Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_6821c96576d9ba76becc7f1cfffec8e2, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
6.7. Інтервальні оцінки параметрів розподілу : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

6.7. Інтервальні оцінки параметрів розподілу


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Точкова оцінка визначається одним числом. Середня вибіркова хв і вибіркова дисперсія Dв - точкові оцінки. Але

при малих об’ємах вибірки точкові оцінки приводять до значних відхилень від оцінюваного параметру. Тому при малих вибірках використовують інтервальні оцінки, які визначаються випадковими кінцями інтервалу, тобто двома числами. Виберем яке завгодно мале наперед задане число 5>0, що характеризує точність оцінки. Імовірність у = 1 - а (де a - імовірність помилки) виконання нерівності

9 - 9 < 8 називають надійністю або довірчою імовірністю.

Оскільки імовірність помилки а наперед задають малою, то надійність у близька до одиниці: 0,95; 0,99; 0,999. Інтервал

{д-6,Є+б) , який покриває невідомий параметр 9 з зада-

ною надійністю у називається довірчим.

а) Нехай з генеральної сукупності, розподіленої за довіль-

ним законом з математичним сподіванням а і дисперсією а2,

взята вибірка  x1,   x2,  ...   xn. Тоді, згідно центральної гра-

ничної теореми (теоретичний вибірковий розподіл середніх

X при великому n може бути добре апроксимовано відповідним     нормальним     розподілом     з     параметрами

M(X)=M(X) і <J(X) = <J(X)I *Jn і більшість числових характеристик вибірки має нормальний чи близький до нормального вибірковий розподіл) у формі Ліндеберга-Леві

P\\X-a\<   j= t \ = 2Ф(t) (6.7.1),

I           Vn J

де Ф(t) - функція Лапласа.

Отже, при достатньо великому n з надійністю у можна стверджувати, що довірчий інтервал (X-ta1n,X + ta1n) покриває невідомий параметр а:P(X-to/4n <a<X + ta/4n) = 2Ф(і) = y = 1-a (6.7.2).

Точність оцінки 8 = ta / 4n (6.7.3).

Число t визначають з рівності Ф(t) = у/2 за таблицями функції Лапласа, що рівне у /2 .

б) Але, як правило величина а генеральної сукупності є невідомою. Тому на практиці її замінюють “виправленим” середнім квадратичним відхиленням S.

Якщо задана надійність у, то має місце така рівність:

( Р

v

Х-а

S/n

2\S(t, n)dt = y (6.7.4),

де щільність розподілу Стьюдента

-и/2

е

1 +

(6.7.5)

S (t, гі) = В

п-1

залежить лише від об’єму вибірки п і не залежить від невідомих параметрів a і a . Отже,

Р(Х-t S/[n<a<X + trS/4n) = y (6.7.6).

Для заданого об’єму вибірки п (числа ступенів вільності) і надійності   у   значення   t    протабульовані (табл.  3). Для

п > 30 розподіл Стьюдента практично співпадає з нормаль-ним, тому різницею в довірчих інтервалах можна знехтувати. Для малих вибірок п < 30 заміна розподілу нормальним при-водить до звуження довірчого інтервалу, тобто до підвищення точності оцінки. При малих вибірках для отримання з неї на-дійних оцінок параметрів їх довірчі інтервали суттєво розши-рюють.

в) Якщо кількісна ознака генеральної сукупності розпо-ділена нормально і за вибіркою обчислене “виправлене” се-реднє квадратичне відхилення S, то довірчий інтервал, що по-криває середнє квадратичне відхилення сг генеральної сукуп-ності з заданою надійністю  у знаходиться згідно формули:

S(1-q) <a <S(1 + q)    при   q<1   (6.7.7),   0<a<S(1+q)   приq>\   (6.7.8), де параметрq(y,п)   знаходиться з таблиць 4,

обчислених для х1 - розподілу для заданого рівня надійності у і об’єму вибірки п.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_6821c96576d9ba76becc7f1cfffec8e2, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0