Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_1ef6ff1da0010a846663010c0288e0e8, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
Задачі : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

6.6.1. Знайти методом найбільшої правдоподібності за ви-біркою хь х2, ....х„ точкову оцінку параметра р геометричного розподілу:

Р(Х = х.) = (1 - РУ'^1 р , де х. - число випробувань, про-

ведених до появи події, р - імовірність появи події в одному випробуванні.

Розв’язок.

Складемо функцію правдоподібності:

L = P(x1;p)-P(x2;p)-...-P(xn;p),      врахувавши,      що

9 = р і Р(Х = хі) = {\- рУ lp:L = {\-рУ1 ~1р-(1-р)Х2^р-х

х...-(і- РУ"~1 р = р"(і- р)Хі+Х2+ +Хі+ +х"-п.

("        ^

ПрологарифмуємХ: \nL = n\np+  ^х. -п \п(\-р).

V г=1  )

544Знайдемо першу похідну:

dlnL     \        "

= п-

п

 

p

др

\-р

^х.

V 2=1

Прирівнявши вираз до нуля знайдем критичну точку: (\-р)-п = р(^хг -п) , звідки

п1

р* =

Е**      &         Х°

п

п

 =         1-

Знайдем другу похідну по р: d2lnL        п     f-A

p

ZuXi ~П

V 2=1

др(1-р)

 

Підставим сюди р* =

п

^х.

 

*(&)2   £>,-«)    £>,)2 £>,-«)(&)2

            ^          1              =      1          7          ^         

2          п)2      п       (2>,-«) 2

Оскільки  > х, < п, то   ==— < 0 при  »* = —

Отже ця

.■=1    «-Zx2

точка є точкою її максимуму    і за р слід прийняти виразХ

р* =

6.6.2. Обчислити методом найбільшої правдоподібності за вибіркою параметр h розподілу Максвела (див. задачу 4.10.1в).

Розв’язок.

Складем функцію найбільшої правдоподібності:

Ь = /(хї,в)-/(х2,в)-...-/(хі,в)-...-/(хп,в) =        

           

 

4/г3

2   -AV

vV*4

4/г3   2 _й2у2   4/г3   2 _й2у2       4/г3  Ah

           

2        2            2          2        -A   (v, +v,+...+V; +..+v„)

Vj • v2 •...• V .-...• vn • е

22>2

7=1

^4/г3Т,            2    -h2Tv'

j=    (Vj • v2 •...• v. •...• vn)  -e

Знайдем логарифмічну функцію правдоподібності: + 21n(v1 • v2 •...• v. •...• vn)-n ■ ^

2 V    =

Z

Z = l

vV^y

           

 4

 /7ІП

^=  +3^1n/z + 21n(v1 -v2 -...-V; -...-vj-/?2 -^v

Знайдемо першу похідну і прирівняємо її до 0: dlnL    Зи---2/гУ\2 =0-Звідси, h* 2

dh

h

Wv

Отже, h*

ЗпЗнайдемо другу похідну по h:

д Inh

dh2 кою максимуму.

z'=l

-Зи- —-2^]v2 <0. Отже  /г*=  ^^=   є точ-

h          v 2v 2

6.6.3. Знайти методом найбільшої правдоподібності за вибіркою хь х2, ...хп точкову оцінку параметра /? Гамма-розподілу (параметр а відомий).

Розв’язок.

(Див. задачу 4.10.1а).

Складемо функцію найбільшої правдоподібності:L =       x"e p    x"e  P -...X

J3a+lГ(a + l)   1           J3a+lГ(a + l)   2

x          x"e p = :           (x ■x2-...-xn)ax

J3    Г(а + \)    (Pa+ )"(Г(а + ї))п

'У]х[

x1+x2+...+xl+...+xn     ~l

xe        p          =p-nia+l) [ Г(a+\)]n(xl-x2-...-xn)ae^.

Прологарифмуєм її:

n

/Xj

i=\        t

\xvL = -n{a +\)\np-п\пГ{a +\) + a\n{xl -x2 •...•xи) Знайдемо похідну по P і прирівняєм її до 0.

n

            = -n(a +1) • — + -^-    = 0 ,

д/3       p      P2

Отже, Pn(a +1) = У X,■ , звідки R* =    *-*  '    = —e—

^          n{a + \)    a + \

Знайдемо другу похідну       — = n(a + D    ^1

Підставимо сюди B* =         —, отримаємо

a + \

52lnL    n(a + \)(a + \f    2У x

            ^— =   =^        ^5—(a + [)  =

дР        X]        X]

^ xt = nXe

 ч« + і)3   2«Je(a + i)3     ч« + і)3

 

в2        Xв3     X в2

<0

Отже, в точці P* =    — функція L досягає максимуму і

P * є оцінкою P .6.6.4. Знайти методом найбільшої правдоподібності за вибіркою хь х2, ....х„ точкові оцінки параметрів a і a нормального розподілу.

Розв’язок.

Функція найбільшої правдоподібності має вигляд:

L = /(х^Д)- /(х2,0г, в2) -...-/(хп,01,02) =

1          -(х,-а)2/2п2    1          -(х2-а)2/2п2   1          -(х-а)2/2п2

V(Xj-a)2

X...      Х_е-{*п-а?І^  =         1_       е'Л

           

^(Xj-a)2

П         7=1

= сГ"(2я-) 2е     2а      . Прологарифмуєм її:

^](хг -df

\пЬ = -п\пст--\п(2ж)-^          .

2          2ст

Продиференціюєм її по параметрах a і a :

DlnL    1     £(х,-а)2

аіпі   £(*,-«)   п

            = -^^   = U

За        а2

V (х. - а)2     п            <т3

a3        a

п

^—'         —    —

'Y_Jyxi -а) = 0 (2)

Щ^=°\ Але т^і^, іл

Але     '           =а];     ^=Х

•^        п

2^ х. - па = 0

тому a = Хв, сг = сгв.

Обчислимо другі похідні по a і ст :

d2lnZ        и            d2lnZ      и     ЗУ(хг-а)2

            =          <0'       =          ==      

da 2     a2        da2      a2        а42      2        1>г"а)2

Підставивши сюди  а  = ав =—       , отримаємо

п

d2\nL _        п2           Зп2       _        2п2

Отже, функція L при даних значеннях    а і  с  досягає максимуму і а* і сг * є точковими оцінками а і сг .

6.6.5. Обчислити за вибіркою хь х2, ....х„ методом най-більшої правдоподібності параметри a і /? логнормального

закону.

Розв’язок.

(Див. задачу 4.10.1б).

Функція найбільшої правдоподібності має вигляд:

п

^(lnxj-a)2

L = (xx-x2-...-xr ...-хпУ1 Р~п-(2ж) 2е      2р1 Логарифмічна функція має вигляд:

и

E(lnx.-а)2

і=і

1пІ = -1п(х! -х2 -...-х. •...•хв)-и1пу9           \п{2п)

            I          

2          2^

Продиференціювавши   її   по   параметрах    а    і    /?    і

прирівнявши до 0, отримуємо систему:

д\пЬ     У(1пхг-а)

да        р2        2_Л1пх<~а) = 0

SlnZ     1     У(1пхг-а)2 ~* \Y(\nx1-a)2=n/32^

            = -П    Ь —     5         

д/3       /3         J33

—н

 

= а*

^іпх.

п

£(1пх,-*)2 п



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_1ef6ff1da0010a846663010c0288e0e8, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0