Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_c13a98d98d455bc3a94d8c2144879730, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
7.2. Середня арифметична і ії властивості : Загальна теорія статистики : Бібліотека для студентів

7.2. Середня арифметична і ії властивості


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 
120 121 122 

Загрузка...

Найбільш поширеним видом середніх величин в статистиці є середня арифметична. Вона застосовується у формі простої середньої і зваженої середньої.

Середня арифметична проста застосовується в тих випадках, коли всі варіанти зустрічаються один раз, або мають однакові частоти в

 

досліджуваній сукупності. її отримують шляхом додавання окремих варіантів і діленням суми на число доданків.

Формула середньої арифметичної простої має вигляд:

X

Xj +х2 + х3 + ... + х„

п

 

2>

п

де х - середня величина ознак;

хь х2, х3, ..., хп - окремі варіанти ознаки;

Z - (велика грецька літера "сігма") - знак суми; п - кількість варіантів.

Розглянемо приклад. Маємо такі дані про добове видобування вугілля на шахті за першу декаду червня (табл. 7.1):

Таблиця 7.1

 

Числа місяця  1          2          3          4          5          6          7          8          9          10

Добове видобування вугілля, тис. т           5,4       5,3       5,6       5,5       5,7       5,9       6,0       5,8       6,2       6,1

В нашому прикладі дані про добове видобування вугілля зустрічаються однакове число раз, а тому середньодобове значення цієї ознаки потрібно вираховувати за формулою середньої арифметичної простої:

X

/ ,х 5,4 + 5,3 + 5,6 + 5,5 + 5,7 + 5,9 + 6,0 + 5,8 + 6,2 + 6,1

                       

п

 

57,5

           

 

 5,75 тис. т.

Якщо в сукупності варіанти зустрічаються неоднакову кількість раз, то їх об'єднують в групи і, таким чином, переходять від середньої арифметичної простої до зваженої.

Середня арифметична зважена обчислюється як частка від ділення суми добутків варіантів і їх частот на суму частот. Вона визначається за формулою:

х

Xjfj +x2f2 +x3f3 +...+ xnfn X/

f! + f2 + fз + ... + fn     2 ^ '

ДЄ

f - частоти (ваги), які показують скільки раз зустрічаються

значення ознаки в сукупності.

Отже, для обчислення середньої арифметичної зваженої потрібно: а) кожний варіант перемножити на його частоту; б) знайти суму їх добутків; в) суму добутків поділити на суму ваг.

 

Наведемо приклад. Маємо дані про заробітну плату робітників і число робітників, які отримують дану заробітну плату.

Таблиця 7.2

 

Табельний номер робітника            Заробітна плата

одного робітника,

грн. (х)            Число робітників, чол. (f)

1

2 3 4

5          150 180 200 210 250 10

17 40 18 15

Разом х 100

Середня заробітна становитиме:

плата робітників за цими даними

Zxf

150-10+ 180 -17 + 200 -40 + 210 -18 + 250 -15

X

 

           

10 + 17 + 40 + 18 + 15

20090

 200,9 грн.

 

Часто доводиться обчислювати середню із варіантів, які самі по собі є середніми величинами, тобто середню з середніх. Така середня визначається так само, як і середні з початкових значень ознаки. В даному випадку середні, які служать основою для обчислення загальної середньої, беруться в якості варіантів.

Таблиця 7.3 Середня урожайність озимої пшениці по групі господарств району

 

Номер господарства Середня урожайність озимої пшениці,

ц/га (х)            Посівна площа озимої пшениці, га (f)

1

2 3 4

5          28,5 30,0 34,9 40,0 42,6        300 250 800 350 300

Разом  X         2000

Звідси, середня врожайність озимої пшениці по всіх господарствах складе:

 

_ 2-iX^ 28,5-300+30,0-250+ 34,9-800+ 40,0-350+ 42,6-300

x = -=— =       =

У f       300 + 250 + 800 + 350 + 300

70750  ,

=          = 35,4 ц/га.

2000

Іноді середні величини потрібно обчислити не з конкретних значень варіантів досліджуваної ознаки, а із значень величин, виражених у вигляді інтервалів. В таких випадках потрібно для кожного інтервалу знайти його середину за простою середньою між верхньою і нижньою межею кожного інтервалу і після цього проводити обчислення за формулою середньої арифметичної зваженої.

Покажемо обчислення середньої на основі інтервального ряду (табл. 7.4).

Таблиця 7.4 Розподіл виробів за їх вагою

 

Вага виробів, Число виробів,          Середина       Вага всіх

г (х)     шт. (f)  інтервалу (х)  деталей, г (х • f)

до 100 5          97,5     487,5

100-105          19        102,5   1947,5

105-110          52        107,5   5590,0

110-115          18        112,5   2025,0

115 і більше    6          117,5   705,0

Разом  100      X         10755,0

В даному прикладі варіанти наведені у вигляді інтервалів ("від -до”), при цьому верхня і нижня межа інтервального ряду відкриті. Для знаходження нижньої межі першого інтервалу спочатку визначають розмір наступного інтервалу: 105 - 100 — 5. Потім, від верхньої межі першого інтервалу віднімаємо цей розмір 100 - 5 — 95, таким чином будемо мати нижню межу першого інтервалу. Для знаходження верхньої межі останнього відкритого інтервалу беруть розмір попереднього інтервалу, який додають до нижньої межі шуканого інтервалу: 115 + 5 — 120. Далі перетворюємо інтервальний ряд в конкретні числа за формулою середньої арифметичної простої: для першого інтервалу 95 + 100 : 2 — 97,5 г; для другого 100 + 105 : 2 — 102,5 г і т.д. (див. передостанню колонку).

Перемноживши вагу одного виробу на їх кількість, будемо мати вагу всіх виробів. Середню вагу одного виробу знайдемо шляхом ділення ваги всіх виробів на кількість виробів.

 

- Z-ґ^ 10755

x = ^^— =      = 107,55 г.

У f 100

Середня арифметична має деякі математичні властивості, що мають практичне значення для спрощеного обчислення середньої за даними варіаційного ряду.

Найважливіші з них такі:

1. Якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одне й теж число (А), то й середня арифметична збільшиться (зменшиться) на те ж число (А):

2>-A)-f - . - L(*-A)-f

- х - A, звідки х =       Ь A.

—^=і   — A — rt , ЗШДКИ A —    ==;     

2.         Якщо всі варіанти збільшити або зменшити в одне й те ж

число (і) раз, то й середня арифметична відповідно збільшиться

(зменшиться) в (і) раз:

—-— = —, ЗВІДКИ X = „*— і.

f і         у f

3.         Якщо всі частоти (ваги) поділити або помножити на яке-

небудь число (z), то середня арифметична від цього не зміниться:

z

4.         Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі

добутків варіантів на частоти:

x.£f = £xf.

5.         Сума відхилень варіантів від їх середньої завжди дорівнює

нулю:

для простої середньої / Дх —х)= / х-пх = 0 ;

для зваженої середньої ^ (х - x)f = ^ xf - х ^f = 0 .

Використання першої і другої властивостей середньої арифметичної дозволяє значно спростити її обчислення. Цей метод в статистиці називається метод моментів, або метод відліку від

 

умовного нуля. Розглянемо спрощений спосіб обчислення середньої арифметичної методом моментів за даними попереднього прикладу (табл. 7.5).

Таблиця 7.5

Вага виробів,

г

X

Число

виробів,

шт.

f

Середина

інтервалу

х

Скорочені варіанти

х-A

і

і — 5

х-А A — 107,5

Зважені скорочені варіанти

[ х-A 1

і

 

до 100 100-105 105-110 110-115 115 і більше

Разом

 

19 52 18 6

97,5 102,5 107,5 112,5 117,5

х

 10

0 1

х

-          2

-          1

0

1

х

 

-          19 0

18 12

+ 1

Формула для знаходження середньої арифметичної способом моментів має вигляд:

Х = І-ЇЇІ1 + А,

ДЄ

т1

 

х-A і

TJ

f

 момент першого порядку;

 

х - варіант;

f - частота;

A - умовно взяте число;

і - розмір інтервалу.

Визначаємо момент першого порядку:

f

1 100

х-A і

 

Ш]

 

TJ

 0,01.

Підставляємо значення в формулу:

x = i-mj +А = 5-0,01+ 107,5 = 107,55 г.

Отже, ми отримали той самий результат, що й при обчисленні за звичайною формулою середньої арифметичної зваженої.

Спосіб моментів використовують в тих випадках, коли вихідні дані наведені у вигляді інтервального ряду з рівними інтервалами.

Третю властивість середньої арифметичної використовують тоді, коли доводиться мати справу з великими частотами. В цьому

 

випадку частоти скорочують і подальші розрахунки проводять з малими числами.

На цій же властивості середньої арифметичної Грунтується перехід від абсолютних значень частот до відносних величин, які визначаються як процентне відношення кожної групи частот до їх загального підсумку.

Розглянемо застосування цієї властивості на прикладі. Нехай маємо розподіл п'яти груп господарств за врожайністю гречки (табл. 7.6).

Таблиця 7.6

 

I           10        10000

II         12        30000

III        14        50000

IV        16        40000

V         18        20000

Групи господ-дарств

Разом

Урожай-ність

гречки, ц/га

х

X

Посівна

площа,

га

f

150000

Скорочені ваги

r           f

і

10000

Варіанти,

зважені на

скорочені

ваги

XI

10 36 70 64 36

 

Р

•100

Питомі ваги f

Ії

6,67 20,00

33,33 26,67 13,33

Варіанти, зважені

на

питомі

ваги

х-Р

66,70 240,00 466,62 426,72 239,94

1439,98

10000

30000

f2

і

 = 1; fо

іі

 

3; і т.д.

10000 10000   10000 10000

- Zxf' 216        ,

Середня врожаиність х = ^^— =    = 14,4 ц/га.

2/' 15

150000 30000

           

150000

10000

•100 = 100 = 6,67 %;

t'

Р2

 

•100 = 20,00 ; іт.д.

Середня врожайність х

14,4 ц/га.

ХХР 1439,98

             ZZ     

100      100



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_c13a98d98d455bc3a94d8c2144879730, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0