Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
Задачі : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

1.3.1. На вершину гори веде 7 доріг.

Скількома способами турист може піднятись на гору і спуститись з неї?

Дати відповідь на те саме запитання, якщо підняття і спуск відбуваються різними шляхами.

Розв’язок.

Турист може піднятись щ = 7 способами і спуститись п2 = 7 способами. Згідно узагальненого правила добутку піднятись на гору і спуститись з неї можна п = п1 ■ п2 = 7 ■ 7 = 49 спосо-бами. Якщо спуск відбувається іншим шляхом ніж підйом, то щ =7-1 = 6. Отже п = п1-п2 = 6 • 7 = 42 . Іншими словами, оскільки має значення не лише вибір двох доріг з усіх доріг для підняття і спуску (вибір 2 елементів серед 7 елементів), але й вибір доріг для підняття і спуску серед двох уже ви-браних (порядок розташування елементів у групі), то число п

рівне числу розміщень з 2 елементів серед 7: п = А7 = 6 • 7 = = 42.1.3.2.         Скільки тризначних чисел можна записати цифрами

0, 1, 2, 3, 4?

Розв’язок.

Перша цифра у тризначному числі може бути вибрана n1 = 4 способами (“0” не вибирається), друга цифра n2 = 5 способами, третя цифра n3 = 5 способами. Згідно узагальне-ного правила добутку усіх тризначних чисел може бути n = n1 n2 n3 = 455 =100 .

1.3.3.   Скільки тризначних чисел можна записати цифрами

0, 1, 2, 3, 4, якщо кожну з цих цифр використовувати не

більше одного разу?

Розв’язок.

Якщо кожну з цифр використовувати не більше одного разу, то третю цифру можна записати n3 = 5 способами, другу цифру – n2 = 4 способами, першу цифру – n1 = 3 способами. Згідно узагальненого правила добутку усіх тризначних чисел може бути n = n1 n2 n3 = 345 = 60 . Це число n дорівнює кількості розміщень з 3 елементів серед 5 елементів:

A53 = 543 .

1.3.4.   Скількома способами 7 осіб можуть стати в чергу

до каси?

Розв’язок.

Число n дорівнює кількості перестановок з 7 елементів n = 7!=1234567 = 5040 .

1.3.5.   Скількома способами можна з 7 осіб вибрати комі-

сію, що складається з 3 осіб?

Розв’язок.

Оскільки має значення лише набір 3 осіб серед 7 осіб, а порядок їх розташування у групі не має значення, то число способів n рівне числу комбінацій, які можна утворити з 3

3    765

елементів серед 7: n=C7 =    =35.

1231.3.6.     Студентові треба за 8 днів скласти 4 іспити. Скіль-

кома способами це можна зробити?

Розв’язок.

Розглянемо варіанти розв’язків.

а)         Оскільки порядок розташування іспитів за кожен день

має значення, то кількість способів рівне числу розміщень з

чотирьох елементів серед 8 елементів: A84 = 8765 =1680 .

б)         Логічно зробити такі обмеження – за один день можна

скласти лише один іспит. Тоді на 8 місць треба розставити 4

значущі цифри (різні іспити) і 4 нулі (відсутність іспитів).

4    87 6 5

Вибрати 4 дні з восьми можна С8 =          =70 спо-

1 23 4

собами, а посортувати ці 4 іспити по порядку в кожному із способів можна  Р4 = 4! = 4321= 24 варіантами. Всього

одержимо   7024 =1680 способів здачі іспитів.

в)         Можна міркувати інакше – якщо обмеження є: за один

день складається 1 іспит, то для здачі І іспиту маємо 8

варіантів (днів); для здачі ІІ іспиту – лише 7, бо один день вже

вибрано; для здачі ІІІ іспиту – 6; а ІV– лише 5; отже, число

способів рівне 87 65 =1680 .

г)         Якщо ж обмежень немає і за день можна скласти будь-

яку кількість іспитів, то для кожного з іспитів є 8 варіантів

вибору для складання і тому цих способів буде рівне

84 = 8888 = = 6464 = 4096 .

1.3.7.   У розіграші першості країни з футболу бере участь

17 команд.

Скількома способами можуть бути розподілені золота, срібна і бронзова медалі?

Розв’язок.

Оскільки мова йде про вибір групи з k = 3 елементів серед n = 17 елементів і тут важливий порядок розташування еле-ментів у групі, то N = Ank = A137 =171615.1.3.8.            У класі вивчають 10 предметів. У понеділок 6

уроків, причому всі уроки різні.

Скількома   способами   можна   скласти   розклад   на понеділок? Розв’язок. n = 10,   k = 6,   N = A160 =1098765 =151200 .

1.3.9.   Автомобільний номер складається з двох букв і

чотирьох цифр.

Яке число номерів можна скласти з 33 літер українського алфавіту?

Розв’язок.

У номері можуть повторюватись букви і цифри. Так що кількість способів, якими можна розташувати 33 літери

українського алфавіту на двох місцях рівна n1 = 3333 = 332 , це рівне кількості розміщень з повтореннями з 33 елементів по 2: A3 23 = 332 . Кількість способів, якими можна розташу-вати 10 цифр на чотирьох місцях рівна n2 =10101010 = =104 , що рівне кількості розміщень з повтореннями з 10 елементів по 4: A1 40 =104 .

За правилом добутку шукана кількість номерів рівна n = n1 n2 = 332 104 = 1089000 .

1.3.10. На зборах повинно виступити 4 особи: А, В, С, D.

Скількома   способами   їх   можна   записати   в  список

ораторів, якщо В не може виступити раніше, ніж А?

Розв’язок.

Необхідно вибрати дві особи: А і В (k = 2) серед чотирьох осіб (n = 4) і при цьому важливий порядок розташування вибраних осіб. Таким чином, кількість способів, якими можна записати ораторів рівна кількості розміщень без повторень з 2 елементів серед 4 елементів: N = A = 43=12 або    4321

42        =          =12.

121.3.11.       Скільки різних слів можна утворити переставлян-

ням букв у слові “математика”?

Розв’язок.

У слові “математика” є десять букв, з них — буква “м” повторюється пі = 2 рази, “а” - п2 = 3 рази, “т” - п3 = 2 рази. Тоді загальна кількість слів, які можна утворити перестав-

п\

лянням букв рівна: Рп(п, ,п2...пк) =           .

п1\п2\...пк\

Підставивши необхідні дані, отримуємо:

л          Ю!       1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

і?0 (2,3,2) =    =          = 151200 .

2!-3!-2!           1-2-1-2-3-1-2

1.3.12. Скільки різних слів можна утворити переставлян-

ням букв у слові а) “баобаб”; б) “комбінаторика”?

Розв’язок.

а)         У слові “баобаб” є шість букв; з них буква “б” повто-

рюється «і = 3 рази; буква “а” повторюється п2 = 2 рази. Тоді

загальна кількість слів, які можна утворити переставлянням

букв рівна:

PnU,n2,...nk) =            :           .

п1\-п2\...пк\

Підставивши необхідні дані, отримуєм:

п          6!      1-2-3-4-5-6

Р6(3;2) =         =          = 60;

3!-2!       1-2 -3-1- 2

/           131

б)         РЛ2:2:2) =       = 778377600.

2!-2!-2!

1.3.13. Скількома способами можна вибрати 6 однакових

або різних тістечок у кондитерській, де є 11 різних сортів

тістечок?

Розв’язок.

Кількість способів, якими можна вибрати 6 однакових або різних тістечок з 11 різних тістечок рівне числу комбінацій з повтореннями з 11 елементів по 6:

 ТТЙ       Й      Й     ^ш           16!       16!

N = c  =C       =C   = C   =     =         

6! (11-1)!    6!10! 1112-13 -14-15•16

8008, згідно формули

1-2-3-4-5-6

 

Tt       t (w + £-l)!

C   =C ,, , =-   .

£!(w-l)!

1.3.14. У кімнаті є n лампочок.

Скільки всього є різних способів освітлення кімнати, при яких горить рівно k лампочок? Скільки всього може бути різних способів освітлення кімнати?

Розв’язок.

Оскільки мова йде лише про горіння k конкретних лампочок з n, то кількість способів, якими можна освітити кімнату рівна числу комбінацій з k елементів серед n, тобто

N =Cnk .

Загальне число способів, якими можна освітити кімнату рівна сумі комбінацій з k = 0, 1, ... n серед n елементів:

N = Y^ckn = C°n + C\ + C\ +... + Cnn .

k=0

Числа  C°,   C\   C2,...   C"   є коефіцієнтами в розкладі бінома Ньютона:

(a + b)" = ^Ckakbn k = C°a°b" +Clnalbn l +

k=0

2    2и-2          и«О

Якщо покласти a = b = 1, то  C° +C' + C2n +... + C"n

= с°пл° лп+с\л1 лп-1+с2пл2 лп-2 + ...+cnn-r -f =

n

= (1 + \)n = 2й. Отже, ^Ckn = 2й.

£=0

            1.3.15. Довести рівність (М - т)С™ =МС™-1. Розв’язок.

Перетворимо    ліву    частину    рівності,    використавши формули комбінаторики:

(М - т)С™ =(М-т)-

т\(М -т)\

М\(М-т)          (М-\)\М

           

           

мст

т\(М -т-\)\(М -т)    т\(М-т-\)\

або перетворимо праву частину рівності:

,„т        М(М-\)\           М\(М-т)

 

т\{М -\-т)\    т\{М -\-т){М -т)

М\(М-т)    „,      ч^ш

           

            ' = (М -т)С™..

т\{М-т)\