7.5. Структурні середні


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Поряд з розглянутими вище середніми, для статистичної характеристики варіантних рядів обчислюють так звані структурні (порядкові) середні, до яких відносять моду і медіану.

Модою називається величина ознаки (варіанта), яка найчастіше зустрічається в даній сукупності.

Знаходження моди в дискретному варіаційному ряду не представляє великої складності. Розглянемо табл. 7.13 з розподілом студентів за їх ростом.

Таблиця 7.13

 

Ріст студентів,

CM      165      167      170      173      176      178      180      182      185      187      189      191      195

Число студентів, чол.           8          13        24        30        38        47        55        31        16        9          7          3            2

Очевидно, в цьому прикладі модою буде студент, який має ріст 180 см., так як цьому значенню варіанти відповідає найбільше число студентів (55 чол.).

В розподілах, де всі варіанти зустрічаються однакове число раз, моди немає взагалі, або говорять, що всі варіанти однаково модальні.

 

Якщо два варіанти мають однакові частоти, тоді буде дві моди, тобто розподіл буде бімодальним.

Медіана - це варіант, який займає середнє положення в рангованому варіаційному ряді.

Щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряді, потрібно спочатку розташувати всі варіанти в зростаючому або спадаючому порядку. Потім визначити номер медіани, який вкаже на її розташування в рангованому ряді, за формулою:

п + 1

№ Мє =          ,

де Ме - медіана;

п - число варіантів.

Розглянемо приклад. Маємо дані про розподіл дев'яти деталей

за їх масою:

Таблиця 7.14

 

Номер деталі  1          2          3          4          5          6          7          8          9

Маса, г           2,6       3,4       3,3       2,7       3,0       2,9       2,8       3,1       3,2

Перегрупуємо деталі за їх масою в зростаючому порядку.

Таблиця 7.15

 

Номер деталі  1          2          3          4          5          6          7          8          9

Маса, г           2,6       2,7       2,8       2,9       3,0       3,1       3,2       3,3       3,4

Визначимо номер медіани:

п+1 9+1

№ М „ =          =          = 5 .

2          2

Тобто, під п'ятим номером від початку або від кінця ряду маса деталі буде медіаною. В нашому прикладі медіана Ме — 3,0 г.

Коли варіаційний ряд має парну кількість членів, тоді медіана буде розраховуватись як півсума двох варіантів, які займають середнє положення в рангованому ряді. Припустимо, що в нас є ще десята

деталь з масою 3,5 г. Номер медіани буде рівним 5,5       . В

V 2 )

даному випадку медіана буде розташована між п'ятим і шостим

порядковим номером деталей.

3,0+3,1

Мє =   = 3,05 г.

Для знаходження номера медіани в згрупованому дискретному варіаційному ряді, потрібно до суми нагромаджених частот добавити одиницю і поділити на два. Обчислимо медіану за даними таблиці 7.13.

 

Розрахункова таблиця

Таблиці 7.16

 

Ріст студента,

CM      165      167      170      173      176      178      180      182      185      187      189      191      195

Нагромаджені частоти (Xf)  8          21        45        75        113      160      215      246      262      271      278      281            283

Знаходимо номер медіани:

142.

№ М

283 + 1

 

2          2

Так, в розподілі 283 студентів за їх ростом медіаною буде 142-й варіант, який ділить впорядкований варіаційний ряд навпіл. Отже, 142-й варіант відповідає шостому значенню варіаційної ознаки, і медіаною буде студент з ростом 178 см.

Моду і медіану із інтервальних рядів визначають розрахунковим шляхом за наступними інтерполяційними формулами:

f2 — f]

ДЄ

М = х +і

(f2-fi)+(f2-f3)

М0 - мода;

хто - нижня межа модального інтервалу;

і - розмір інтервалу;

fi - передмодальна частота;

f2 - модальна частота;

{з - післямодальна частота.

 

Мє = хтє +І

ц

^те-І

те

ДЄ

Ме - медіана;

хме - нижня межа медіанного інтервалу;

і - розмір медіанного інтервалу;

 

сума частот;

порядковий номер медіани;

Sme-i_ сума нагромаджених частот до медіанного інтервалу; fme - частота медіанного інтервалу.

Покажемо обчислення моди і медіани для інтервального варіаційного ряду на прикладі, наведеному в табл. 7.17.

 

Таблиця 7.17

Розподіл 500 робітників за заробітною платою

Заробітна плата,        Число робітників,     Нагромаджені

грн.     чол.     частоти

150-160          5          5

160-170          10        15

170-180          61        76

180-190          105      181

190-200          130      311

200-210          109      420

210-220          62        482

220-230          11        493

230-240          7          500

Разом: 500      X

В нашому прикладі мода знаходиться в інтервалі від 190 до 200 грн., тому, що йому відповідає найбільша частота (найбільше число робітників - 130 чол.). Цей інтервал називається модальним.

Підставляючи числові значення із нашого прикладу в формулу

моди, отримаємо:

 130-105

М_ =190 +10  = 195,43 грн.

(130-105)+ (130-109)

Цей показник означає, що найбільше було робітників із заробітною платою 195 грн. 43 коп.

Щоб визначити медіану інтервального варіаційного ряду, спочатку, за допомогою нагромаджених частот, потрібно знайти інтервал, що містить медіану. Медіанному інтервалу відповідає перша з нагромаджених частот, яка перевищує півсуму частот всього обсягу

сукупності

= 250

Отже, медіана знаходиться в інтервалі від

)

190 до 200 грн., що в даному разі співпав з модальним інтервалом.

ГЦдсіавляючи в формулу медіани значення з нашого прикладу, шримаємо:

250 - 181

М =190 + 10   = 195,31грн.

1 ол

Це означає, що половина робітників отримує заробітну плату меншу 195, 31 грн.; а друга половина - більшу.

В доповнення до медіани, для характеристики структури варіаційного ряду, вираховують квартилі і децилі, які відповідно ділять ряд за сумою частот на чотири і десять рівних частин.

 

Перший або нижній квартиль відсікає чверть сукупності знизу, другий - рівний медіані, а третій або верхній - відсікає чверть сукупності зверху.

В інтервальному варіаційному ряду квартилі у середині, визначеного за нагромадженими частотами, інтервала обчислюються за формулами:

а) перший (нижній) квартиль:

4          *

2>

Qj = XQ +І

Qi        f

Qi

де хп - нижня межа першого квартильного інтервалу; і - величина інтервалу;

-==      порядковии номер першого квартиля;

SQ _J - нагромаджена частота перед першим квартильним

інтервалом;

fq - частота першого квартильного інтервалу;

б) третій (верхній) квартиль:

-==—

Q3-l

Q3 = XQ +І

Q3

де xn - нижня межа третього квартильного інтервалу;

V3

і - величина інтервалу;

3-==    порядковии номер третього квартиля;

SQ _J - нагромаджена частота перед третім квартильним

інтервалом;

fQ - частота третього квартильного інтервалу.

Обчислення цих показників у варіаційному ряду абсолютно аналогічне знаходженню медіани і починається з розрахунку порядкового номера відповідного варіанта, а потім за нагромадженими частотами визначається інтервал, в якому міститься шуканий варіант.

 

Так, за даними табл. 7.17 знаходимо, що перший квартиль,

 fl v г- 500^1 . .           . .

порядковии номер якого 12,5 — > і =        , міститься в штервалі від

^4        4 )

180 до 190 грн.

Звідси,

^          125-76

Q, =180+10    = 184,67 грн.

Це означає, що у одної четверті всіх робітників заробітна плата не перевищує 184,67 грн., а в трьох четвертях - вона рівна або перевищує 184,67 грн.

Аналогічно третій (верхній) квартиль, порядковий номер якого

375 — V*f =   , шукаємо в інтервалі від 200 до 210 грн.:

\<\ *—'            4 )

^          375 — 311

Q, =200 + 10  = 205,87 грн.

Отже, заробітна плата кожного четвертого робітника перевищує 205 грн. 87 коп.

Формули для децилів в інтервальному варіаційному ряду мають вигляд:

а)         дециль перший:

Dl=xol+il0 ^     ;

де Di - перший дециль;

х0і - нижня межа першого дециля; і - розмір інтервалу;

— 2_і - порядковий номер першого дециля; 10

SD _j - нагромаджена частота перед першим децильним

інтервалом;

fD - частота першого децильного інтервалу;

б)         дециль другий:

D2=xo2+il0 ^  ;

D2

в) децильтретій:

 

D3 = xo3 + i—            ;

D3 ІТ.Д.

Вираховуються децилі no тій ж схемі, що медіани і квартилі.

_          50 — 15

Так, Dj = 170+ 10      = 170 + 10-0,574 = 175,74 грн.;

_          100-76

D, =180 + 10  = 180 +10-0,228 = 182,28 грн.;

т^        150 — 76

D, =180+10    = 180 + 10-0,705 = 187,05 грн.;

^          500-493

Dl0 = 230 +10 = 230 +10 • 1 = 240,00 грн.

Мода, медіана, квартилі і децилі відносяться до так званих порядкових статистик, під якими розуміють варіант, який займає певне порядкове місце в рангованому варіаційному ряду.

їх використання в статистичному аналізі варіаційних рядів дозволяє більш глибоко дослідити і детальніше охарактеризувати сукупність, яка вивчається.