Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.13.1. Задана функція розподілу двомірної випадкової ве-личини:

\(\-е~4х)(\-е2у)           при х > 0,у > 0;

F(x)

[0         при х < 0 або>'< 0.

Знайти двомірну густину ймовірності системи (X, Y).

Розв’язок.

Використаємо формулу:

 d2F

f(Xv) = ;

дхду

— = (1 - е~2у ) ■ (-е~4х ) ■ (-4) = 4е~4х (1-е~2у),

дх

            = 4е~4х(-е~2у)(-2) = %е~4хе~2у = %е~4х'2у .

дхду

Перевірка:

 

CO      CO      CO

-4*-2^

 

j \f(x,y)dxdy = s[e 4xdx-\e 2ydy=\e 4xd(-4x)

0     0   0          0

o          o    —V     ^"

yX\

x \e 2yd(-2y) = e 4x\ -e 2y\  =lim \-—r- -lim ^-—r~  =1-

xl x2

4.13.2. Щільність сумісного розподілу fxx (u,v) величин

xh   x2   визначається   рівностями    fx x (w, v) = c(u + v)    при

 *1,*2

0 < u < 1, 0 < v < 1 і fx x (u,v) = 0 в решти випадках.

Знайти:

а)         константу с,

б)         одномірні щільності розподілу х1 і х2.Розв’язок.

Для знаходження параметра с скористаємося формулою

і      і

с\du\(u + v)dv = 1. Оскільки

0          0

11        1          -I,2      1          1

с A  (w + v)fi?v =   (wv + —)' fife/ =   (u + —)du

J       J  J          J

w2     1      ,      11

= (       + —tt)o = —+ —= 1.

2     2   2    2

Отже, с = 1 і /   v (w, v) = W + V .

Знайдемо щільності розподілу кожної із величин за фор-

CO      CO

мулами fXi(u)= [fXlX2(u,v)dv та fXi(v)= \fXXi(u,v)du. В

— OO — OO

нашому випадку при 0 < w < 1 і 0 < v < 1 маємо:

v2i       1

fx (u)=   (u + v)dv = (uv + —)\0 =u +

1          0

 Г,        7          W2      ,           1

fx (v) =   (w + v)fi?v = (— + uv)\0 =v +

2          J

—) ' =// + — ,

2          2

И         1—   uv)\0 =v + —.

2          2

4.13.3. Задані щільності розподілу незалежних складових двомірної випадкової величини (Х,Y):

/ (х) = 5е~5х при х > 0;

/ (х) = 0 при х < 0;

f2(y) = 2e~2y при.у> 0;

Л(>0 = о приJ ^ °-

Знайти: а) щільність сумісного розподілу системи б) ін-тегральну функцію розподілу системи. Розв’язок. Оскільки складові системи незалежні, то:а)          двомірна щільність імовірності рівна добутку щільно-

стей складових:

f(x,y) = /(х)-/2(у) = 5е-5х -2е-2у = 10е-(5х+2у).

б)         інтегральна функція розподілу системи рівна добутку

функцій   розподілу   складових:    F(x, у) = F(x) ■ F(y),   де

F(x) і F(y) обчислимо згідно формул:

х          х          х

F(x) = \fi (x)dx = f 5е-5xdx = - \e-5xd(-5x) = -e-5x

x0

= e-5x\   = \-е-5х;

X

У         У         У         y

F(y) = J/2 (y)dy =Ї2е 2ydy = -\e 2yd(-2y) = -e 2y     

o = e-2y\   =l-e-2y;

у

тому F(x,y) = (\-e-5x)-(\-e-2y).

Отже,

 ,          [°         при x < 0 або y < 0;

а)         fix, y) = <

\\0e -(5x+2y)   прих>0 і y>0;

\0         при x < 0 або v < 0;

б)         Fix, y) = <

\i\-e   )-(l-e y)    прих>0 і>'>0.

4.13.4. Задана щільність сумісного розподілу неперервної випадкової двомірної величини (X, Y): fix, у) = 2cosxcosy в

квадраті 0 < х < — , 0<у< —; за межами квадрату fix, у) =

4          4

= 0.

Знайти дисперсію складових.

Розв’язок.

Обчислимо дисперсію складової Х:

D(X)= f x1 fi(x)dx - M2 (X)

 

M(X2) = fx2 • л/2 cosxdx = V2 (V • cosxdx

0          0          dv

           

x1 =u; du = 2xdx; dv = cosxdx;

v=f  cosxdx = sinx;

           

4i

 

Л

4 1

x2sinx| -[2xsinxdx

           

—    -sin          2fxsinxdx

 I          J     v    v          '

7Ї1 yfl

16   2

-2-

 V 2

 

x = w;    dx = du;

sin xdx = dV;

v= fsinxdx = -cosx;

Л

4       \

+ 0       0

x-cosx| + [cosxdx

 zz

 

л/ 2

V2V 32

           

— cos—+ sinx1)

 zz

 

г-   УІІЖ        Ж

 

n  42    2-лІ2

32       2    2

 

 +

2л-2    71-232

 

л-2+8л--32 16

Отже,   D(X)

л-2+8л--32    Гл- + 4-4л/216Очевид-

но, що £>(У) = D(X) внаслідок симетричності.4.13.5. Задано розподіл ймовірностей дискретної двомір-ної випадкової величини:

Y         X

            26        30        41        50

2,3       0,05     0,12     0,08     0,04

2,7       0,09     0,30     0,11     0,21

Знайти закон розподілу складників X і Y.

Розв’язок.

Склавши імовірності “по стовпчиках”, отримаємо імовір-ності можливих значень Х: Р(26) = 0,14; Р(30) = 0,42; Р(41) = = 0,19; Р(50) = 0,25.

Напишемо закон розподілу складової Х:

Х         26        30        41        50

Р          0,14     0,42     0,19     0,25

Контроль: 0,14 + 0,42 + 0,19 + 0,25 = 1,00. Склавши імо-вірності “по лінійках”, знайдемо розподіл складової Y:

 

Y         2,3       2,7

Р          0,29     0,71

Контроль: 0,29 + 0,71 = 1,00.

4.13.6. Знайти ймовірність попадання випадкової точки (X, Y) в прямокутник, обмежений прямими х = 1, х = 2, j = 3, у = 5, якщо відома функція розподілу:

 \\-2~х-2~у+ 2~х "      .           .

F(x) = ^           при х > 0, j > 0;

[О        при х < 0 абоj< 0.

Розв’язок.

Використаємо формулу:

Р(хх <Х <х2,уг <Y < y2) = [F(x2,y2)-F(xl,y2)]-

-[F(x2,^)-F(x1^1)] = *

Покладемо в F(x,у) = \-Тх -Ту + 2 , значення Xj = 1,

х2 =2; ^ =3, _у2 =5. Отримаємо* = [(1 -T2 -Vі + 2-2-5)-(\-2-1-Vі + 2-1-5)]-- [(1 -Т1 - 2-3 + 2-2-3) -(1 - 2-1 - 2-3 + 2"1_3)J= 1 - 2'2 - 2'5 +

+ 2-7-1 + 2-1+2-5-2-б-1 + 2-2 + 2-3-2-5+1-2-1-2-3+2-4 =

-л    0-s      -б-7      1       1       11      23-22-2 + 1

= 2    —2    —2    +2     = — -Н—— =        =

2      2      2      2         2

8-4-2+1     3       3

ZZ          ZZ       ZZ   

2 7       2 7     128'

4.13.7. Щільність імовірності системи двох випадкових

величин (ζ, η) має вигляд f(x, у) = ае~4х ~6ху-9у . Визначити:

а)  постійну а;  б)  коефіцієнт кореляції  випадкових С,  і  //;

в) умовні закони розподілу / (х\у), f (у\х); г) математичні

сподівання складових. Розв’язок. а)  Для  знаходження  параметра а  використаємо  влас-

тивість:   Г    Г f(x,y)dxdy = l. Отже,

— CO     —CO

COCO            COCO            3        2            27     2

a-j   \e-4xl-6xy-9yldxdy = a-\   \е('2х+ 2У) е^У dxdy =

—00 —00       —00 —00

00       27   2    00        3   N2

 

4    -dy\e       2    dx = *

— CO —CO

- 4x2 - 6xy - 9y2 = -(4x2 + 6xy + 9y2)

           

 3       9   A    9   2        2 2x + 2-2x-->' + ->'2   —y +9;>2 2       4     J    4

           

3    ^     27

31      27   2        (       3    1     27   2

2x + -y    + — y    =-\2x + — y\         y .

2   J      4         y        2)41       Г4°г    ~/ { \ll   \"r   -\2х+\А   /„      3   ^

* = а —J— \ е 4   a J—v \\  е v       ' а\ 2х + — у \ =

2          V 27 J  V 4       J         I           2

'           —CO  \           / —CO            v          ^

CO      CO

=   p    [e^du- \e~{'dt =   j== ■ 4ж■ 4ж=—/= = 1.

V27 j^ Jrxi       V27     3V3

CO      CO

Тут враховано, що   \e~u <іи = 4ж;     \e~' dt = 4n  - ін-

— CO —CO

теграли Пуассона.

3--\/з

Отже, a =       .

ж

б) Щільності розподілу імовірностей складових С та ц

знаходимо згідно формул:

Ж     J  Ж

— CO —CO

= -(9у2+6ху + 4х) = -(ЗуГ +

fx(x) = — ]e-4x2-6xy-9y2dy = — ]e-(3y-x)2e-3x2dy = *

 

4x2 - 6xy - 9y2 = -(9y2 + 6xy + 4x2) = -[(З^)2 + 2 • 3y ■ x + x2 - x2 + 4x2] = -[(3y + x)2 + 3x2] = -(3y + x)2 - 3x2.

 

            e - y   ' d(3y + x) =     

ж       3    J      ж

— CO —COsl3e-3x2   r-    Se-3x

            УІЛ =7=;

ж         4ж

u

~     /T    co     O     /T    °°      _l  0        3      I           27    2

Ш = — ]e-4x 2 -6xy-9y 2 dx = ™ Je-l2lVj e~> dx = *

3    1     27   7

2x + -y y .

2   J      4

 Зл/з   1    Л2 °r "2lV    ,f       з

* =       e 4     \e y    2Jd\2x + -y

ж    2   J          V        2

 V

27   2   27   2

Зл/З   ~у2 f    л        Зл/Зе 4        /—    Зл/Зе 4

=          е4     \е   dt =   -4ж=   1=.

2л        Jx         2л        2л/ж

в) умовні щільності розподілу імовірностей складових С та ц неперервної двомірної випадкової величини (С rj) обчис-лимо згідно формул:

/Лх\у)=            =          Ті         = j=e    ;

1          п-е 4   3V3

(x+3j)

^(^(х)

Дх,у)3ч/3-е-4х2-6ху-9у2 ■ іж      3

е

УІО)    я--л/з>3х2      V^

г) Математичні сподівання складових С, і щ обчислимо згідно формул:

CO      CO      rZ

Мд =М(Х)= \x-fl(x)dx = [x-j=e~3x2dx = 0,

 »   '*■

 \          °°         In         co        /O        co

|У3^(-Зх2) = -^е-3*2 I   =^e

-CO     V         -CO

VTT   6J          6Л/ТГ  loo    6л/тг

як інтеграл від непарної функції з симетричними межами.

oo        m         /           27   2

MlJ=M(y)= \y-f2(y)dy= \y       7=e 4   dy

Зл/З   f    -—J   T = —j=     е        ф = 0  - як інтеграл від непарної функції з

2V 7t _І симетричними межами.

4.13.8. Система двох випадкових величин (X, Y) підлягає закону розподілу з щільністю імовірності a

oo        27   2

f(x,y) =

1 + (х +у )

а) Знайти коефіцієнт а;б) знайти радіус кола з центром в початку координат, ймовірність попадання в який рівна 0,5.

Розв’язок.

а) Для знаходження параметра а використаємо власти-вість:

CO      CO      7          7

J   J   l + (x 2 + v2)2

— CO      —CO         J          /

Для обчислення інтегралу використаємо полярні коор-динати: х = р cos <р;  у = р sin <р;  dxdy = pdcpdp; 0 < р < оо;

0 < <р < 2ж . Отже,

{ Il + ^cos>+^sin»2=fl'lWrr

1 ї                Pdpdcp    12\       t/(p2)

a                 = a

2J0     JoM77

a „              .   2°°           Л"    аn2       2

= — • 2л- • arctg(p )    =аж- — =      = 1, звідки a = —-.

2          o          2       2 ;r

б) Для знаходження радіуса кола р з центром в початку координат, імовірність попадання в який рівна 0,5, скорис-туємось рівністю:

Р(0 <Х <р, 0<(р< 2ж) = 0,5, або використавши вираз щільності отримаємо:

1     2       p   d(p2)        2    1  2     1

\d<p\yjh = — ---2n-arctgp

і     І1 + (Р2 ) 2     ж2   2        ^

2     J      ^1 + (р2)2     ж2   2 2

Отже, —-arctgp=\;    arctgp= —, звідки р  =1 або

;г         4

/7 = 1.

4.13.9. Система випадкових величин (<f, г/) має щільність

імовірності f(x,y) =     . Необхідно знайти:

l + x +у +х у

а) коефіцієнт а;б)       імовірність   попадання   в   прямокутник      0 < X < 1,

-1<7<1;

в)         функцію розподілу системи (<f, г/) ;

г)         закони розподілу одномірних величин д і г/;

д)         з’ясувати, чи є ці величини залежними.

Розв’язок.

а) Використаємо властивість функції щільності:

CO     CO

j IV(X> y)dxdy = 1, або

— CO—CO

CO     CO

ГГ       ^І         = a})    ^У       =

— CO—CO

CO      CO

J J l + x2 + y2+x2y2       J J (l + x2)(l+y2)

 —CO— co\   v

r     ax     r     ay           \ n    \    л

= a       —        ^—— = a ■ arctgx   ■ arctgy    =a-\  

_J (l + jr)_J (1 + y )     1M      1M        ^2^2

dx    '\     dy     ?          ?        (n   (   n\\

(lC    (   Ж^    аж2 .

x

Отже,  an2 =1;     звідки  a = —   і щільність розподілу

1          1

f(x,y)

 

ж2   1 + x2 + y2 + x2y2

dxdy

           

б) P(0 < X < 1,-1 < Y < 1) = — f fr   ay    r   ax         i

 —^     ==—z-arctgy\ -arctgxl

7Ї2 l\ + y 2{\ + X2       7Ї2

л-2 Ц\ + х2+у2+х2у

\   \   dy   \   dx 1

 їигиі&у1    ж  ж    1

;r2   2   4     8

*-0      4    I    4-1       0

в) F(x,y)= f fy x 1        ахф

;r2   1 + x2 + y2 + x2y2

            1    r   dy    r   dx        1    (      жЛ   f  ж

——                = — •  arctgy A—  +  arctgx A—

ж2 J 1+v2 J 1 + x 2     ж2  {   2)   I    2

— CO J      —CO      v          /           v

(arctgx    \Y arctgy    іЛ    ^, ч

 + -      + —=і<і (:*:)• F2(j/), де

           

 

           

V    я"        2Д    ж        2

^,       arctgx    1    ^    ч    а^сґеу    1

Е(х) =  + -; ^2(>0 =    + -.

ж        2           ж        2

Оскільки інтегральна функція системи F(x, у) дорівнює добутку інтегральних функцій її складових, то випадкові ве-личини незалежні.

г) щільності розподілу складових Х і Y такі:

I           dy        1

ж2 J (1 + х2)(1+у2)    ;г2(1 + х2)

— CO J

fx(x) = [f(x,y)dy = — Г

 

CO

r   dy    1          i00       1          1

X         — = —                arctgy\    =—          т-Ж =  :-;

lA-y2     ;r2(l + x2)      Lx    ;г2(1 + х2)          ;г(1 + х2)

CO      CO

f2(y) = [f(x,y)dx = — f

dx

           

ж2 J (l + x2¥l+y2)

 

— CO  v         /\

           

1          1

• ж =

Ж2(\А-у2)       ж(\А-у2)

Отже,

1          1

           

f(x, y)

Ж2(\А-Х2 A-y2 A-X2y2)      Ж2(ІА-Х2)(ІА-у2)

= fi(x) • f2(y) ■

Для того, щоб встановити, чи величини є залежними, обчислимо умовні щільності імовірностей складових:

//,         f(x,y)    1          1

/Лх У) =          = —J   о          т '■      т =

/2(У)      я- (1 + х )(1 + .у )   п{\А-у)

Л(х)

 

;г(1 + х2) f(X, У)        1          ,

f (y | x) =          =          — = fJy) .

fx(x)      x(l + y) Отже, випадкові величини незалежні. д) кореляційний момент обчислюється згідно формули:

 

де

/иху= \ Ux-M(x))(y-M(y))f(x,y)dxdy

— CO—CO

CO     CO       CO      CO

CO     CO       CO      CO      j

M(X)= \\xf{x,y)dxdy = \xfl(x)dx = fx   —

— CO—CO   —CO  —CO  V         /

 

1 °r 1  d(l + x2)      1      .,      2ч 00      1  L       „     2

—        T   = —ln(l + x )    =—hmln(l + x )-

ж J 2     1 + x  2n        2n ^00

 

hm ln(l + x ) =  In km   - = —In 1 = 0.

2ж      *^±0° 1 + x2     2ж Аналогічно, М(Y) = 0 внаслідок симетричності  f(x,y) відносно х і у. Отже,

1   °r1  <Яхф   _   1   I xdx  | ydy

w   л1 -vl   (1+x2Xі+У)   ^2 V+x2 J+У

= —:    1п(1 + х )    •—1п(1+у )    =—-0-0 = 0.

ж2   2  J[x2     *    L    4л-2

Нема кореляції між випадковими величинами Х і У, тобто вони незалежні.

4.13.10. Система двох випадкових величин (С,7?) підля-гає нормальному закону з щільністю імовірності:

f(x,y) = a-exp\

(х-1)2     (у + 2)2

8          4

Знайти коефіцієнт а. Визначити імовірність сумісного ви-конання двох нерівностей: -1 < <f < 1,  0<г/<2.Розв’язок.

Для знаходження параметра а використаємо властивість:

отже:

— CO—CO CO    CO

j \f(x,y)dxdy = 1,

(x-1)2        (jV+2)2     co        (x-1)2  co        (y+2)2

\\e    8   e    4   dfofy = a \e    8   dx\e    4   dy

           

 

— CO

 

i f ~^2 )   ,1 У + 2 e    4   a

                x

 

           

(x-1)      /" -      8      J

V "v

 —OO

V8-V4

 

(x-1)

х4л -4л =1,   оскільки    le     8   d

 

/4 J    2-2л/2 /      " J

v V8 J

cu

інтеграли Пуассона,

 

i           I V4    

звідки a

4жлІ2

(Р~Щ

Ф

Імовірність попадання випадкової точки, розподіленої за нормальним законом в прямокутник виражається формулою:

Ф

P((^,7]) G D)

V   °>    J

V   °>    J

 

x  Ф _

V        °n        J_

Тут: OT =1; а^ = 2(2сг2 = 8); mv = -2; сг^ = V2(2cr2 = 4). Отже,

V.        n       J

Лд-тЛ    Ат-т^

P(-1<x<1,    0<у<2)

 

I  2 J

«1z1l.J-1-1

Lf

2 + 2 "j       |^ 0 + 2

V2

I. V2

[Ф(0)-Ф(1)].

^,   4   1    л[  2 Ф —j=  — Ф —j= I.V2J       I.V2

 

1 4 0,0260316 ^0,026.

Ф(і) • [Ф(2,8284) - ф(і,4142)1 == - • 0,6827 • [0,9952 - 0,8427І

4          4

4.13.11. Щільність сумісного розподілу неперервної дво-мірної випадкової величини (X, Y): f(x,y) = Се~х ~2ху-4у .

Знайти:

а)         постійний множник С;

б)         щільності розподілу складових;

в)         умовні щільності розподілу складових.

Розв’язок.

а)    Використаємо    властивість    інтегральної     функції

CO     CO

,Р(оо,оо) = 1. Отже,F(x,y) = С J je-xl-2xy-4yldxdy = 1.

— CO—CO

Звідси C

 

I fe-S-Zv-^dxdy

 

Обчислимо знаменник, врахувавши, що

х1 + 2ху + 4у2 = х1 + 2ху + у2 + Зу2 =(х + у)2 + Зу2.

00      00          00        00        00

-х2-2ху-4у2-Зу2         -хг-2ху-уг

J ^-^-^dxdy= je-3y2dyje-x2-2xy-y2dx= je-3y2dyx

— ОО—00     —00    —00    —00

\e-(x+y)2d(x + y)= \e-3y2 ■^dy = ^\e-{^y>d{j3y)=

•v3

V3       V3

Тут використано, що \e-ix+y?d(x + y)= \e-"2du = -^,

— CO —CO

CO                              CO

je-i^yfd(^J3y) = \e~"2du = ^[x - інтеграли Пуассона.

 

 V3

Отже, C =      .

ж

б) Щільності розподілу складових

fl(x)= \f(x,y)dy =          \e~x2~2xy~4y2dy =   e~%1 х

CO

х   їЄ-2*У-4у2сІу = *

— ОО

Зробимо перетворення:

2          •„     2  ,.     2   „          *        ^        ^

- 2ху - 4у  = -{Лу + 2ху) = -[Лу +2-2у-- +   ] =

2     4      4

*\?     х2          х9     х1

= -[(2у + —)   ] = -(2у + —) + —.

2        4            2        4

 V3   -*2 +т ґ ~(2^) 2 V3   -/   1  Г ~(2^) 2 , х

71        Я         2

-co       -co

1±е-^2   \e-z2dz=l±e-^*2 -V^ = —

2л-      J          2л-      2л-

= —е      4 \е      2 dy = —е 4   •— \е      2 J(2v + —) =

Тут враховано, що    [е         2  d(2y + —) = \е z'' dz = -in

-CO     -CO

інтеграл Пуассона.

f2(y) = [f(x,y)dx = —   \e~x2~2xy~4y2dx =

n

— CO —CO

 

— CO

ж  J      Л"        v^r

COоскільки j>2Jz = V^ - інтеграл Пуассона.

в) Умовні щільності розподілу складових:

(p(x\y)

f(x,y)     л/3е

             zz

f2(y)

 

-x -2xy-4

y2 _     r_         -x2-2xy-y2

 ZZ     

ж-л3е-3у2

           

=    1 eW;

f1(x)

2       -0,25x2 -2xy-4y2           2

           

(p(y\x)

slTT

 

           

f(x,y)    y[3e-x2-2xy-4y2 -л3 -24TC

-0,75x2

Ж-

л3еT2

-0,25(x2+8xy+16y2)   2        -0,25(x+4y)2

4.13.12. Неперервна двомірна випадкова величина (X, Y) розподілена рівномірно всередині прямокутника з центром симетрії в початку координат і сторонами 2а та 26, які паралельні координатним осям.

Знайти:

а)         двомірну щільність ймовірності системи;

б)         щільності розподілу складових.

Розв’язок.

Щільності імовірності складових:

 1              1                           1           1

f(x) =   = —; f(y) =      = —.

(a-(-a))    2a    (b-(-b))    2b

Щільність сумісного розподілу системи:

 1      1         1

f(x, у) = f(x) ■ f(y) =    =          , оскільки складові

2а  2b     4ab системи незалежні (рис. 4.13.4).

у

Ь

a

Рис. 4.13.4.

х

4.13.13. Задана щільність сумісного розподілу неперер-вної випадкової двомірної величини (X, Y):j[x, у) = 2cosxcosy

в квадраті 0 < х < — , 0<у< —; за межами квадрату/fx ,у) =

4          4

= 0.

Знайти математичне сподівання складових.

Розв’язок.

f(x,y) = 2cosx-cosy<

 

ж

0<х<—; 40<у<

М(Х)= \xfx{x)dx; fx(x) = [f(x,y)dy.

— CO —CO

Обчислимо спочатку щільність розподілу складової Х:

/ (х) = Г 2 cos х • cos ydy = 2 cos x Г cos ydy

0          0

7T/2 cosx.

 2 cos x • sin >>   = 2 cos x-sin — = 2cosx-

0          4          2

Аналогічно отримаємо f2(y) = 42 cosy . Обчислимо математичне сподівання складової Х.

М(Х)= fx-V2cosxdx = V2~|  xcosxdx

           

 

u = x, du = dx;

cos xdx = dv,

v=f  cos xdx = sin x;

M(x) = fx- V2 cosxdx л/2

y/ltxcosxdxu = x,du = dx; cos xdx = dv, v=\cosxdx = smx;

 

xsin x

 

jsinxcfc

 f

V2

V

7t         7t

— sin—hCOSX 4       40

 

 v 2

 

л 4i  4i  л

            +—i

4    2       2

 

           

V2

^ ЖлІ2 + 4л/2 8

           

 

           

;г-2 + 8-8л/2     л- + 4-4л/24

 

, ^т.     л- + 4-4л/2     , ^т^

Очевидно,   що   М(7) =       .   Отже,   М(Х)

 

М(7)

;г +

4-4л/24.13.14. Задана двомірна щільність імовірності f(x,y) =

= С І(х2 + у2 +1)3 системи випадкових величин (X, Y). Знайти постійну С.

Розв’язок.

С\

Для знаходження постійної С використаємо властивість: dxdy

= 1.

(х2 +у2 +1)3

Для обчислення інтегралу використаємо полярні коор-динати: х = pcosp, у = pcosp, dxdy = pd(pdp, 0<р<<х>,

0 < <р < 2л . Отже,

С \\pdpdcp      _ С 2r     °r d(p2 +1)

(p2cos> + p2sin> + l)3"YJ   ^0(р2+1)3

           

C „    ,.    (p +1)

— 2;r-hm       

ж

2        />->»    -3 + 1

Звідси, C = 1Жoo

Сл-

= lim   

р^™ 2(p2 +1) 2oo

Сж

             zz1;

4.13.15. Система двох випадкових величин (X,Y) рівно-мірно розподілена в трикутнику, обмеженому прямими у = х, у = 0, х = 2. Встановити, чи величини X і Y є залежними. Знайти коефіцієнт кореляції випадкових величин Х і 7.

Розв’язок.

Система двох неперервних випадкових величин має рів-номірний розподіл в області D площини хОу, якщо щільність імовірності в цій області постійна = С: рівна нулю в решти точках площини хОу:

f(x,y)

S

"           всередині/)     С      1

де        — —

 поза/) '           s

площа області D.

На рис. 4.13.5 заштрихована область D.

 

і                       В        

2                     

           

1          у = х        \\                 

А         ,< N—^—і—^—^—-*—      с          -►

0

1          2      хРис. 4.13.5. якщо 0 < x < 2, 0 < y < x;

Отже, f(x, у) = < 2

0,   при всіх решта х і у.2 0   0          2 0

1   y3 4    3

           

Обчислимо математичні сподівання складових Х і Y:

2x        2x

M(X) = \\xf(x,y)dxdy =\\х- -dxdy = — \xdx\dy(D)      00

2    4

= —; 0    3

2          X         122      1       X3

\x-y dx = — \ x dx =   

J          J          2   3

2          x

1 2y2

t&

M(7) =   ly • -с&ф = - \dx\ ydy = -(D)            0020   2

JJ         J       J  J

2    2

zz —

0    3

Обчислимо щільності складових:

 

x          X  1     1

f (x) = [f(x, y)dy = \-dy = -

У

x _ 1

0    2

x;

отже, f (x) = —x при 0 < x < 2.

2    1•2 = 1

0    2

Аналогічно, /2(y) =   /(x, y)dx = - \dx = —x

0          20        2

при 0 < j < x.

Для того, щоб встановити, чи є випадкові величини X і Y залежними, обчислимо умовні щільності імовірностей скла-дових:

f(x, у)       1       1

(р(х | у)

{//(У | X)

           

f2(y)      2-1    2 f(x,y)     1-2     1

/ (х)      2-х    х

Оскільки,  f(x)^(p(x|y)  і  /2( )^И(У|х), то випад-кові величиниХі 7є залежними.

Обчислимо кореляційний момент/и^ = ffxy/(x, y)dxdy -M(X)M(Y) = ffxy • -dxdy

 

(D )r

 

           

4  2     1

M(X)M(Y) = -   xdx ydy         = —\x

2J0      J0         3   3     20

2     x2 T     8     1   x4

X         ЙХ

J

2    8    16    8     1

            zz         zz         9    4   4

0    9    16    9    9x        8

dx--

0        9

           

 

xv

Коефіцієнт кореляції rx

           

/^

де середні квадратичні

x     y f x2 • xt&

відхилення ax = -yjD(X)  і СГ   = у[ЩУ) . Обчислимо дисперсії складових:-2

D(X) = \\x2f(x, y)dxdy -M2(X) =[[x2 ■ -dxdy(D)

2   Ь   16   1 r 2

           

           

dx       

0        9

 x dx\dy           = -   x dx-y

00       

           

 

           

 

x4^х

2    16  16    2

            = 2       = —.

0    9    9     9

\/2

2 x

D(Y) = \\y2f(x,y)dxdy -M2(Y) =\\y2 ■ -dxdy(D)

2 3      

 

1 2     r   2        4     1 2 j3

— I dx I v wy  = — I —

2{     { 9     2{ 3

           

4    2    4    2

 

9    3    9    9

лІ2

VX=°y

 

x        4     1 2 x3        4     1   x4

dx        = -|—dx

9     6   4

9     2    3469

Обчислимо коефіцієнт кореляції3      3

2

Отже, випадкові величини X і Y залежні і тіснота зв’язку

1 між ними складає     або 0,5. 2

4.13.16. Випадкові величини ^  і £2 незалежні і мають показниковий  розподіл  з  параметрами   \   та   Л2.   Знайти

£

функцію розподілу випадкової величини п =

Розв’язок.

Оскільки випадкові величини ^  і  £2 у показниковому розподілі є додатніми, то достовірно відношення г/ буде зна-

ходитись в межах 0 <           — < 1. Нехай z - певна стала, тоді

згідно означення інтегральної функції

Fl]{z) = P{7]<z) = P

*зі     *з:

<z

 

 ' 1,   якщо z > 1;

I 0, якщо z < 0 .

Нехай 0 < z < 1. Тоді Pi ——— <z\ = РІ(£,,£7)єD), де

U+&    J

область   D   (заштрихована)   визначена   нерівностями   (рис. 4.13.6).

D = <{u,v):      <z,u >0,v = 0>,   де       v = u     -

[           u+v      J          z

рівняння граничної прямої, а розв’язок існує в напівплощині

\-z

v>u      .

z

V

Рис. 4.13.6.

u

Оскільки £j і £2 - незалежні випадкові величини, то щільність їх сумісного розподілу рівна добутку щільностей складових:

/    (u,v) = /^ (u)-f^ (v), де /, (u) = Л, -e"^",

/^ (v) = Aj • e ^v . Інтегруючи щільність розподілу /^ (w, v) по області D, маємо:Fn(z) = P< —-— < z > = \\f^2 (u, v)dudv

(D)

CO      CO

= \\\e MA2e AlVdudv = \ЛЛe Mdu  \e ^dv

\-z

z

(D)       0

u

o

-\u

w

K

\-z

oo        «(/l1Z-/l2Z+/l2)

du

o

 

z

/IjZ — AjZ + /^

Отже, і^ (z)

 

и(Я1г-Ягг+Яг)z

Є

л         

oo        (Л,-/l2)z + /l2

0,

AjZ

z<0, 0<z<l,

z>l.

(^-AJz + A 1,І

г/

£

4.13.17. Нехай £ і 7] - незалежні випадкові величини, які мають показниковий розподіл з параметром Л . Обчислити: а)

я = £;

функцію  розподілу

б)  щільність  розподілу

і

г/

в) математичне сподівання

Розв’язок.

а) Оскільки випадкові величини £ і г/ - додатні, то їх

відношення

7]

0. Оскільки fl]{u) = Ae       і fi;(v) = Ae

-Av

то з-за незалежності випадкових величин Е, і 7]

Нехай z > 0, тоді Fm (z) = Р

область D визначена нерівностями: D<(u,v): — <z,u>0,v>0>.

V

і

г/

<z

           

Р{(£;7)є£>}, де

и     1

Рівняння граничної прямої v = — = — ■ и , а розв’язок існує

Z       Z

и

в напівплощині v > — (рис. 4.13.7).

Z

Інтегруючи щільність розподілу f£n(u,v) по області D,

маємо:

$

Fa (z) = Р

 

<z

\        J

CO      CO

A2\\e-Aue-Avdudv = A2\e-Audu\e-Avdv

D

0          и

z

 

CO

Я2\[еX

\e-A4(-Av)du = A\[e

 

AV

u/

zсо       и          co        u          co        u(z+V)

= Xle-*.e-du = xle-du = xle -0

           

 

z

Z     r  ——   J     Aw(z + 1) |        z      ——

=          \e     z   d\        | =        e     z

z + 1

z

z + \

CO

           

00      z + 1

 

v

w

Рис. 4.13.7.

б) Щільність розподілу

f(o{z) = F'(B{z)

z

z + 1

(1 + z)

в) M

—  = [j—-Яе л/1е Aydxdy=\xAe ^dx-.—Ae Xydy

Л         S2

/2 - невласний інтеграл 1-го і 2-го роду.

1     -.  CO    1

І2 = \—Ae~Xydy + \—Ae~Xydy

+

оУ       \У

Очевидно, що 2-й інтеграл існує. Розглядаємо

\—Ае Xydy = lim f —Ae Xydy > Ae Xl lim f —dy

 

-л        ("1

г-уО      у

/UT4 lim InM£

Ae    lim In £=oo.

 

Отже і-а розбіжний.4.13.18. Випадкові величини ^ і £2 незалежні і рівно-мірно розподілені на відрізку [0, 1]. Знайти щільність розпо-ділу випадкової величини: г/ = ^ • £2 .

Розв’язок.

Оскільки випадкові величини ^ і £2 рівномірно розпо-ділені на відрізку [0, 1], то їхні щільності розподілу рівні /й(и) = 1, /* (v) = 1, а якщо вони і незалежні, то щільність їх

сумісного розподілу рівна   fPP(u-v) = 1-1 = 1  на 0 < w < 1;

0<v<l.

Інтегральна   функція    F (z) = P(r/ <z) = Р(^х -^2<z) =

= \\dudv, де область

D

D = {(и, v) : и ■ v < z;0 < и < 1;0 < v < l}. Очевидно, що  P(r/<z) = 0, оскільки область D пуста, Р(г/ < z) = 1 при z > 2, бо достовірно попадає вся область D. При 0<z<l (рис. 4.13.8).

 

Рис. 4.13.8.

FJz) = \\dudv = S, +S7= z-l+ \—du =z + z\— = z + zlnu

'33       3          3z

D

—аи = z + z\ —

zll         { и

z-zlnz = z(l-lnz).Отже, F (z)

0          при z < 0;

zz

z(l-lnz),     при 0 <г< 1; при z >1.

Звідси щільність розподілу

fv (z) = F'v{z) = (z - z In z)' = 1 - In z -1 = - In z.

Або

z

F (z) = z • 1 + k/w Jv = z +   -Jw = z + z\ — =

z          0          z          z

z + zlnu

z

           

z + z(lnl-lnz) = z-zlnz

 z

Або Ft](z) = z-l+\

ш/ orv = z +     — ov

 

zz

V        У

z + zlnw

z

 

z-zlnz.

4.13.19. Випадкові величини £  і £2 незалежні і мають рівномірний розподіл на відрізку [0, 1]. Знайти функцію роз-поділу випадкової величини п =

Розв’язок.

Оскільки випадкові величини рівномірно розподілені на відрізку [0, 1], то їхні щільності відповідно рівні /^ (и) = \,

/* (v) = l,     а     внаслідок     їх     незалежності     flJ(u,v) =

Vi

Отже, Fv (z) = Р£+&

<z

де значення z розби-ваються на 2 інтервали: (Див. рис. 4.13.9).

(£ = £2;£2 = 0).

 

Якщо

V0

0<z <2

Рис. 4.13.9.

V2

1          1-Z

то

Fv(z) = iidudv = \dv \du

0          0

 

1-z        1-z   2

 

VZ 1-21

Cl V = I

vz         z     v2

dv

z

2(1 - z)

 

1-z

w

z

Сш= 1- 1

1          1-z     3z-1

= 1       =         

0          2z        2z

Якщо — < z < 1, то1-z

1          z          1

F7(z) = 1-JJ«u<«ft; = 1-J«u< J dv = 1-j"0       0w(1-z)             1-z   w

            du = 1 

z          z      2

Якщо z > 1, то F (z) = 1.

            z

4.13.20. Нехай t; і Г) - незалежні випадкові величини, які мають показниковий розподіл з параметром Л . Знайти функ-

ї + 1

Розв’язок.

Оскільки у показниковому законі розподілу випадкові ве-

Ї + -П  7]

личини с і П додатні, то у = = 1 + — > 1. Згідно озна-

2(1 - z) 3z-l

Fv (z)

2z

L

Остаточно,

цію розподілу випадкової величини

якщо z < 1;

1 якщо 0 < z <    ;якщо 1 < z < 1;

£

2 якщо z > 1.

 

чення,   інтегральна   функція   рівна:    F

\1 + 1<

£

тому

 

Fr        < z \ = 0   при   z < 1.  При   z > 1    F,        <

де заштрихована область D визначена нерів-

ностями (рис. 4.13.10): D = \(u,v)

u

U + V

<z,u >0,v>0

V

\   \   \   \   \

v = u(z - 1)

 

Рис. 4.13.10.

u

Ml

Сумісна щільність розподілу незалежних величин Е, і г/ рівна добутку імовірностей складових:

/(£, г]) = /^ (и) ■ fv (v) = Ae~lu ■ Ae~Av.

Інтегруючи сумісну щільність розподілу по області D отримуємо:

Fv(z) = Р(у < z) = Р\—   < z   = А2 [[e^e^dudv =

£

J          D

u(z-1)

j  ]e^d(-Av)u(z-1) lu(z-1)

0 a(z-1)

b = AJe-*'(1-e-*('-1))du

-Av

 

A2Je-Mdu  Je-Xvdv =A2Je"du

 

0

00        00

= X\e-*du - k\e*e-*Wdu = \e^d(-Au) - A\e^du

00= 1 —

0          z

0        1

+

OD      Z

CO

= e

-hi

\e-Auzd(-Auz)=1 + -e-Au24.13.21. В першому квадранті задана функція розподілу системи двох випадкових величин:   F(x, у) = 1 + 2 х - 2~у +

+ 2~х~у. Обчислити: а) двомірну щільність імовірності сис-теми; б) імовірність попадання випадкової точки (X, Y) в трикутник з вершинами A (1; 3), В (3; 3), С (2; 8).

Розв’язок.

а) Двомірну щільність імовірності (щільність сумісного розподілу) обчислимо згідно формули:

дхду

 d2F(x, у)    д2 (1 + 2х - 2у + 2х~у )

f(x, у) =           =          ;

дхдуdF(x,y)     -,.      -,-V     d2F(x, y)       2   x-v

                        =-ln2(2    +2    J);                    =ln 2-2    J.

&         cbtdy

Отже, f(x,y) = Wl-Tx-y .

б)   Імовірність   попадання   випадкової  точки   (X,   Y)   в область D визначається рівністю:

P[(X,Y) GD]= \\f{x,y)dxdy.

D

Область D – рівнобедрений трикутник ABC (рис.4.13.11). C (2, 8)

 A (1, 3)       B (3, 3)2—Г 1       2

Т

~~I      1         

3       4 Рис. 4.13.11.

х

Для визначення меж області D = D1 + D2 визначимо рівняння сторін AC і CB, як рівняння прямих, що проходять через дві точки:x-Xj      у-Уі

x2 - Xj     y2 - yx

АС:

x-x,       у-Ул        x-1     v-3

—»      =

            ^—      ^з       

xc-xA     yc-yA      2-1     8-3

Рівняння AC: y = 5x - 2.

Аналогічно знаходимо рівняння CB: у = 18 - 5х.

Отже,

Р(х,y)eD = \\f(x,y)dxdy + \\f(x,y)dxdy = In22(7j + /2) •

2          5x-2     2

Il = [[2~x2~ydxdy=\2~xdx f 2^^ = jVxdxxD

f2"-v^(-y)=J2"1

In 2

X

 

           

ln2

2 y In 23

dx = — J2-x(2-3-2-<5x-2))dx

1  \2

\l xd(-x)

+

In 2

jYxdx-22jY6xdx

 

i     22    2~6x

+         

2   2-3   In21  

In2 2

1    2 x 2 3   In 2

l

           

Л]т^(-6х)In 2 

— (2 ' -2 2) + -(2 12-2 6)

In2 21+

           

1          1

 +

3-21

In2 2

11       

4    1

3   2 5

+

3

18-5*  3

I2 = f 2 xdx  \lydy=\ 2 x   f 2 yd(-y)

           

3

18-5Ж

 

y

I2In 218-5x

dxIn 2

\l-x(2-' -25x-K)dx

3          i     31

2^

• 24x2

           

 

In 21

 

~20

1    f 3       1

—т     ^ + —w In 2^2      2

Отже,

In2 2

P(x,y) = In2 2-

25        5

            T +      rr

3-2      3-2

йбс•2~x2

In 2

            (2    -2   )—— (2   -2 )

~3        '        ~20         '

3       9

 +

1 Г 1

—9      J          ГГ^-FT

In 2   3-2      3-2       2      2

           

           

4.13.22. Задані норми прибутків акцій видів А і Б, й імо-вірності станів економіки. Визначити кореляцію норм прибут-ів цих акцій. Дані подано в таблиці

Стан економіки         Імовірність Рі Норма прибутку

 

           

            R Аі (А)          R 2i (Б)

1. Значне піднесення           0,1       303      61

2. Незначне піднесення       0,3       97        65

3. Стагнація   0,3       69        68

4. Незначне падіння 0,2       66        95

5. Значне падіння     0,1       63        165

Коефіцієнт кореляції  pu між нормами прибутків акцій двох видів визначається за формулою:

п

(=1

 

Ри

а\а2

де сподівані норми прибутків m1 і m2 визначаються за формулами:

т\ = X! PiR\i  ;  ^2 = X! #^ ;

г=1

г=1середні квадратичні відхилення ах і а2 визначаються за фор-мулами:

\

^piіRц -m)2;

i=\

а2 =д/D

\

^piіRІi -m)2   ■

i=\

Визначимо   всі   необхідні   величини   для   розглянутого прикладу :

mі =^piRц = 303-0,1 + 97-0,3 + 69-0,3 + 66-0,2 + 63-0,1 =

i=\

= 30,3 + 29,1 + 20,7 + 13,2 + 6,3 = 99,6;m2 = ^piR2i = 61-0,1 + 65-0,2 + 68-0,3 + 95-0,3 + 165-0,1 =

i=\

= 84,5 ;

D = 3032-0,1 + 972-0,3 + 602-0,3 + 662-0,2 + 632-0,1 -

-          (99,6)2 = = 4779,84;

D = 612-0,1 + 652-0,2 + 682-0,3 + 952-0,3 +1652-0,1 -

-          (84,5)2 = 894,05;

o-j = д/D = д/4779,84 = 69,14;

а2 = д/D^ = л/894.05 = 29,9 .

Підставивши числові дані визначимо коефіцієнт кореляції між нормами прибутків акцій двох видів:

0,1(303 - 99,6)(61 - 84,5) + 0,3(97 - 99,6)(65 - 84,5) + 0,3(69 - 99,6)(68 - 84,5) +

Р\г =   

69,14-29,9

0,1(303 - 99,6X61 - 84,5) + 0,3(97 - 99,6)(65 - 84,5) + 0,3(69 - 99,6)(68 - 84,5) +

69,14-29,9

 -0,3272.

+ 0,2(66 - 99,6)(95 - 84,5) + 0,1(63 - 99,6)(165 - 84,5)       - 676,5

69,14-29,9