7.3. Середня гармонічна


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

В статистичній практиці часто зустрічаються випадки, коли середню потрібно обчислювати за формулою середньої гармонічної. Це відбувається тоді, коли підсумовуванню підлягають не самі варіанти, a обернені їм числа. В цьому випадку, для знаходження середнього

 

значення варіаційної ознаки, застосовують формулу середньої гармонічної простої, яка має вигляд:

_ п

X

X

де п - число індивідуальних значень ознак;

V         сума обернених значень ознак.

х

Техніку обчислення середньої гармонічної простої покажемо на такому прикладі.

В ремонтній майстерні підприємства працювало п'ять робітників по 8 годин кожний. Перший витрачав на обробку однієї деталі 10 хв., другий - 12 хв., третій 13 хв., четвертий - 9 хв. і п'ятий -15 хв. Потрібно визначити середні затрати часу на обробку однієї деталі.

Відомо, що між продуктивністю праці робітника і затратами

часу на обробку однієї деталі існує обернена залежність. Тобто, чим

вища продуктивність праці робітника, тим менше він витрачає часу на

обробку однієї деталі. Так як кожен робітник працював однакову

кількість часу, то середні затрати часу потрібно обчислювати за

формулою середньої гармонічної простої.

_ п       5          5

х =       — = —           =         = 11,4 хв.

Z

! JJ111 0,438 х 10 12 13 9 15 Перевіримо правильність зробленого нами розрахунку. Перший робітник обробив за зміну 48 (480 : 10) деталей, другий - 40 (480 : 12) деталей, третій - 37 (480 : 13) деталей; четвертий - 53 (480 : 9) деталі і п'ятий - 32 (480 : 15) деталі.

Кількість деталей оброблених за зміну одним робітником буде становити в середньому:

_ Xх 48 + 40 + 37 + 53 + 32 270

х =       =          =          = 42 деталі.

п          5          5

Кількість часу затраченого в середньому на обробіток однієї

деталі робітником за зміну буде дорівнювати:

_ 8-60 480

х =       =          = 11,4 хв.

42 42

Отже, середня гармонічна являє собою обернену величину середньої арифметичної, обчисленої з обернених значень ознак.

 

Середню гармонічну зважену застосовують в тих випадках, коли є дані про індивідуальні значення ознаки в загальній сукупності і загальний обсяг сукупності, але в готовому виді немає частот.

_ £w

W

 -==    

х

I

W

I

де

х звідси f

сума добутку обернених ознак і частот, тобто х • f = W ,

W

 

х

Розглянемо приклад. Маємо дані про середню заробітну плату робітників заводу в розрізі цехів і фонд заробітної плати (табл. 7.7).

Таблиця 7.7

 

Номер цеху    Середня заробітна плата

одного робітника,

грн. (х)            Фонд заробітної плати, грн. (W)

1

2 3       290 320 350    17400 16000 14000

Підставивши у формулу середньої гармонічної зваженої дані з нашого прикладу, отримаємо середню заробітну плату одного робітника по заводу в цілому:

17400 + 16000 + 14000 47400

2>

X

316 грн.

W 17400 16000 14000

 +         +

х          290 320 350

Якщо сукупність складається з двох частин (ni і n2) і є дані про їх середні гармонічні (xj і х2) ■> то загальну середню гармонічну для всієї сукупності визначають як зважену гармонічну середню з часткових гармонічних середніх.

- п1+п2

X =      .

11, 11,

Xj х2

Звернемось до прикладу. Нехай маємо дані про чисельність робітників двох цехів: Пі — 150 чол., п2 — 140 чол. Середня заробітна плата робітників першого цеху Xj = 300 грн., другого х2 = 350 - грн. Потрібно визначити середню заробітну плату по обох цехах разом:

 

150 + 140 290 0,9

X

 

щ +n2

                                   

_ + _ Xj x2

+ 300 350

n, n7 150 140

322,22 грн.

Інколи, для характеристики деяких явищ і процесів використовують формулу середньої антигармонічної, яка має вигляд:

х

2>?

проста;

 

X

 зважена.

Наведемо три приклади її використання.

Приклад 1. Маємо п тренерів, і кожний з них підготував х; спортсменів. Якщо кожний спортсмен підготовить стільки ж нових спортсменів, скільки підготував його тренер, то середнє співвідношення спортсменів і тренерів (продуктивність роботи тренера) можна відобразити середньою антигармонічною.

Нехай п'ять тренерів підготували відповідно 10, 16, 20, 17 і 13 спортсменів.

Тоді X

 

+ 10 + 16 + 20 + 17 + 13

10 +16 +20 +17 +13 1214

 

= 16 чол.

в справі підготовки

Тобто, продуктивність праці тренера спортсменів складає в середньому 16 чоловік.

Приклад 2. Маємо п'ять галузей народного господарства і дані про ефективність грошових вкладень в кожну з них: Xj — 1,1; х2 — 1,2; х3 — 1,3; х4 — 1,2 і х5 = 1,1. Одна вкладена гривня в поточному році дасть дохід X; гривень в наступному році. Якщо X; незмінні, TO ефективність вкладень виразиться формулою середньої антигармонічної.

= 1,18 грн.

X

/ ,ХІ _ 1,1 +1,2 +1,3 +1,2 +1,1 _ 6,99

V'x;      1,1 + 1,2 + 1,3 + 1,2 + 1,1     5,9

Приклад 3. Розподіл обстежених сто жінок за народженням дітей представлений в табл. 8.7.

Таблиця 7.8

 

Число ЖІНОК (f;)     5          8          22        46        14        4          1

Число народжених дітей (х;)           6          4          1          2          3          5          8

 

Припустимо, що кожна дочка народила стільки ж дітей, скільки мала її мати, при цьому число народжених дівчаток і хлопчиків однакове. Потрібно встановити співвідношення чисельності між поколіннями.

_ ^ХІ^І 6 -5 + 4 -8 + 1 -22 + 2 -46 + 3 -14 + 5 -4 + 8 -1

х = ■==;          =          =

>x;fi     6 • 5 + 4 • 8 +1 • 22 + 2- 46 + 3-14 + 5-4 + 8-1

=          = 3,27 чол.

Отже, на кожну людину першого покоління буде припадати в

середньому 3,27 чол. наступного покоління.