Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

1.2.1. Відомо, що N(A) = N(B) = — N . Довести, щоN(AB) = N(AB). Розв’язок. Підставимо у формулу “решета” числові дані:N(AB) = N- N(A) - N(B) + N(AB) = N—N — N +

2        2

+ N(AB) = N(AB).

1.2.2.   Відомо, що N(A) = N(B) = N(C) = -N,N(ABC) = N(ABC).

Довести, що 2N(ABC) = N(AB) + N(AC) + N(BC).

Розв’язок.

Згідно формули “решета”:

N(AB) + N(AC) + N(BC) = N(ABC )-N + N(A) +

+ N(B) + N(C) + N(ABC) = 2N(ABC) -N + 3--N == 2N(ABC).

1.2.3.   Довести, що N(AB) + N(AC) + N(BC) > N(A) +

+ N(B) + N(C) - N.

Розв’язок:

Згідно формули “решета”:

N(ABC) = N - N(A) - N(B) - N(C) + N(AB) + N(BC) + + N(AC) - N(ABC), звідки: N(ABC) + N(ABC) = = N-N(A)-N(B)-N(C) + N(AB) + N(BC) + N(AC).

Оскільки    N(ABC)>0,N(ABC)>0,   то    N(ABC) + + N(ABC) > 0. Отже, N - N(A) - N(B) - N(C) + N(AB) + + N(BC) + N(AC)>0,       що       рівнозначно       нерівності N(AB) + N(BC) + N(AC) > N(A) + N(B) + N(C) - N.

1.2.4.   У звіті наведено числові дані як такі, що насправді

спостерігались: N = 1000, ЩА) = 510, N(B) = 490, N(Q = All,ЩАВ) = 189, N(AQ = 140, N(BQ = 85. Показати, що в цих даних є помилка. Розв’язок.

За умовою N(ABC) = 0; N(ABC) = 0. Обчислимо N(ABC) згідно формули “решета”:

N(ABC ) = N- N(A) - N(B) - N(C) + N(AB) + N(BC) + + N(AC) - N(ABC) = 1000 - 510 - 490 - 427 +189 +140 +

+ 85 = -13?t0

Отже, в даних є помилка.

1.2.5. Із 100 студентів англійську мову знають 28 студентів, німецьку - 30, французьку - 42, англійську і німецьку - 8, англійську і французьку - 10, німецьку і французьку - 5, всі 3 мови знають 3 студенти.

Скільки студентів не знають жодної з трьох мов?

Розв’язок.

Використаємо формулу включень та виключень або фор-мулу решета:

N(ABC) = N - N(A) - N(B) - N(C) + N(AB) +

+ N(AC) + N(BC) - N(ABC),

де N = 100 - загальна кількість усіх студентів,

N(A) = 28 - кількість студентів, що знають англійську,

N(B) = 30 - німецьку,

N(C) = 42 - французьку,

N(AB) = 8 - англійську і німецьку,

N(AC) = 10 - англійську і французьку,

N(BC) = 5 - німецьку і французьку мови,

N(ABC) = 3 - всі три мови,

N(ABC) - не знають жодної мови.

Отже, J/V(Z^C) = 100-28-30-42 + 8 + 10 + 5-3 = 20.1.2.6.           У класі 35 учнів. З них 20 відвідують математичний

гурток, 11 – фізичний, а 10 учнів не відвідують жодного

гуртка.

Скільки учнів відвідують математичний та фізичний гуртки?

Скільки учнів відвідують лише математичний гурток?

Розв’язок.

Позначимо А і В – множини учнів, що відвідують відповідно математичний і фізичний гуртки, Ω – множина

всіх 35 учнів. Тоді N=35, N(A)=20, N(B)=11, N(AB) =10.

Кількість учнів, що відвідують математичний та фізичний гуртки N(AB), згідно формули “решета” рівна:   N(AB) =

= N(A)+ N(B)+ N(AB)- N = 20+11+10-35 = 6 .

Тоді кількість учнів, що відвідують лише математичний гурток N(AB) = 20-6 =14; лише фізичний гурток: N(AB) =11- 6 = 5 .

1.2.7.   У бібліотеці зарубіжної літератури працює певна

кількість фахівців, кожен з яких знає хоча б одну іноземну

мову. Шість з них знають англійську мову, шість – німецьку,

сім – французьку, чотири – англійську і німецьку, три –

німецьку і французьку, два – французьку і англійську, один

знає всі три мови. Скільки фахівців працює у відділенні?

Скільки з них знає лише англійську, німецьку, французьку

мову?

Розв’язок.

Нехай А, В, С – множини всіх фахівців, що відповідно знають англійську, німецьку і французьку мови. Тоді N(A) = = 6, N(B) = 6, N(C) = 7, N(AB) = 4, N(BC) = 3, N(AC) = 2,

N(ABC) = 1, N(ABC) = 0. Для знаходження N використаємо формулу “решета”:

N = N(A)+ N(B)+ N(C)- N(AB) - N(BC) - N(AC) +

+ N(ABC)+ N(ABC) = 6+6+7-4-3-2+1=11.Для того, щоб відповісти на питання, скільки фахівців володіє лише однією мовою, скористуємось діаграмами Ейлера-Венна.

Зобразимо множину всіх фахівців у вигляді квадрата Ω, а множини А, В, С у вигляді кругів, що лежать у цьому квад-раті (рис. 1.2).

Переріз множин А, В, С дає N(ABC)=1 – кількість фахівців, що знають всі три мови.

 

Рис. 1.2.

Переріз множин А і В без С дає N(ABC) = N(AB) -- N(ABC) = 4-1= 3 – кількість фахівців, що знають дві мови: англійську і німецьку. Переріз множин В і С без А дає N(ABC) = N(BC) - N(ABC) = 3-1= 2 – кількість фахів-ців, що знають німецьку і французьку мови. Переріз множин А і С без В дає N(ABC) = N(AC) - N(ABC) = 2 -1=1 –

кількість фахівців, що знають англійську і французьку мови. Тоді кількість фахівців, що знає лише англійську мову рівна

N(ABC) = N(A)- [N(AB) + N(AC) + N(ABC)]= = 6 -[3+1+1] =1.Кількість фахівців, що знають лише німецьку мову рівна N(ABC ) = N(B) -[N(AB) + N(BC) + N(ABC)]= 6 - (3+

+ 2+1) = 0;

кількість фахівців, що знає лише французьку мову рівна: N(ABC) = N(C) -[N(AC) + N(BC) + N(ABC)]= 7 -(1+ + 2 +1) = 3.

1.2.8. Задача-жарт.

У жорстокому бою не менше 70% бійців втратили одне око, не менше 75% – одне вухо, не менше 80% – одну руку і не менше 85% – одну ногу. Яка мінімальна кількість бійців, які втратили одночасно око, вухо, руку й ногу?

Розв’язок.

Відкладемо на відрізку 100% з різних його кінців значення найменшої кількості бійців, що втратили око (75%) і одне вухо (80%). Спільна частина відрізка дасть найменшу кількість бійців, що одночасно втратили око і одне вухо:

 

A1 = 75 - (100 - 70) = 75 - 30 = 45(%).

Знайдемо тепер найменшу кількість бійців, що втратили одночасно око, вухо і руку. Для цього на 100% відрізку відкладемо у протилежних напрямах найменше значення бійців, що одночасно втратили око і вухо (45%) і одну руку (80%). Спільна частина становить А2 = 80-(100-45) = = 80-55 = 25(%).

Аналогічно, для знаходження найменшої кількості бійців, що втратили одночасно око, вухо, руку і ногу, на відрізку довжиною 100% відкладемо у протилежних напрямах відрізки Δ2=25% і 85%. Тоді спільна частина становить

 

A3 = 85 - (100 - 25) = 85 - 75 = 10% .

Отже, наближена кількість бійців, що втратили одночасно око, вухо, руку і ногу складає не менше 10%.