ХХ2=500        Vjx2 -х2| = 60

 

Ук-xJ 340       т У|х2-х2| 60

 

-==      =          = 68 шт.; 12 = -==     = — = 12 шт.

п          5          п          5

Отже, кількість вироблених деталей за зміну окремими робітниками відрізняється від середньої в першій бригаді в середньому на 68 шт., а в другій бригаді - в середньому на 12 шт. Таким чином, середнє лінійне відхилення по виробництву деталей за зміну в першій бригаді у 5,7 разів більше, ніж у другій.

Середнє лінійне відхилення буде мінімальним, якщо відхилення розраховані від медіани:

 

V|x-Me|f

min.

Основними узагальнюючими показниками варіації в статистиці є дисперсія і середнє квадратичне відхилення.

Середній квадрат відхилення, або дисперсія (о ) визначається як середня арифметична з квадратів відхилень окремих варіантів від їх середньої.

В залежності від вихідних даних, дисперсію обчислюють за формулами:

а) дисперсія незважена (проста)

І>-*)2

п

a2

б) дисперсія зважена

 

а2

 

де O - (грецька буква "сигма"), o2 - дисперсія.

Середнє квадратичне відхилення (о), являє собою корінь квадратний з дисперсії.

Воно визначається за формулами:

а)         середнє квадратичне відхилення просте

Їі>-*)2

° = V   '

V         П

I>-*)2f

б)         середнє квадратичне відхилення зважене

o =

TJ

і

Середнє квадратичне відхилення часто називають стандартним відхиленням. Воно як і середнє лінійне відхилення, є іменованою величиною. Але, в порівнянні з середнім лінійним відхиленням, середнє квадратичне відхилення має ряд переваг, що випливають з його математичних властивостей. Його використовують при оцінці тісноти зв'язку між явищами, при обчисленні помилок вибіркового спостереження, дослідженні рядів розподілу та ін.

Середнє квадратичне відхилення дещо більше середнього лінійного відхилення. Для нормального або близького до нормального

розподілу встановлено таке співвідношення між ними: о = 1,251.

Середнє квадратичне відхилення не завжди зручне для використання, тому що воно не дозволяє порівнювати між собою середні квадратичні відхилення у варіаційних рядах, варіанти яких виражені у різних одиницях виміру. Крім цього, середнє квадратичне відхилення варіаційних рядів за своїм абсолютним значенням залежить не тільки від варіації ознаки, але й від абсолютних рівнів варіантів і середньої, що також не дає змоги порівнювати їх між собою.

Щоб мати можливість порівнювати середні квадратичні відхилення різних варіаційних рядів, потрібно перейти від абсолютних до відносних показників варіації.

До числа відносних показників варіації відносять коефіцієнт варіації (V0), відносний розмах варіації (VR) І відносне лінійне

ВІДХИЛЄННЯ (VT).

Коефіцієнт варіації являє собою відсоткове відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної.

 

V0

= — lOO

Чим менше значення коефіцієнта варіації, тим однорідніша сукупність за досліджуваною ознакою і більш типова середня величина.

Відносний розмах варіації визначається шляхом ділення абсолютного розмаху варіації на середню арифметичну у відсотках.

R

VR

= — 100. х

Якщо в якості абсолютного показника варіації використовують середнє лінійне відхилення, то відносним показником варіації буде відносне лінійне відхилення.

Воно визначається як відсоткове відношення середнього лінійного відхилення до середньої арифметичної або медіани.

I                      I

100.

VT = — 100, VT =

Ме

1 х       1

Оскільки абсолютна величина середнього квадратичного відхилення завжди більша від абсолютної величини середнього лінійного відхилення, то й коефіцієнт варіації буде більшим відносного лінійного відхилення:

V„ > VT .

и          1

Розглянемо обчислення вищенаведених показників варіації на прикладі. Нехай маємо дані про розподіл виробів за масою.

Таблиця 8.3 Розрахункова таблиця

 

Маса   Число                                                           

виробу,           виробів,          X         xf         х —X  х —xf  (x-xf     (x-xff

г(х)      шт. (f)                                                            

доЮО 5          97,5     487,5   10        50        100      500

100-105          19        102,5   1947,5 5          95        25        475

105-110          53        107,5   5697,5 0          0          0          0

110-115          17        112,5   1912,5 5          85        25        425

115-120          6          117,5   705,0   10        60        100      600

Разом: 100      X         10750,0           X         290      X         2000

Розмах варіації в нашому прикладі буде дорівнювати:

R = x

 xmin = 117,5 - 97,5 = 20 г.

Для обчислення наступних показників варіації потрібно визначити середню вагу виробу в даній сукупності:

 

- 2-iX^ 10750

х=^==^— =    = 107,5 г

У f 100

Середнє лінійне відхилення обчислимо за формулою:

т Xlx_xlf 290

1          = _,      =          = 2,9 г

У f       100

Отже, варіація маси виробів за середнім лінійним відхиленням -2,9 г при загальній середній масі 107,5 г.

Обчислимо середній квадрат відхилення (дисперсію) звичайним методом за формулою:

2          Z^( x_x ) ^ 2000

a = „    =          = 20 .

У f       100

Середнє квадратичне відхилення дорівнює:

о = Vо = V20 = 4,472 г Коефіцієнт варіації середньої маси виробу становить:

0          4,472

Vc = — 100 = = 4,16 %.

х          107,5

Обчислимо відносне лінійне відхилення середньої маси виробу за формулою:

1          2,9

VT =— 100 = = 2,70 %.

— 100 =        

х          107,5

Як бачимо: О > 1 (4,472 > 2,900), a Vc > VT (4,16 > 2,70).

Чим менші за величиною середнє квадратичне відхилення і коефіцієнт варіації, тим однорідніша сукупність досліджуваного явища і надійніше обчислена середня величина.

Величину відхилення якого-небудь варіанта від середньої величини визначають через, так зване, нормоване відхилення (t), яке визначається за формулою:

х —X

t =        .

a

Стосовно цього відхилення математична статистика для

характеристики нормального розподілу варіантів широко використовує

правило трьох сигм "Зо", яке більш детально буде розглянуте в

наступній темі.