6.9. Перевірка гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Критерій згоди ПірсонаЕмпіричний розподіл заданий у вигляді послідовності рівновіддалених варіант і відповідних їм частот:

Варіанти         хг         хг         х2        ...         xN

Емпіричні       ПІ        щ         п2        ...         nN

частоти

Для того, щоб при заданому рівні значущості а пере-вірити нульову гіпотезу Я0: “генеральна сукупність розпо-ділена нормально”, необхідно спочатку обчислити теоретичні частоти п\, а потім спостережне значення критерію:

2 ' спост

 (W;     -П'У

—        J    (6.9.1),

де пі - емпірична частота і за таблицею 6 критичних то-

чок розподілу Xі (хі-квадрат), за заданим рівнем значущості а і числу ступенів вільності к = s - \ - г, де s - число груп (часткових інтервалів) вибірки, г - число параметрів роз-поділу знайти критичну точку xlк р (а1 ^) •

Оскільки у нормальному законі розподілу два параметри

а і <j, то r = 2 і k = s - 3 .

Якщо ХІпост < XL ~ нема підстав відкидати нульову гіпо-

кр

тезу. Якщо Xі ^ ХІр ~ нульову гіпотезу відкидають.

Об'єм вибірки повинен бути не меншим 50. Кожна група повинна містити не менше 5-8 варіант, малочисельні групи (пі <5) слід об’єднати в одну сумарну частоту: в цьому ви-

падку  слід також просумувати  і  відповідні  їм теоретичні частоти. За s прийняти число груп після об’єднання.

Оскільки теоретичні частоти п\ = пРі, (6.9.2) де п - об’єм

вибірки, Pt - імовірність попадання в і-тий інтервал, то для обчислення РІ можна використати дві формули:

а) Нехай різниця між двома сусідніми варіантами стала й рівна h = х.+1 - х.. ТодіP{xt < X < xi+l) =  \f(x)dx « f{xt){xl+l -xt) =

(x,-a)2 (x, -x в f          u2

(твуІ2ж           <7в      <7в      '       aв

б) Емпіричний розподіл заданий у вигляді послідовності інтервалів однакової довжини і відповідних їм частот.

Розбивають весь інтервал спостережних значень X на s частотних інтервалів  (х.;х.+1) однакової довжини h так, що

*        Хг + Хг+\

середина інтервалу рівна х  = —     —.Підраховують число варіант пь які попали в z-й інтервал (^и. = п). Отриманий варіаційний ряд, аналогічний в п а),

х*        х*(хг,х2)        х*(х2,х3)        •••         x*(xs,xs+l)

Теоретичні імовірності  Рі   попадання X в інтервали (хг; знаходять з рівності:

<т        <У

Р. = Р(хг < X < хм) = Ф\ -^   I-Ф\ —           

Ф

(6.9.4), де середня вибіркова

 Ф   х- -х

 •

S

х*в = —          ; середнє квадратичне відхилення a* = JD* =

п

= —     , Ф( ) - інтегральні функції Лапласа, значен-

п

ня   яких   знаходять   з   таблиць   2.   При   цьому   найменше

V      °в       Jзначення, тобто ——^в   покладають рівним - оо , а найбіль-

—*

ше, тобто    s+l „   в   покладають рівним оо .

Оскільки в основу критерію згоди Пірсона покладений вибір міри розходження між теоретичним і емпіричним розподілами, він може бути застосований до встановлення чи вибірковий розподіл належить певному розподілу (нормальному, біномному, показниковому, рівномірному, Пуассона).