Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_531226b943af4a2aed1335b46264f0f6, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
6.2. Основні характеристики вибірки : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

6.2. Основні характеристики вибірки


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Значення ознаки (варіанти), яка розділяє ранжований ва-ріаційний ряд на дві рівні за кількістю варіант частини називається медіаною Ме*.

(6.2.1а), при непарному n = 2k + 1 Me*

Якщо число варіант парне, тобто n = 2k, то Me*= (xk + xk+1)= xk+l (6.2.1б).

З означення емпіричної інтегральної функції випливає рівність F * (Me*) = 0,5 .

Для інтервального ряду виходячи з умови F * (хк_х) < 0,5 і F * (хк) > 0,5 знаходять медіанний інтервал

(Хк-и хк). Тоді, використовуючи    лінійну інтерполяцію, зна-чення медіани на цьому інтервалі обчислюють згідно фор-

мули: 0,5-F*(x, ,)

Me* = x,,+      ±dZ     (x     v    ) (6.2.2).

F * (xk) - F * (xk_l)

Для   знаходження   медіани   можна   використати   іншу формулу:

2>

п.         Ме-\

Ме = хк_1+^  (хк-хк_1)         (6.2.3),

де У] т = п - сума всіх частот;

SMe_x - сума частот до медіанного інтервалу;

тМе - частота медіанного інтервалу.

Для того, щоб знайти медіанний інтервал, послідовно зна-ходять   нагромаджені   частоти   S.   Першій   нагромадженій

частоті   SMe, яка більша за  — ^да, відповідає медіанний

інтервал (у випадку дискретного ряду SMe відповідає самій

медіані).

Модою Мо* дискретного статистичного розподілу нази-

вається  варіанта,   що   має  найбільшу  частоту.   Для  інтер-

вального розподілу визначається модальний інтервал (хкл, хк),

п якому відповідає найбільша щільність відносної частоти —,

ht

де nt - число варіант з і-того інтервалу. Тоді згідно лінійної інтерполяції значення Мо* всередині модального інтервалу рівне:

Мо = хк, +      —        ^2^      (х, - х, _,) =

(^Мо-^Мо-г) + (^Мо-^Мо+г)

f(Xu    ,)

= х, _, +                к~и           (х, - х, _,)   (6.2.4),

/(Х_і) + /(А+і)

де хк_х - початок модального інтервалу, тобто інтервалу,

в якому міститься мода;

тмо-\  ~ частота інтервалу попереднього перед Мо (що передує модальному);

тМо - частота модального інтервалу;

тмо+\ ~ частота інтервалу наступного за модальним.

Приклад. Заданий інтервальний статистичний розподіл

вибірки. Обчислити медіану та моду.       

Інтервали       Частоти          Нагромаджені частоти

\Х{, ХІ+\\        т          S

6,5-6,9            3          3

6,9-7,3            10        3 + 10 = 13

7,3-7,7            20        13 + 20 = 33

7,7-8,1            32        33 + 22 = 55

8,1-8,5            16       

8,5-8,9            12       

8,9-9,3            7         

Розв’язок.

Використаємо формулу (6.2.3). Доповнимо таблицю да-них стовпчиком нагромаджених частот S. В даній задачі ме-діанним      є     інтервал      [7,7-8,1],      оскільки      в      ньому

 50;

 ьи       Отже, х     =7,7; x  =8,1:   lJn    ]^2S = 55>

тМе = 32 ;  SMe-x = 20; Me = 7,7 + 0,4 = 7,7 + 0,4 = 8,1.Використаємо формулу (6.2.2). Інтервал в якому вико-нуються умови F*(xk-1)<0,5 і F*(xk)>0,5 є [7,7-8,1].

 *         33        ^,         nV       55

F (г.-,) = F (7,7) =      = 0,33 ; F (xk) = F (8,1) =      = 0,55 .

100      100

 0,5-0,33

Отже, Me = 7,7 +      0,4 = 7,7 + 0,4 = 8,0.

0,55-0,33

Обидва способи дають близьке значення медіани.Обчислимо моду. В даній задачі модальним є інтервал [7,7-8,1]. Отже,  хк_г=7,7;  хк=8,1; тМо_х = 20; тМо=32;

тМо+1=\Є;

32-20

Мо = 7,7 +      (8,1 - 7,7) = 7,7 +

(32-20)+ (32-16)+      0,4 = 7,7 + 0,171 = 7,87 .

12 + 16

Розмахом варіації R називають різницю між найбільшою і найменшою варіантами:

R = *тах " *тіп   (6-2.5).

Аналогічно до поняття медіани для довільного р є [0,і] вводять квантиль розподілу порядку р. Квантиллю рівня р або р-квантиллю випадкової величини з неперервною функ-цією розподілу F(x) називається таке число dp, що імовірність Р\Х <dp] дорівнює заданій величині р, тобто dp - розв’язок

рівняння F(d ) = р, медіана - квантиль порядку 1А.

Якщо для розподілу відомі квантилі для кількох значень р, то вони дають певне уявлення про характер розподілу. Квантилі для р = 0,1; 0,2; ...; 0,9 називають децилями. Квантилі, що розділяють сукупність на чотири рівні частини: перший Qi, другий Q2, третій Q3 і знаходяться з рівнянь F(QX) = 0,25 ; F(Q2) = 0,5 ; F(Q3) = 0,75 називають квар-

тилями.

Середнім вибірковим (арифметичним) варіаційного ря-ду називається дріб, в чисельнику якого міститься сума добут-ків варіант хі ряду на відповідні їм ваги пи а в знаменнику -сума ваг, тобто об’єм вибірки п:

т

V х,п,

Хв=Х = хв = т+х2п2+... + хІпІ+... + хтпт = ІҐ        (62.6).

п          пЗа середню арифметичну неперервного варіаційного ряду приймають середню арифметичну дискретного розподілу, що відповідає даному неперервному. Це означає, що частоти не-перервного розподілу відносять до середин відповідних інтер-валів, які тепер стають варіантами.

Властивості середньої арифметичної.

1.         Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в одне і те ж

число к разів, то середня арифметична збільшиться (зменши-

ться) в стільки ж разів: к-х = к-х (6.2.7).

2.         Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) на одне і те ж

число с, то середня арифметична збільшиться (зменшиться)

на те ж число с:

т

1 (хг - с)пг

—        = Х-с (6.2.8).

п

3.         Сума добутків відхилень варіант від середньої ариф-

метичної на відповідні їм ваги рівна нулю:

т

^ (хг - Х)пг

1= X - X = 0 (6.2.9). п

4.         При збільшенні і зменшенні ваг в одне і те ж число к

разів середня арифметична не змінюється:

т

^хгкпг

1          = Х (6.2.10).

т і=1

5.         Якщо кожне значення ознаки z є сумою (різницею)

значень ознак х і у, то середня арифметична ознаки z рівна

сумі (різниці) середніх арифметичних х і у:

Наведені властивості приводять до спрощеної формули:V   X!'   _ C

xв=—  k + c (6.2.11).

n

Дисперсією  Dв = a2   варіаційного ряду називається се-

редня арифметична квадратів відхилень варіант від їх серед-ньої:

^(хг -Х)2пг

Д =      (6.2.12).

п

Середнім квадратичним відхиленням називається ариф-

метичне значення кореня квадратного з дисперсії:

ав =s[Dв  (6.2.13).

Властивості дисперсії.

1.         Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в к разів, то

дисперсія збільшиться    (зменшиться) в к1 разів, а середнє

квадратичне значення - в \к\ разів.

2.         Якщо варіанти збільшити чи зменшити на одну і ту ж постійну величину, то дисперсія не зміниться.

3.         Якщо ваги збільшити чи зменшити в одне і те ж число разів, то дисперсія не зміниться.

4.         Дисперсія відносно середньої арифметичної дорівнює дисперсії відносно довільної постійної без квадрату різниці між середньою арифметичною і цією постійною:

т

^(хг -с)2пі

Dв =—            (Х-с)2 (6.2.14).

п

5.         Дисперсія дорівнює середній арифметичній квадратів

варіант без квадрату середньої арифметичної:

Dв =—            (X)2 (6.2.15).

n Наведені властивості приводять до спрощеної формули:

528x. -c

?

Д = a] = 1=1 ^     —J—k2-(X-c)2 (6.2.16). n

Коефіцієнтом варіації називається відношення серед-нього квадратичного відхилення о'в до середнього Xв вира-жене у відсотках (або частці одиниці):

F = ^в-100% (6.2.17).

Статистичні моменти розподілу.

1. Початкові статистичні моменти k-го порядку:

Mk = ^xf —, *Yjni =п (6.2.18).

Тоді при:

к = 0 М0 = ^ х0 — = 1;

 ''

„     да       —

к= 1 M1=2_^xi—L = X - середня арифметична;

к = 2 М2 = Ух2 —- = X2 - середнє квадратичне;

к = 3 М3 =    1 x3 — = X3 .

2. Центральні статистичні моменту £-го порядку:

]2к =Т(х -Х)к — , Тда = w (6.2.19).

п Тоді при:

Лг = 0  //0=У(хг-Х)0^ = 1; £= 1   /^ =^](хг-X)—= 0;

іk = 2   jU2 = 2_, (x,■ - X)  —- = <Je  - статистична диспер-

t           n

сія;

k = 3  /j3 =Т(хг -X)3—;

t           n

k = 4  /j4 =^(X- -X)4 — .

І           n

Асиметрія    вибіркового    розподілу    обчислюється    за формулою As = —^ (6.2.20). Якщо розподіл симетричний, то

As = 0 . Ексцесс вибіркового розподілу визначається за фор-мулою Ек = ^--3 (6.2.21).



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_531226b943af4a2aed1335b46264f0f6, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0