Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7
7.4. Інші види середніх. : Загальна теорія статистики : Бібліотека для студентів

7.4. Інші види середніх.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Особливе місце в статистиці відводиться різним модифікаціям степеневої середньої. Загальна формула степеневої середньої має такий вигляд:

- W

х = л1-==        степенева проста;

2?

V п

X = k

степенева зважена,

TJ

\

де х - степенева середня; х - варіанти; п - число варіантів; f - частоти;

k - показник степеня, який визначає вид середньої. Степінь степеневої середньої визначає вид середньої величини.

- 2>

Так, при k — 1 отримаємо середню арифметичну: ха =  ;

п

- W

при k — 2 - середню квадратичну: х = і /-==— ;

V п

W

при k = 3 - середню кубічну: хк = і -==— ;

V п

і           .           _          п

при k — - 1 - середню гармонічну: xh =    ;

X

 

при к = 0 - середню геометричну: х = yDx ,

де D - знак множення.

Чим вищий степінь у формулі степеневої середньої, тим буде більшою величина середньої для однієї і тієї ж системи індивідуальних значень ознак. Таким чином, наведені вище середні розмістяться в наступному порядку:

xh < xg < ха < xq < xk і т.д.

Дане співвідношення називається в статистиці правилом мажорантності (від французьського слова majeur - більший). Це правило буде достовірним для середніх, обчислених за різними формулами, але тільки з величин однієї і тієї ж сукупності. Різниця між середніми буде тим значніша, чим більша варіація осереднюваних величин.

В статистиці правильну характеристику сукупності за варіаційною ознакою в кожному окремому випадку дає тільки вірно вибраний відповідний вид середньої.

Із всіх видів степеневих середніх в статистиці найбільш часто використовують середню арифметичну, дещо рідше - середню гармонічну. Середню квадратичну використовують тільки при обчисленні показників варіації, а середню геометричну - при обчисленні середніх темпів динаміки. Більш детально останні дві середні будуть розглянуті в наступних темах.

В окремих випадках, для узагальнюючої характеристики двох і більше ознак, часто з різними одиницями виміру, використовують багатомірну середню. її розрахунок базується на відношенні індивідуальних значень ознак Ху до середньої по сукупності в цілому:

п

п          ХЧ       - SXj

Pjj = ^ , ДЄ X; =        .

X;        П

Багатомірну середню обчислюють як середню арифметичну просту з відношень Ру за формулою:

m

Mi =     :

m де m - число ознак.

Вона характеризує місце j-ro елементу сукупності в багатомірному полі дослідження. Методику обчислення багатомірних середніх покажемо на прикладі. Нехай забезпеченість трьох областей Галичини деякими основними товарами культурно-побутового призначенні характеризується наступними даними (табл. 7.9, дані умовні):

 

Таблиця 7.9

 

            Забезпеченість в       Співвідношення       

            розрахунку на 100 сімей, шт.           Pjj = —

X;        Багато-мірні

Область                                             Plj        P2J      P3J      середні

г- =     

m

Ів.-Франківська         92        85        73        0,979   1,000   1,000   0,993

Львівська       98        87        72        1,042   1,024   0,986   1,017

Тернопільська           96        84        74        1,021   0,988   1,014   1,008

Україна в цілому       94 85 73          1,000   1,000   1,000   1,000

Так,     Рц=^^- = — = 0,979; ^гг=^Р^ =— = 1,024 ;

Xj 94   х2 85

_ х33 74          .           _

Р33 =^г = — = 1,014 і т.д. Базою зіставлення в даному випадку ми

х3 73

взяли середній рівень забезпеченості окремими товарами культурно-побутового призначення по країні в цілому.

Багатомірна середня із відносних величин для Івано-Франківської області становить:

ІРіі

— _     0,979 + 1,000 + 1,000

vx = —            =          = 0,993 ;

m         3

Львівської- P2 =1,017 i Тернопільської - P3 =1,008.

У Львівській i Тернопільській областях забезпеченість сімей даними товарами культурно-побутового призначення вища за середню по Україні (значення багатомірних середніх більше за одиницю), а в Івано-Франківській області дещо нижча за середньодержавну (багатомірна середня менша за одиницю).

В деяких випадках для поглибленого економічного аналізу, обчислюють прогресивну середню. На відміну від загальної середньої, де в розрахунок беруть всі без винятку варіанти, прогресивна середня дає зведену характеристику не взагалі, а тільки кращих індивідуальних показників.

При обчисленні середньої прогресивної можливі два варіанти. Перший - коли кращими будуть вищі показники від загальної

 

середньої (вища врожайність, вища продуктивність праці, більша заробітна плата і т.д.). В цьому випадку: а) з усіх наявних варіантів обчислюють загальну середню; б) відбирають всі ті варіанти, які перевищують загальну середню; в) з цих кращих варіантів обчислюють прогресивну середню.

X = ■==—, п

де х' - кращі (вищі) варіанти;

п - число кращих варіантів.

Приклад 1. Маємо дані про заробітну плату десяти робітників

бригади.

Таблиця 7.10

 

Табельний номер робітника            1          2          3          4          5          6          7          8          9          10

Заробітна плата, грн.            150      262      173      280      200      240      185      300      192      168

Обчислимо загальну середню:

= =     

п

10 215 грн.

/ ,х 150 + 262 + 173 + 280 + 200 + 240 + 185 + 300+ 192 + 168

                       

 

2150 10

Відберемо вищі варіанти за 215 грн. і визначимо прогресивну середню:

270,5 грн.

Х'

/ ,х 262 + 280 + 240 + 300

             ZZ     

п          4

За другим варіантом кращими визнають показники нижчі загальної середньої (нижча собівартість одиниці продукції, менші затрати часу на виготовлення одиниці продукції, менша фондоємкість, матеріалоємність, енергоємність і т.д.). Тут також спочатку: а) обчислюють загальну середню; б) відбирають кращі (менші) варіанти; в) з кращих (менших) варіантів обчислюють прогресивну середню:

- IX

X = ^^— , п

де х"-кращі (менші) варіанти;

п - число цих варіантів.

Приклад 2. Нехай маємо дані про собівартість одиниці

однойменної продукції, яка виробляється на десятьох підприємствах

області (табл. 7.11, дані умовні):

 

Таблиця 7.11

 

Номер підприємства            1          2          3          4          5          6          7          8          9          10

Собівартість, грн.      2,9       3,1       3,0       2,8       2,7       3,2       2,6       3,1       3,0       2,8

Середня собівартість одиниці продукції по десяти заводах буде дорівнювати:

/ ,х 2,9 + 3,1 + 3,0 + 2,8 + 2,7 + 3,2 + 2,6 + 3,1 + 3,0 + 2,8

                                  

X =      =

п          10

           

29,2

2,92 грн.

Далі відбираємо кращі (менші) варіанти і обчислюємо прогресивну середню:

—» ^x 2,9 + 2,8 + 2,7 + 2,6 + 2,8 13,8

х =       =          =          = 2,76 грн.

п          5          5

Часто виникає необхідність в обчисленні середнього рівня

варіантів моментного ряду з рівними інтервалами, розміщених в

хронологічному порядку. 3 цією метою використовують формулу

середньої хронологічної виду:

1          1

х

X] +х2 +х3 +...+ xn_j ч—хп

2          2

п-1

де хь х2, х3, ..., хп - варіанти ряду; п - кількість варіантів.

Покажемо застосування цієї середньої на прикладі. В одному відділенні Національного банку заборгованість по всіх планових позиках наступна (табл. 7.12, дані умовні):

Таблиця 7.12

 

Дані на початок місяця        Voi      V02     V03     V()4     V05     V06     V07     Vo8     V09     Vio      Vn       Vl2            1 / 01 наступного року

Заборгованість по позиках, тис. грн.         20        30        80        70        60        50        60        90        80        60            40        30        30

Потрібно визначити середній залишок по позиках за I, II, III, IV квартали і за рік в цілому.

 + 30 + 80 +

2          2

1          1          20        70

2

Xj +х2 + х3 н—х4

Х

 

 51,7 тис. грн.

п-1

 

хп=

 58,3 тис. грн.

= 76,7 тис. грн.

38,3 тис. грн. 30

хш =

 

X

р

1          1          70        60

— х4+х5 + х6н—х7   h 60 + 50 ч     

 

п-1

1          1          60        пл 60

 х7+х8+х9н—х10       h 90 + аО ч    

2          2          2          2

п-1

1          1          60        30

-х10+хп+х12+-Хі — + 40 + 30 + —

IV

2          2          2          2

 

п-1

+ 30 + 80 + 70 + 60 + 50 + 60 + 90 + 80 + 60 + 40 + 30 +

12 56,25 тис. грн., або

2          2

 

675 12

51,7 + 58,3 + 76,7 + 38,3 225

 56,25 тис. грн.

- хі + хи + хш + ХІУ

р =      

4          4          4

Середня хронологічна буде тим точніша, чим менші проміжки часу взяті між моментами. Більш детально застосування цієї середньої розглянемо в темі "Ряди динаміки”.