Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
§5. Закон великих чисел : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

§5. Закон великих чисел


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Послідовність випадкових величин Х1, Х2, ... збігається за імовірністю до випадкової величини Х, якщо для будь-якого

є > 0 імовірність нерівності \Xn -X\<є при n^-оо прямує

до одиниці.

Лема Чебишева. Якщо випадкова величина Х набирає ли-

ше невід’ємні значення, тоді імовірність того, що при випро-

буванні  вона набере  значення, яке  більше  від додатнього

числа а, не переважає дробу, в чисельнику якого математичне

сподівання від Х, а знаменник - число а:

 M(Х)

P(x>a )<          (5.1).

a

Нерівність Чебишева. Імовірність того, що відхилення

випадкової величини Х від її математичного сподівання М(Х)

за абсолютною величиною не менше будь-якого додатнього

числа є, обмежена зверху величиною D(Х)/s2 :

P(| Х -M(Х)|> є) <      2          (5.2).

Відхилення випадкової величини від математичного спо-дівання М(Х) менше, ніж є, виражається в другій формі за-пису нерівності Чебишева:

P(|Х-M(Х)|<є)>1- D ( Х )      (5.3).

Нерівність Чебишева корисна лише при відносно великих є , оскільки при малих є дає грубі оцінки або й тривіальний результат.

Загальна теорема Чебишева (про стійкість середньо-арифметичного).

Якщо х 1, х2, ... хn - послідовність незалежних випадкових величин з математичними сподіваннями М(х1), М(х2), ... М(хn) і дисперсіями D( х 1), D(х2), ... D(х n) обмеженими однією і тією

ж постійною |D(xi)| < L , то для довільного є > 0 і достатньовеликого числа n, практично достовірною можна вважати по-дію, яка полягає в тому, що відхилення середнього арифме-тичного випадкових величин від середнього арифметичного їх математичних сподівань буде за абсолютною величиною як завгодно малим:

= 1 (5.4).

limPl

xl +x2 +... + xn    M(x1)+M(x2) + ...+M(xn)

n

n

< Є

 

При доведенні цієї теореми з допомогою нерівності Чебишева отримуємо оцінку:

 

P

<s

(5.5).

>1-

Vxi       УM(xi)

i=l        i=1

Частковим випадком теореми Чебишева є теореми Бер-нуллі і Пуассона.

Теорема Бернуллі встановлює зв’язок між частотою події і її імовірністю при постійних умовах випробувань. При не-обмеженому зростанні числа незалежних випробувань часто-та mln деякої події А збігається за імовірністю до її імовір-ності p = P(A):

= 1

 

lim P

 

p

 

(5.6),

де є - яке завгодно мале додатнє число.

При доведенні теореми Бернуллі отримуємо таку оцінку:

 

P

 

p

 

>1-

pq

(5.7),

яка має практичне застосування.

Теорема Пуассона (встановлює стійкість частоти при змінних умовах випробувань). Якщо проводиться n незалеж-них випробувань і імовірність появи події А в і-тому випробу-ванні рівна рі, то при збільшенні n частота m/n події А збі-гається по імовірності до середньоарифметичного імовірнос-тей рі:f

limP

V

 

m    1 .A

= 1       (5.8),

            2-i Рг

n    n ,.=1

де s - яке завгодно мале додатнє число.