6.6. Метод найбільшої правдоподібності


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Метод найбільшої правдоподібності точкової оцінки неві-домих параметрів заданого розподілу полягає у знаходженнімаксимуму   функції  одного   або  декількох  шуканих  пара-метрів.

а) Дискретні випадкові величини. Нехай X - дискретна випадкова величина, яка в результаті п дослідів набула зна-чення хь х2, ....х„. Нехай шукається параметр 9. Функцію правдоподібності дискретної випадкової величини X нази-вають добуток ймовірностей p(xt;9) того, що випадкова ве-

личина набуде значення хь х2, ...хг ...х„., причому значення хг зустрічається mt раз.

Ь(х1,х2,...хп,в) = рщ (х{,в)- р™1 (х2,в)...рщ (к;в)  (6.6.1).

Оцінкою найбільшої правдоподібності параметра 9 нази-вають таке значення 9 *, при якому функція правдо-подібності досягає максимуму.

9 * знаходять з розв’язку рівняння:

SL(x,,x9,...,x„;^)

——    —  = 0,    (6.6.2)    або    системи    рівняньдЬ(х,,х^,...,х-,9,,9^,...,9')       .—

——    —-—  — = 0 (6.6.3),   / = 1,г, якщо необ-

89}

хідно оцінити г невідомих параметрів.

Так  як  точки   максимума   функцій   L(xl,x2,...xn,9)   і

\nL(xx,x2,...xn,9)   співпадають, іноді зручніше замість рів-нянь        (6.6.2)        і        (6.6.3)        розв’язати        рівняння:

8lnL(x,,x2,...x„;9)    1   8L(x,,x2,...x„;9)

            ——    — =     ——    — = 0     (6.6.4)    або

89        2          89

систему рівнянь:

dlnZ(x,,x9,...,x„;6>6>  ...,6>)     1   дЦх,,х.,...,х„;0,,0.,...,0г)    „

дв1      2          дв1

j = \,r (6.6.5).d2lnZ

Знаходять другу похідну      — і якщо при в = в * вона

від’ємна, то в* - точка максимуму і її приймають за оцінку параметра в.

б) Неперервні випадкові величини. Нехай неперервна випадкова величина Х в результаті п випробувань прийняла значення хь х2, ...х„. Якщо вид функції щільності fix) за-даний, але невідомі параметри и1, и2,..., иг якими визна-чається ця функція, то задають функцію правдоподібності неперервної випадкової величини Х:

L = /(Xj Д Д2,...6>^Дх2 Д Д2,...6>Д..Дхи Д Д2,. Д) (6.6.6).

Потім знаходять логарифмічну функцію правдоподібності

і для знаходження її максимуму складають систему рівнянь:

dlnL(x,,x2,...,x„;0,,02,...,0r)     —-

               "             "'  "   2        г   =0;  / = 1,г (6.6.7)

дв}