Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

5.1.      Середньодобове споживання електроенергії в населе-

ному пункті дорівнює 12000 кВтгод.

Визначити ймовірність того, що споживання електро-енергії в цьому населеному пункті протягом даної доби перевищить 50000 кВтгод.

Розв’язок.

М(Х) = 12000 кВтгод; х> 50000 кВтгод.

ч     М(Х)

Використаємо   теорему   Маркова:    Р(х > а) <   .

a

Підставивши числові дані, отримаємо:

™,„     12000  пґлг

Р(Х > 50000) <          = 0,24 ;   Р(Х > 50000) < 0,24.

50000

5.2.      Відомо, що 3/4 всієї продукції, що виробляється заво-

дом - першого сорту.

Оцінити ймовірність того, що число виробів першого сор-ту серед 200000 виготовлених буде відрізнятись від матема-тичного сподівання цього числа не більше, ніж на 2000 шт.

Розв’язок.

3 р = — = 0,75  - ймовірність того, що виріб І сорту; п = 4

=  200000;  є  =  2000;   q   =  0,25.  Використаємо  нерівність

Чебишева:

р(\Х-М{Х)\<є)>\-Щ±.

є

Тут М(Х) = пр = 200000 • 0,75 = 150000; D(X) = = npq = 200000 • 0,75 • 0,25 = 37500 .37500

Отже, Р(\Х - 150000І < 2000) > 1    = 0,990625 .

 (2000) 2

5.3.      Користуючись нерівністю Чебишева, оцінити ймовір-

ність того, що при 1000 підкиданнях монети число випадань

герба   буде знаходитись в межах між 450 і 550.

Розв’язок.

Обчислимо математичне сподівання М(Х) і дисперсію D(Х) випадкової величини Х - числа /и випадань герба в п = = 1000 випробуваннях:

М(Х) = пр = 1000 • 0,5 = 500; D(X) = npq =

= 1000-0,5-0,5 = 250.

Застосуємо нерівність Чебишева у вигляді:

р(\Х-М(Х)\<є)>\-Щ±.

є

Значення величини відхилення є визначимо як різницю між межами числа появи події і математичним сподівання: є =

= 550 - 500 = І450 - 500І = 50.

Підставляючи необхідні дані у нерівність, отримаємо:

Р(|Х-500І<50)>1           = 0,9.

 50 2

5.4.      Ймовірність появи події в кожному випробуванні

рівна 1/4.

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовір-ність того, що число Х появи події знаходиться в межах від 150 до 250, якщо буде проведено 800 випробувань.

Розв’язок.

Р = 1/4 = 0,25; п = 800; 150 <Х< 250.

Р150<Х<250) - ?

Нерівність Чебишева:

р(\Х-М(Х)\<Є)>1-Щ±-М(Х) = п-р = 0,25 • 800 = 200;

є = 250 - 200 = 200 -150 = 50;

£г = 50; D(X) = npq = 0,25 • 800 • 0,75 = 150.

Отже, Р(\Х - 200І < 50) > 1  = 1 - 0,06 = 0,04.

 50-50

5.5. Дискретна випадкова величина Х задана законом роз-поділу:

X         0,1       0,4       0,6

P          0,2       0,3       0,5

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовір-

ність того, що \Х -М(Х)\ < д/0,4 .

Розв’язок.

Обчислимо М(Х) і D(Х):

М(Х) = 0,1 • 0,2 + 0,4 • 0,3 + 0,6 • 0,5 = 0,44;

D(Х) = v2 - v12 = 0,23 - (0,44)2 = 0,0364 . Підставивши дані в нерівність Чебишева

Р(\Х -М(Х)\ < є) > 1 - ^Р, отримуємо:

є

J\^       Гг\       0,0364 0,0364

Р\Х - 0,44 < д/0,4 I > 1 -       2 = 1 - = 0,909 .

(л/0,4) 0,4

5.6. З 5000 виробів було обстежено 500 шт., відібраних випадковим чином. Серед них виявилось 10 бракованих.

Прийнявши частку бракованих виробів серед відібраних за ймовірність виготовлення бракованого виробу, оцінити ймовірність того, що у всій партії виявиться бракованих виро-бів не більше 3% і не менше 1%.

Розв’язок.

Ймовірність   виготовлення   бракованих   виробів   рівнар =    = 0,02, тоді q = 1 - р = 0,98; ε; = (1%) = 0,01 = рг;487

є2 = (3%) = 0,03  = р2. Звідси величина відхилення рівна: s = |0,01 - 0,02| = 0,03 - 0,02 = 0,01.

Для обчислення шуканої імовірності скористуємося не-

рівністю Чебишева у формі: P

rn

 

п

p

>1-

pq

Підставивши числові дані у формулу, отримаємо:

 

т

P

0,02

>1-

0,9608.

< 0,01

 

0,02-0,98 5000- (0,01)2

5.7. Ймовірність дозрівання кукурудзяного стебла з трьо-ма струками дорівнює 3/4.

Оцінити ймовірність того, що серед 3000 стебел частка з трьома струками буде за абсолютною величиною відрізнятись від ймовірності дозрівання такого стебла не більше, ніж на 0,02.

Розв’язок.

3 р = —; п = 3000;  є = 0,02 .P

т

 

п

p

           

?

Обчислимо дану імовірність за формулою:

т

>1-

p

 

а) Бернуллі: P

тP

п

 

<0,02

3000    4

>і-Ц; пє2

            3J        = l-j

4 -4- 3000- 0,02- 0,02           64

 

0,984;64 б) Лапласа:P

p

п

pq  2Ф(2,53) = 2 • 0,4943 = 0,9886.

0,02,

/3000-4-4

3-1

           

5.8. Визначити необхідне число дослідів, які необхідно провести, щоб відхилення частоти появи події А від ймо-вірності її появи в окремому досліді, що дорівнює 0,75, не перевищувало за абсолютною величиною 0,05 з ймовірністю 0,96.

Розв’язок.

Для обчислення кількості дослідів n можна використати дві формули:

т

pq

а) Використаємо нерівність Чебишева:

 

P

p

звідки

V п >

 

п

) >1-

т

p

pq

<е)

s2

 

п

1-Р

Підставивши у формулу необхідні дані, отримаємо:

0,75-0,25        0,75-0,25

п >                              =          = 1875 ,

0,05 (1 - 0,96)    0,0025 • 0,04

отже и>1875.

б) Використаємо інтегральну теорему Муавра-Лапласа про ймовірність відхилення частоти події від її імовірності в кожному випробуванні не більше, ніж на ε:

 

т

п

P

 

P

p

 

п

<є)=2Ф

v

J

pq

У задачі р = 0,75, q = 1 m

0,75

< 0,05) = р = 0,96 .

п

р   =   0,25;   ε   =   0,05;n pq

 

P    0,96

Тоді Ф

є.

           

0,48 , тобто Ф(t) = 0,48.

2       2 Згідно таблиць інтегральної функції t = 2,054.

п          t pq

 t, звідки п=

Отже, є

\

pq        є2

Підставивши числові дані у формулу, отримаємо:

2,0542-0,75-0,25

п =                  = 316,42 «316.

(0,05)

5.9. При штампуванні 70% виробів виявляються першо-сортними.

Скільки потрібно взяти виробів, щоб з ймовірністю, що перевищує 0,9973, можна було стверджувати, що частка пер-шосортних серед них буде відрізнятись за абсолютною вели-чиною від ймовірності 0,7 не більше, ніж на 0,05?

Скільки виробів потрібно було би взяти, щоб результат можна було б гарантувати з ймовірністю, що перевищує 0,99 (тобто з меншою ймовірністю)?

В якому з цих двох випадків потрібно взяти більшу кіль-кість виробів і чому?

Розв’язок.

Використаємо розв’язок задачі 5.8.

При Р > 0,9973, р = 0,70; є = 0,05, q = 0,3

PQ       0,7-0,3

п >   2             =                     = 31111, отже,

є (1-Р)     (0,05) (1-0,9973)

и> 31111.

При Р > 0,99

PQ       0,7-0,3

п >   2             =          2          = 8400.

є (1-р)     (0,05) (1-0,99)

Збільшення імовірності Р приводить до збільшення п.5.10. Ймовірність виготовлення нестандартної радіолампи дорівнює 0,04.

Яке найменше число радіоламп потрібно відібрати, щоб з ймовірністю 0,88 можна було б стверджувати, що частка не-стандартних радіоламп буде відрізнятись від ймовірності виготовлення нестандартної лампи за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,02?

Розв’язок.

Введемо позначення: р = 0,04; Р = 0,88; ε = 0,02; q = 0,96.

Для знаходження числа п використаємо:

а) формулу Лапласа:

P

т

п

 

p

           

\

п

pq

Підставивши необхідні дані, отримуємо:

п

P

-0,04

0,02.

0,88,

л

<0,02

 

п

0,04 • 0,96 0,88

           

0,02.

0,44.

звідки Ф\

0,04-0,96

п

0,04 • 0,96 = 15,55. Звідки и = 0,96-(15,55)2 =232.

0,44   або

\

З таблиць інтегральної функції знаходимо t = 1,555, при якому    Ф(ґ) = 0,44.    Отже,    0,02

п

\

0,96 б) нерівність Чебишева:

P

т

 

п

p

>1-

pq

яка в числах має вигляд:

 0,44-0,96       0,96

п(0,22)2

п

0,88 = 1 -        . Отже,— = 0,12, звідки п = 800 .Як видно з розрахунків, нерівність Чебишева дає значен-ня n значно вище.

5.11. В певному технологічному процесі в середньому 75% виробів має допуск ±5%. Яке число виробів з партії з 200000 шт. з ймовірністю 0,99 можна планувати з допуском ±5%?

Розв’язок.

Введемо   значення:    Р = у = 0,99;     п = 200000;     р =

= (7500) = 0,75 = -; q = 1-p = 1-0,75 = 0,25 = -.

4          4

Необхідно  обчислити   т   і   є.  Для обчислення даних

величин скористуємось:

 

а) формулою Лапласа:

 

P

p

= у.

 

п pq

Підставивши необхідні дані, отримуємо:

 

P

т

200000

 

0,75

 

л

200000-4-4 3-1

0,99.

0,495 . З таблиць інтегральної функції 2,573

Спростивши вираз, отримуємо:  2Ф(є -1032,7956) = 0,99, 0,99

           

звідки, Ф(t)0,002491.

отримуємо   t   =   2,573.   Отже,    є =

1032,7956 Підставивши     отримане     значення     ε     в     нерівність

 

т

0,75

 

200000

0,75-0,002491 <

< 0,002491, будемо мати:

т

< 0,75+ 0,002491,

200000

або 150000-498,2<да<150000 +498,2 Остаточно, т = 150000 ± 498 .б) нерівністю Чебишева:

P

m

n

 

p

>1-

pq

Підставивши     необхідні     дані,     отримаємо:      0,99 >

 

або

200000-е2 0,00009375. Отже, є < 0,009682. Розкрив-

>1-

0,75-0,25

200000-є2 0,75-0,25

           

m n

200000-0,01 ши нерівність:

p

<є  або

 

m

0,75-0,25

 

0,75

200000

 > 0,01,,    звідки,    є   <

< 0,009682, отримуємо

m

p-є < — <p + є, або

n

m

0,75-0,009682 <

< 0,75+ 0,009682.

200000 Отже, 0,75 • 200000 - 0,009682 • 200000 < m < 0,75 • 200000 +

+ 0,009682• 200000, або m = 150000 ± 1936 .

5.12. Вибірковим шляхом потрібно визначити середній зріст чоловіків двадцятилітнього віку.

а)         У скількох відібраних випадково чоловіків потрібно

виміряти зріст, щоб з ймовірністю, що перевищує 0,95, можна

було б стверджувати, що середній зріст у відібраної групи

буде відрізнятись від середнього зросту (що приймається за

математичне сподівання вибіркового середнього зросту) за

абсолютною величиною не більше, ніж на 1 см? Встановлено,

що дисперсія зросту в кожному випадку не перевищує 25.

б)         Як зміниться результат, якщо було б необхідно ту ж

точність вибіркового обстеження гарантувати менш строго,

наприклад, з ймовірністю 0,9?в) Як змінився б результат, якщо потрібна була б менша точність оцінки середнього зросту? Наприклад, з ймовір-ністю, що перевищує 0,95, потрібно було б гарантувати, що відхилення середнього зросту всіх двадцятилітніх чоловіків за абсолютною величиною не перевищить 2 см.

Розв’язок.

 

L

1          1

Використаємо нерівність Чебишева записану у формі:

 

P

>1-

 

— У хг            У М(хг)

ns2 де    L    -    додатнє    число,    що    задовольняє    вимозі:

D(xt) < L(i = 1,2,...и). Згідно умови:   1           > Р, де Р -

задана імовірність. З нерівності визначаємо: п > —         , де

є  (1-і3)

L = 25.

Підставивши числові дані отримаємо:а)    и > — = 500; п > 500.

1 (1-0,95)

Тут покладено ε = \, Р = 0,95.б)       п > — = 250; п > 250 .

1          (1-0,9)

Тут покладено Р = 0,9;ε = 1.

Зменшення імовірності Р приводить до зменшення числа випробувань.в)     п > — = 125; п > 125 .

2          (1-0,95)

Тут покладено Р = 0,95; ε = 2.

Зменшення точності оцінки ε приводить до зменшення числа випробувань.

5.13. Скільки разів потрібно виміряти дану величину, істинне значення якої рівне а, щоб з ймовірністю, не меншою 0,98,  можна було  стверджувати,  що  середньоарифметичнезначення цих вимірів відмінне від а за абсолютною вели-чиною меншою, ніж три, якщо середньоквадратичне відхи-лення кожного виміру менше шести?

Розв’язок.

Оскільки кожний з вимірів, що є випадковою величиною х.(/ = 1,2,...)  , має дисперсію Dx , що обмежена однією і

скористуємось не-L

тією ж постійною L \\Dx \<L = a2 = 62 J,

^ х І ~ а

>1-

рівністю Чебишева: P

J

1=1

пє2

Поклавши є = 3; Р(   ) = 0,98; L = 62 = 36 в попередню

нерівність, отримуємо 1-     >0,98, розв’язавши яку отри-

32 -п

муємо п > 200.

5.14. Дисперсія кожної з 30000 незалежних випадкових величин не перевищує шести.

Якою повинна бути верхня межа абсолютної величини відхилення середньоарифметичної випадкової величини від середньоарифметичного математичного сподівання, щоб ймо-вірність такого відхилення перевищила 0,92?

Розв’язок.

 

Скористуємось узагальненою нерівністю Чебишева:

 

L

P

>1-

±*.--±ш

п

хі

і=1

і=1

де Dx<L = 6, п = 30000, Р(   ) = 0,92.

Верхню  величину  відхилення   є   знаходимо  з  умови:

L

1-

< 0,92.

пє2

Підставивши необхідні дані в нерівність і розв’язавши її, отримуємо:є<

V 30000 -0.08     V 400 Отже, s < 0,05 .

           

0,05.

5.15. Середньоквадратичне відхилення кожної з 450000 незалежних випадкових величин не перевищує десяти.

Визначити ймовірність того, що абсолютна величина відхилення цих середньоарифметичних випадкових величин від середньоарифметичних їх математичних сподівань не перевищить 0,02.

Розв’язок.

 

Використаємо формулу:

1

P

X!    Хк           2   М(Хк)

>1-

п

к=1

£>(Х) mr2

підставивши в яку числові дані п = 450000; a = 10; є = = 0,02; D(X) = 100, отримаємо:

>1-

 

<0,02  

450000-0,02-0,02

= 1-- = -; Р>

9    9    9

5.16. На відрізку [0;1] випадковим чином вибрані 108 незалежних і рівномірно розподілених випадкових величин Х1, Х2, ...Х108.Визначити імовірність події S108 = ^Х. є (50;60).

і=1

Розв’язок.

Оскільки число випадкових величин «=108 достатньо велике, то сума S„ є випадковою величиною розподіленою за нормальним законом. Для обчислення заданої імовірності скористуємось формулою:P{Sn^(a,P)} = P{a<Sn<p}=Ф

P-M(Sn)

(SJ

Ф

rcc-M(Sn)

(Sn) де      M(Sn)=M(S10S) = ^ М(Хг) = 108М(Хг) = 108х

i=\

o+i

x          = 54,       оскільки      для      рівномірного      розподілуw,„      a + b     0+1     1

М(Х) =            =          = -;

cr(S„) = ■JD(SJ = ^(^IOS )

           

2          2       2

 

і=і

\

 (b-af      1       ,„         І108       r-

де D(X) =            = —, отже  cr(£108) = J    =V9=3.

12        12        V 12

Остаточно,

n/         J^O-54^     У50-54^

Д50 < S < 60) = Ф\      - Ф\     = Ф(2) +

V     з     )      V    з     ) + Ф(1,333) = 0,4772 + 0,4088 = 0,886.

5.17. Випадкова величина X є середньоарифметичною 3200 незалежних і однаково розподілених випадкових вели-чин Хі(і = 1,2,...,3200), для яких М(Хі) = 3 і D{Хі) = 2.

Знайти а) імовірність події X є (2,95;3,075) ; б) довірчий

інтервал для X, задаючи довірчу імовірність рівну 0,6826. Розв’язок. а) Оскільки число незалежних випадкових величин п =

= 3200 є великим, то їх середнє значення X є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом, так щоймовірність того, що випадкова величина X знаходиться в заданому інтервалі знаходиться за формулою:

Р~M{X)\       (сс-M(X)

а(X)

а(X)

P(       X     ґІ\-Ф

і, оскільки, а(X) = yjD(X)

 

\

D

(xj +x2 +...xi +...xn)

n

 

I

V

D(xl) + D(x2) + ...D(xi) + ...D(xn)   _  \nD(xi)

n2        V    n2

а2(xi)    а(xi)

                       

fn

\D{xi)

\

то

n          -v

n

           

 

Ф

Ф

'           1       ст(xi)       I     1       ст(xi)

Підставивши необхідні дані, отримуємо:

„(X                       l    J (3,075 -3W3200

P|Д є (2,95;3,075) )= Ф         jd        

Ф

(2,95-3)л/3200^)       Го,075-40л/2

л/2

л/2

= Ф(3) + Ф(2)

0,05-40л/2

л/2

= 0,49865 + 0,4772 = 0,97585 « 0,976.

б) Для обчислення меж, в яких буде знаходитись середнє значення, необхідно обчислити величину відхилення. Для цього скористуємося формулою:

\s4n

8)}=2Ф

P\ X-а \<

о{X)J s4n

Згідно  умови   2Ф

           

           

0,6826,  отже   Ф

CT(X,.)J          |_О-(Х,.)

= Ф(х) = 0,6826 :2 = 0,3413.

Згідно таблиць інтегральної функції х = 1, 0. Тому

Syfn     „    1,0сг(х,)        4Ї     4Ї         1

            = 1,0, звідки 8 =т=-^ =   ,      =          1= = — =

сг(хг)   4п        V3200     40-V2     40

= 0,025.

Отже, ІХ-а\ <8, або а-8<Х<а + 8;

Підставивши необхідні дані, отримуємо 3,0-0,025 < < X < 3,0 + 0,025, або 2,975 < X < 3,025.

5.18. При складанні статистичного звіту необхідно склас-ти 300 чисел, кожне з яких заокруглене з точністю до 10~5. Припускається, що похибки заокруглення чисел взаємно незалежні      і      рівномірно      розподілені      на      відрізку

[— 0,5 -10 5;0,5 -105 J.   Знайти  межі,   в  яких  з  імовірністю

більшою за 0,997 буде лежати сумарна похибка.

Розв’язок.

Введемо позначення: Xt - випадкова величина похибки заокруглення    одного    z'-того    числа;    п    =    300;     Xt є

є[-0,5-10~5;0,5-10~5],   Р> 0,997, а(Хі) = 10"5 - похибка

(середнє квадратичне відхилення) заокруглення z'-того числа.

Тоді S3oo - випадкова величина суми похибок 300 чисел.

Обчислимо математичне сподівання M(Xt) і дисперсію D(Xj) похибки z'-того числа, що розподілена за рівномірним законом:

*,,„s    a + b    -0,5-10~5 +0,5-10 5

М(ХЛ =          =          = 0;

2          2

 ч     (Ь-а)2     (0,5 -10 5 +0,5 -10-5)2     (10~5)     10~10 D(Xt)r-

12        12        12        12Математичне сподівання M(S300) суми S300 похибок 300 чисел рівне:

ґ 300   Л        300

M(S300) =М ^(Хг)  = ^М(Хг) = 300М(Хг) =

V 2=1  J        2=1

= 300-0 = 0.

Дисперсія суми D(S300) суми похибок 300 чисел S300 рівна:

ґ 300   Л        300

D(S300) =D ^Ij   = ^D(Xi) = 300/)(Хг) =

V 2=1  J        2=1

300-10 10

 2,5-10 10.

 

12 Оскільки n = 300 достатньо велике, то сума їх похибок розподілена за нормальним законом і для обчислення ширини інтервалу ε можна використати формулу:

 s

< 0,997.

P(\S-M(S300)\<e)=2Ф

V°W30o)y

 

Отже, Ф

 0,997

<          = 0,4985.

Crisis)З таблиць інтегральної функції знаходимо t = 2,96 при якому Ф(0 = 0,4985.

Отже, < 2,96 , звідки

cr(S300)

є < cr(S300)- 2,96 = V25 • 10~10 • 2,96 = 2,96 • 5 • 10"5 = = 14,8-10 5 =0,000148.

Розкривши нерівність \S -M(S300)\ < a і врахувавши, що M(S30o)  =  0,  сумарна похибка буде  знаходитись  в  межах

"300        L     І^-О ' -I"      jlt.o • 1U      J.

Ширину інтервалу є можна також обчислити з нерівності Чебишева:Р(\Х-М(Х)\<є)>\          Ц-^, замінивши в якій X на

є

S3oo отримаємо:

P(\S300-M(S300)\<S)>1        |^.

Підставивши необхідні дані, отримуємо:

 25-10-10        25-10-10

0,097 >1         ,  або   > 0,003,

є2        є2

9          ZZV1U            -»

звідки є   <     = 83,33 • 10   , отже є < 0,0009.

25-10-10

Сумарна похибка згідно нерівності Чебишева знаходи-ться в інтервалі S300 є [-0,0009;0,0009]. Як видно з обчис-

лень, нерівність Чебишева дає більш широкий інтервал, ніж формула для нормального закону.

5.19. Сумується 104 чисел, кожне з яких заокруглено з точністю до 10~"\

Припускаючи, що похибки від заокруглення незалежні і

рівномірно   розподілені   в   інтервалі   (   хЮ    ; —хІО    ),

2          2

знайти межі, в яких з ймовірністю не меншою 0,99, зна-ходиться сумарна похибка.

Знайти також оцінку цих меж, використовуючи нерів-ність Чебишева. Порівняти ці результати.

Розв’язок.

Позначимо через Xt випадкову величину похибки заок-руглення одного z-того числа, яких є п = 104, a(Xt) - точ-

ність заокруглення або середнє квадратичне відхилення вели-чини похибки заокруглення z-того числа,

Хг є

1          2     1

2          '2Тоді S 4 - випадкова величина суми похибок 104 чисел, P > 0,99.

Обчислимо математичне сподівання M(Xt) і дисперсію D(Xt) похибки z'-того числа, що розподілена за рівномірним законом:

 

ІЮ m +    10

M(Xi )

           

0;

a + b        2      2

               ZZ   10 m +10 m

2          2іо-

2 (b-a)2

           

D(Xi )

12        12        12

Математичне сподівання M(S А суми S 4 похибок 104

М0   '   10

чисел рівне:

104      104

M(S?0) = M^ Xi = ^ M{Xi) = 104M(Xi) = ю4 • 0 = 0.

i=\        i=\

Дисперсія D(S 4) суми похибок 104 чисел рівна:

Ґю4      Л     ю4 D(S 4) = D Y^Xi   ='YjD{Xi) = \(fD{Xi) =

\ i=\      J        i=\

104 -10 2m    io4-2m

zz          zz       

12        12

Оскільки n = 104 дуже велике, то сума їх похибок розподілена за нормальним законом і для обчислення ширини інтервалу є використаємо формулу:

(           \

є

V     ^   V)4 ' J

< 0,99. Отже,

P\

S-M(SlotUs)=20

є

. a(S 4) ,

V     v   10     J

< 0,99 = 0,495З таблиць інтегральної функції знаходимо t = 2,573 при якому   Ф(ґ) = 0,495 . Враховуючи, що інтегральна функція

зростаюча, маємо

S

a(S 4)

v    10

< 2,573, звідки

,           /104 • 10 2т    102 т

є < <J(S 4) • 2,573 = ,            2,573 = —Г ■ 2,573 .

V      12           2V3

Враховуючи, що  M(S 4) = 0, знаходимо, що сумарна

похибка буде знаходитись в межах:

S

2,573      2 m 2,573      2 m • 10     ;      ^   -102л3

2л3

Ширину інтервалу е можна також обчислити з нерівності Чебишева:

РІІХ -М(Х)\ < є) > 1  Ц2 ), замінивши в якій X на

є

S 4 отримаємо:

Р|&04 -M(S^4)\<s)>1            .

N      1 1U       /           — *-*

Підставивши необхідні дані, отримаємо:

або

104-2m           104-2т

0,99 > 1 -

> 0,01, звідки

12-є2

12-s2

6-2»!

6-2»і

3-т1010

4-2»!

є2<

 

2л3

отже £ <0,01-12        12 Тому сумарна похибка з заданою ймовірністю 0,99 згідно нерівності Чебишева знаходиться в інтервалі:

S 4 є103-«   103-«

            /^;        г

2V3     2л/3

Нерівність Чебишева дає більш широкий інтервал, ніж формула для нормального розподілу.5.20. Поїзд складається з 98 вагонів. Вага кожного вагона - випадкова величина з математичним сподіванням, рівним 65 т, і середньоквадратичним відхиленням, рівним 9 т. Локо-мотив може везти поїзд, якщо маса останнього не перевищує 6600 т. В протилежному випадку підчіплюють другий локо-мотив. Яка ймовірність того, що цього робити не доведеться?

Розв’язок.

Вага поїзда, що складається з 98 вагонів і є сумою їх ваг, є випадковою величиною S98.

Математичне сподівання ваги всього поїзда рівне:M(S9S) = ^ м(Хі) = 98 • М{ХІ) = 98 • 65 = 6370(т),

і=\

де М.(ХІ) = 65 - математичне сподівання ваги кожного ваго-на. Дисперсія ваги всього поїзда рівна:

98        98

D(Sgs) = ^ D(X1) = YU сг2(Xt) = 98■a2(XJ) =

2    Л,.

= 98 • 92 = 7938(т),  де   о1 (Хг) = 9   - середньоквадратичне

відхилення ваги одного вагона.

Величина відхилення є між верхньою межею ваги поїз-да, який може везти один локомотив, і математичним сподіванням ваги поїзда рівне:

є = 6600 - 6370 = 230 (т).

Тоді ймовірність того, що не потрібно підчіплювати другий локомотив рівна імовірності того, що величина відхилення є < 230. Ця імовірність рівна згідно:

а)         нерівності Чебишева:

РІ\Х-М(Х)\ <s) = p(\S9g -M(S9g)\<є)>1-^^.

Підставивши у формулу необхідні дані отримуємо:

p(\Sg„ - 6370І < 230) > 1       = 0,85.

 230 2

б)         згідно формули величини відхилення для нормального

закону розподілу, оскільки п = 98 досить велике:РІ\Х -M(X)\ <є)= 2Ф\-\     або P(\S9S -M(Sgs)\ < є)

'     є     * o-(S9S) Підставивши у формулу необхідні дані отримуємо:

ґ       ллл       Л

Р\$9% -6370|<230)=2Ф    ,   =2Ф(2,5815)

л/7938 )

2-0,4951 = 0,9902.

5.21. Стрільба ведеться почергово з трьох гармат. Ймовір-ність попадання в ціль при одному пострілі з кожної гармати відповідно дорівнює 0,2; 0,4 і 0,6. Таким чином проведено 600 пострілів.

Визначити знизу ймовірність того, що при цьому частота відрізняється від середньої ймовірності попадання за абсо-лютною величиною не більше ніж на 0,05.

Розв’язок.

т    _

            Р

п

<е\>1-Ш

Скористуємось теоремою Пуассона. (

Р

пє1

1  к

де р = — V  р п   - середня імовірність настання події в

п ^     '

"   г=1

к

кожному випробуванні,  ^ пі = п  — загальна кількість ви-

і=\

пробувань,

            p,q,n, + pnqnnn + ...pan

n Підставивши необхідні дані задачі n1 = n2= n3 = 200; n = = 600; ε = 0,05; р1 = 0,2; р2 = 0,4; р3 = 0,6; q1 = 0,8; q2 = 0,6; q3 = 0,4, обчислимо середню імовірність попадання в ціль при кожному з 600 вистрілів:

р  q_\l\    1       212    2            ill    ip

0,2 • 200 + 0,4 • 200 + 0,6 • 200

0,4;

 

і pq

 

0,2 • 0,8 • 200 + 0,4 • 0,6 • 200 + 0,6 • 0,4 • 200

 

64     0,64

           

0,64

3-600-(0,05)2225

           

 

m

P

300      3 Тоді шукана імовірність рівна:

 

-0,4

>1-

<0,05

J

600 32      193

 

= 1-

 

m

0,4

< 0,05

>225    225 f Отже, P

 

           

5.22. Проведено 500 незалежних випробувань; в 200 з них ймовірність настання події А була рівна 0,4 в 180 – 0,5 і в 120 – 0,6.

Знайти нижню межу ймовірності того, що відхилення частоти від середньої ймовірності не перевищує за абсолют-ною величиною 0,05.

Розв’язок.

m n

 

Використаємо теорему Пуассона з закону великих чисел:

P

p

< a

>1-

p-q

де p — У^

i=\

p ni

n

середня імовірність настання події А в

i=\

кожному   випробуванні,    n = ^ n.    -   загальна   кількість випробувань,        р,ам, + РпЯпПп + ...Аа,и,

р q =£-LLJ—!—riii                 .

п

Підставивши необхідні дані задачі: ε = 0,05; п = 500; «; =

= 200; п2 = 180; п3 = 120; р; = 0,7; qt = 0,6; р2 = 0,5; д2 = 0,5;

рз = 0,6; ^з = 0,4, отримуємо середню імовірність настання

події А в кожному з 500 випробувань:

_    0,4-200+ 0,5-200+ 0,6-200     242

/7 =      =          = 0,484

500      500

            0,4 • 0,6 • 200 + 0,5 • 0,5 • 200 + 0,6 • 0,4 • 200

і р q =  =121,8

zz        

 

121,8

            0,484<0,05

>1        т = 0,80512.

500-500-(0,05)

500 Остаточно:

5.23. З 5000 проведених випробувань в 2000 ймовірність появи події А дорівнює 0,2; в 1400 - 0,5 і в 1600 - 0,6. Знайти границі, в яких повинна знаходитись частота появи події А, якщо це потрібно гарантувати з ймовірністю 0,95.

Розв’язок.

Середнє значення ймовірності появи події А в кожному з

_     рлпл + р-уЩ + о,и,

5000  випробувань  рівне:   р = ^1-^—£1^-^—     де п   =

п

= 5000; щ = 2000; п2 = 1400; щ = 1600; рі = 0,2; р2 = 0,5; р3 =

= 0,6.

Підставивши ці дані, отримаємо:

_    0,2-2000+ 0,5-1400+ 0,6-1600

р =       = 0,412 .Для знаходження меж, в яких буде знаходитись частота, необхідно знати величину відхилення ε, яку можна обчислити двома способами:

а) за теоремою Пуассона:P

 

p

< є

>1-

p-q

           

0,95.

Для цього обчислимо

pq

 

pxqj\ + p2q2n2 +...piqini

n

 

5000 p-q

             =

п-0,05

< 0,02904,   отри-

           

 

0,2 • 0,8 • 2000 + 0,5 • 0,5 • 1400 + 0,6 • 0,4 -1600    1054

 

5000 pq

0,05, звідки є2

пє2 Отже s = 0,02904.

 

З формули Пуассона 1054

т

0,412

(5000)2 • 0,05 Розкривши   нерівність

т

муємо межі, в яких  з заданою імовірністю 0,95 буде знахо-

дитись   частота   появи   події   А:    0,383 < — < 0,441    або

п

т

0,383 <

<0,441. Отже,   0,383-5000<т<0,441-5000,

5000 або 1915 <т<2205.

б) з формули Бернуллі-Лапласа:

 

P

 

p

 

 

п

pq

 

0,95.

 

Отже, Ф

\

п

pq

 

0,950,475,   або Ф(х) = 0,475.

З таблиць інтегральної функції знаходимо, що х = 1,96

І5000•5000

або єА = 1,96.

V      10541,96-1054

Звідси є =       = 0,012726. Отже,     0,412

п

<          0,012726, або  0,3993 < — < 0,4247,   або    1996,5 < т <

п

<          2123,5; заокругливши, отримаємо 1997 < т < 2124.

5.24. Чи можна застосовувати теорему Чебишева до по-слідовності незалежних випадкових величин Хh Х2, ..., що мають рівномірний розподіл на:

 г     m  Г          1

а) [or;/?];  б) [0;w]; в) [0;Vw]; г) [1;^=]  (де «=1,2,…)?

Vw

Розв’язок.

Для того, щоб до послідовності випадкових величин мож-на було застосувати теорему Чебишева, достатньо, щоб ці ве-личини: 1) були попарно незалежні; 2) мали кінцеві мате-матичні сподівання; 3) мали рівномірно обмежені дисперсії.

Оскільки випадкові величини незалежні, то звідси випли-ває їх попарна незалежність, тобто перша умова теореми Че-бишева виконана.

а)         Перевіримо, чи виконується умова кінцевості мате-

матичних сподівань і дисперсій. М(Хп) = ; (0-a)2

D(X ) =                для рівномірного закону.Отже, кожна випадкова величина Х має кінцеве мате-

матичне сподівання і дисперсію, так що друга і третя умови

теореми виконуються, тобто всі умови виконуються. Таким

чином, до даної послідовності випадкових величин теорема

Чебишева може бути застосована.

б)         Математичне сподівання випадкової величини Х„ рів-

номірно розподіленої на відрізку [0;и] рівне:

, ,^г       0 + п    п

М(Х ) =           = —;   при п -» оо, М(Х ) -» оо .

2       2 (n-0)2     n2

Дисперсія випадкової величини D(X„) =      = —;

12        12

при и^оо, £)(Хи)^оо, тобто теорема Чебишева про рів-

номірну    обмеженість         дисперсій   не    виконується.    Отже,

теорема  Чебишева до          даної  послідовності  не  може   бути

застосована.

в)     Математичне    сподівання     випадкової     величини

0 + л/й     4п   4п

і lim М(Х ) = lim          > оо.

М(Х )

2          2      "^00

Дисперсія випадкової величини

D(Xn)

і lim£)(X„) = lim           >оо.

(У^-о)2

12        12     "^00        "     "^0012

Таким чином, друга і третя умови теореми Чебишева по-

рушуються і вона не може бути застосована до даної послі-

довності.

г) Математичне сподівання

           

 

1+М(ХИ)

2 1

 —4п   4п12

+ 0

+ 1іш

2    "^» 2>/й    2

 1

; limM(Xn) = lim1+1

           

 

Дисперсія D(Xn )limD(X ) = — limi      Г i

— lim

12 "^0012

           

           

/w

/wW

w

Дисперсії випадкових величин рівномірно обмежені вели-1 чиною      , і оскільки математичні сподівання М(Хn) кінцеві і 121    1

— + —=

2          2л/и

рівні

тому до даної послідовності можна засто-

совувати теорему Чебишева.

5.25. Послідовності незалежних випадкових величин Xn (n = 1, 2,…) задані своїми таблицями розподілів імовірностей:

а)

 

х„         - a        0          a

Р(Х^    п          1          п

 

            2п + 1 2п + 1 2п + 1

Хп

па

б)

па

 

Р(Хг)   1 In1    1-\ п2  1 2п2

па

Х„

в)

па

Р(Хг)   1

4          1

2          1

4

 

г)

д)

е) є)

 

х„         -4п      0          4п

Р(Ху)   1 п       1-J 2и  1

 

X         - 5"      5"

Р(Хг)   2          2

 

X         a          – a

Р(Х,)   п/(2п + 1)       (и + 1)/(2и + 1)

 

X         п+ 1    -и

Р(Х„}  и/(2и + 1)       (и + 1)/(2и + 1)

511

ж)

Xn

P(XJ

-5n

2n

 

n-l0      5n

2n

До яких з цих послідовностей можна застосувати теорему Чебишева?

Розв’язок.

Оскільки випадкові величини незалежні, то тим більше вони попарно незалежні, отже, перша умова для застосування нерівності Чебишева виконується.

, гґ ^       -^   ^    ^ґ ^                  п                1

а) М(Хп) = 2иХп- Р(Хп) = -а           + 0       +

2п +1        2п +1

+ а-

п

2п + \

0.

 

D(Xn) = ^ Х2п-Р(Хп)-М2(Хп) = (-сс)2

п

2п + 1

+

1          2      п  2а2п

 + сс2

-02

 

2п + \

2п + \

2п + \

пHm D(Xn) = 2а2 Hm- —— = 2а2 Hm-^ = 2а2

a

 1

2 + п

+ 02и^м 2я + 1

Математичні сподівання сталі і рівні 0, дисперсії рівно-мірно обмежені числом а2. Тому до даної послідовності можна застосувати теорему Чебишева.

б) М(Хп) = -па          + 0-1 —-\ + па          = 0;

2п        \     п ) 2п

D(X ) = -(па) 2           + 0 2 • 1 —- + {naf    - 0 2 =

2п        \     п   )           2п

           

= а2.

2п2а2 2п2

Всі три умови для застосування нерівності Чебишева виконуються.в) М(Х ) = -иог• — + 0- — + WQT- — = 0;

4        2            4

/)(Х„) = -(иог)2 • - + 02 • — + (па)2            02

4          2          4

2   2   1     п2а2

           

4        2

 п2а2

In a

»  =

lim £>(Хп) = lim          > оо.

 

Оскільки дисперсії Z)fX^ не обмежені рівномірно, то тео-рему Чебишева застосовувати не можна.

, ,,„      /-   1    ґ,    2^|      /-   1

г)         М(Х ) = -уіп • — + 0 •  1 —  + л/и • — = 0;

п        \     п)    п

 , Г2   1           f      2^|    ґ і-^2   1      2и

D(Xn) = -Nn)   • —+ 0-  1     \ + Нп)            0 = — = 2.

4        у     nj    п          п

Всі три умови для застосування теореми Чебишева вико-нуються.

 l,,tr      «1        «1

д)         М(Х ) = -5   • —+ 5   • —= 0;

2          2

 /    Л2   1    /V„\2   1     2-52"      ~и

D(Xn) = [-5  ) • —+ 15  ) •- =            = 5   ,

2          2        2

HmZ)(Xn) = lim52" —» оо.

Дисперсії не обмежені рівномірно, тому теорему Чебише-ва не можна застосовувати.

,„„              и   (п + ї)  a

           

е) М(Хп) = а   а-

2п +1  2п +1        2и +1

^     2   2        ґ            2

2а п + а     (   а

 

nstr         2      и        (-ог)2-(и + 1)

£)(Хи) = сг     +         

+

2и +1  2п +1  2w +1

2п + \  2п + \

;

,.                  ,•    2cc2n + cc2    ,.     f   a   У

hmD(X ) = hm hm-          =

n^co    „_>«,    2n + \       n^\2n + \J

a2 2a2 +

= lim    -^- - 02 = a2.

n^oo    1

2 +

Дисперсії рівномірно обмежені числом a2. Тому до даної послідовності можна застосовувати теорему Чебишева.

є) M(X„) = (w + l)       п          =          = 0;

2п + 1        2п + \     2п + \

 (п + 1)2-п    (-п)2-(п + 1)      .     2п3+3п2+п

D(X ) =           +          -0  =    ,

2п + \  2п + \  2п + \

1     1

,•         .•     2п3 +3п2 + п    ,.       +   и + и^

hm D(X„) = hm            = hm    ^—%— - 0 -» oo.

и->°о  и->=о  2И + 1 «-><*>            1          1

2 • —r   + —

Дисперсії D(X„) не обмежені рівномірно, тому теорему Чебишева застосовувати не можна.

, ,,„          5и        f        1   ^    5w

ж) М(Х„) =     + 0- 1     + — = 0;

v   п        Т        \     2"-1)    2"

£>(*„) = И J • — + 0 -I 1-^ТІ + (5 J -^г =

2-52-п2      п2     1

=          = —-5 ,

2"         2"-1

,•         ?,•     п2        1л.         2п

hmD(Xn) = 5 hm—— = 5 hm =

»->«>  „^oo2  "-><*> (w-1) In 2

           

            11111                        

In 2 "->4      «J     In 2

2-52      Л    O    2-52 hm 1Дисперсії обмежені рівномірно, отже, теорему Чебишева застосовувати можна.

5.26. Обчислити імовірність відхилення випадкової вели-чини Х від свого математичного сподівання М(Х) менш ніж на три  середньоквадратичні  відхилення   а(Х)   за нерівністю

Чебишева   і   порівняти   з   імовірностями    Р(\Х-М(Х)\<

< 3сг(Х)  обчисленими за умов, що Х має: а) нормальний

розподіл; б) показниковий розподіл; в) рівномірний розподіл

 7         „(         1      „  1

на відрізку [а;Ь]; г) Рх = -) = Р(х = 1) = —;   Р(х = 0) =8 = — ; д) розподіл Пуассона з М(Х) = 0,09 і М(Х) = 0,16. 9

Розв’язок.

Згідно нерівності Чебишева імовірність того, що випад-кова величина, розподілена за будь-яким законом по модулю відхиляється від свого математичного сподівання на величину меншу за своє потроєне середньоквадратичне відхилення рів-на:

Р(\Х -М(Х)\ < 3сг) > 1           (      = 1           =

М        А        J           є2        (3а) 2

= 1       = 0,88889.

9  9

Для обчислення даної імовірності з врахуванням законів

розподілів використаємо формули для обчислення імовірності

попадання випадкової величини в заданий інтервал  [а; /?].

Якщо випадкова величина розподілена за: а) нормальним законом, то

n,       v     п,      JP-A    Jcc-аЛ

a

Р(а <Х <Р)==Ф            - Ф      , де а = М(Х).

a

Отже, Р(\Х -М(Х)\ < 3сг) = Р(\Х -а\< 3сг)™,               ^         ~   ч       і а + Зсг-аЛ      Га-Зсг-а

Да-Зсг<Х<а + Зсг) = Ф           -Ф

a       j      \       a

 

= Ф(3) - Ф(-3) = 2Ф(3) = 2 • 0,49865 = 0,9973; Р(\Х-М(Х)\ < Зсг) = 0,9973 .

б)         показниковим законом, то Р(а < X < /?) = е~а — е~    .

У   цьому   законі   М(Х) = и(Х) = — ,   тому   М(Х) +

+ 3<j(X) = — + 3— = —.

/t      /1/1

За нижню межу М(Х) - а(Х) беремо 0, оскільки функ-ція щільності цього закону існує лише для X > 0. Отже, Р(\Х -М(Х)\ < Зсг) = Р[М(Х) - Зсг(Х) < X <М(Х) + 3<т(Х)] =

= Р0<І<- \ = е~а'° -е    л =\-е~4 =0,98168;

Р(\Х -М(Х)\ < Зсг) = 0,98168.

в)         рівномірним    розподілом    на    відрізку    [а;Ь],    то

v     m     Р-се  „/v     a + b

Р(а<Х<Р) =    .   У   цьому  законі   М(Х) =            ;

Ь-а      2

ґ ,г     Ь-а а(Х) = —1=. Таким чином,

2V3

P

— 3     ^<Х<   + 3-

2          2V3     2          2V3

fa + b       Ь-а  а + b        Ь-сА

 

а + b        Ь-а    а + b        Ь-а

            1~ 3 ■ т=        h 3 •     г=

2          2V3     2          2j3       3   =1

Ь-а      V3Оскільки імовірність обмежена 1, то величина відношен-

Р-а       3         X     пЛ

ня        = —j= вказує на те, що величина інтервалу [а, р\

Ь-а      V3

більша за відрізок [а;Ь] існування випадкової величини Х,

тому Р(\Х -М(Х)\ < Зсг) = 1.

г)         Обчислимо математичне сподівання М(Х) і дисперсію

D(Х) випадкової величини Х:

М(Х)=у    хр =-\         + 0-- + 1         = 0;

~^        18        9        18

D(X) = y   х р -М\Х) = (-\) — + 0 •- +

1~\       18        9

,       1  2          1

+ 1       0   =-;

18        9

сг(Х) = JD(X) = - . 3

Нижня межа інтервалу рівна М(Х) -3 -сг(Х) = 0-3 х

х - = -1, верхня межа рівна М(Х) + 3 • сг(Х) = 0 + 3 • - = 1.

3          3

Оскільки в заданий інтервал (межі не включаються) попадає лише єдине значення х = 0, ймовірність появи якого

рівна р = -, то Р(\Х-М(Х)\ < Зсг) = Р(\Х\ < 1) = -.

9          9

д)         У розподілі Пуассона М(Х) = D(Х) = A, сг(Х) = л/Я .

Якщо М(Х) = 0,09, то <У(Х) = 0,3, і тоді верхня межа ін-

тервалу рівна М(Х) + За(Х) = 0,09 + 3 • 0,3 = 0,99. За ниж-

ню межу інтервалу приймемо 0, оскільки у цьому законі Хі -

число появи події > 0 . Таким чином, єдиним значенням, що

попадає в заданий інтервал є х; = 0, імовірність якого

знайдемо за формулою: Pe-X     0,09°-е-09        009

P(x = 0) =        =          = e   •   = 0,91393,

ХІ !      0!

P(\x - 0,09| < 0,9) = 0,91393.

Якщо М(Х) = 0,16, то a(Х) = 0,4 і верхня межа інтервалу рівна 0,16 + 1,2 = 1,36, за нижню межу приймемо 0. В заданий інтервал попадають два значення: х;= 0, х2 = 1, імовірності

 ™      ^    0,09і-е-09

яких рівні Р(х  = 0)  =  0,91393  і   Р(х = Т) =          =

1!

= 0,0822538. Оскільки події (х; = 0) і (х2 = 1) є несумісними,

то імовірність знаходження даної випадкової величини в да-

ному інтервалі дорівнює сумі імовірностей:

Р(\х- 0,16І < Зсг) = 0,91393 + 0,08225 = 0,99618.Частина ІІІ Елементи математичної статистики