4.13. Система двох випадкових величин


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Випадкові величини, можливі значення яких визначають-ся двома, трьома, ... n числами називаються відповідно двомірними, трьохмірними, ... n-мірними. Двомірна випад-кова величина (X, Y) визначається двома складовими або компонентами Х і Y, що утворюють систему двох випадкових величин.

Геометрична інтерпретація двомірної величини – випад-кова точка М(Х; Y) на площині ХОY або як випадковий вектор

ОМ . Якщо складові Х і Y – дискретні, то двомірна величина є дискретною, якщо складові неперервні, то – неперервною.

Законом розподілу імовірностей двомірної дискретної ви-падкової величини називають відповідність пар чисел ( xi ,yj )

і їх імовірностей p(xi , y j ) (і = 1, 2, ...., n; j = 1, 2, ..., m). Закон

розподілу задають у вигляді: а) аналітично; б) таблиці з по-двійним входом (табл. 4.13.1).

Таблиця 4.13.1.

Y         X

 

            Х\        %2       …        xі         …        x„

У\        p(x1, y1)          p(x2, y1)          …        p(xі, y1)           …        p(xn, y1)

…        …        …        …        …        …        …

            p(x1, yj)           p(x2, yj)           …        p(xі, yj)            …        p(xn, yj)

…        …        …        …        …        …        …

УYYl   p(x1, ym)         p(x2, ym)         …        p(xі, ym)          …        p(xn, ym)

Для того, щоб знайти імовірність P(X = xi ), треба про-

сумувати імовірності “стовпця xі”, P(Y = yj ) – імовірності

“лінійки yj”.

Події (X = xі, Y = yj) (і = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m) ут-ворюють повну групу, тому сума імовірностей, що розміщені у всіх клітках таблиці, рівна одиниці.

Інтегральною або функцією розподілу двомірної випадкової величини (X, Y) називають функцію F(x, y), яка визначає для кожної пари чисел (x, y) імовірність того, що Хнабуде значення, менше х, і при цьому Y набуде значення,

менше.у: F(x,y) = P(X <x,Y <у)(рис. 4.13.1)            (4.13.1).

Функція розподілу має такі властивості:

1.         Значення функції задовольняють подвійній нерівності 0<F(x,y)<l.

2.         Функція розподілу є неспадною функцією по кожній змінній, тобто F(x2 ,y)>F(x1,y), якщо х2 > хх;   F(x, у2)>

> F(x,ух) , якщо у2 > ух.

 

Рис. 4.13.1.

3.         Виконуються граничні співвідношення: 1) F(-cc,y) = = 0 ; 2) F(x,-cc) = 0; 3) F(-oo,-oo) = 0; F(oo, oo) = 1.

4.         а) При y = oo функція розподілу системи стає функ-цією розподілу складової Х: F(x, oo) = Fx (х).

б) При х = оо функція розподілу системи стає функцією розподілу складової Y: F(co,y) = F2 (у) .

Використовуючи функцію розподілу системи, можна знайти імовірність попадання випадкової точки (X, Y) в на-півсмугу Xj < X < х2 і Y < y (рис. 4.13.2а):

Р(хх <Х <x2,Y <у) = F(x2,y)-F(xx,y) (4.13.2) або в

напівсмугу Х <хі ух <Y <у2 (рис. 4.13.2б):

Р{Х <х,ух <Y <y2) = F(x,y2)-F(x,yx)            (4.13.3).

Y

 

            k          Рис. 4.13.2а.

i           ^хх     

y1                   

0          X         X

Рис. 4.13.2б.

Y

У2

A (x1, y2)

B (x2, y2)

y1

C (x1,)1)

X1

           

-

D (x2, y1)

—►

x2   X

Рис. 4.13.3.

Імовірність попадання випадкової точки (X, Y) в прямо-кутник X1 < X < х2; у1 <Y <у2 (рис. 4.13.3) рівна:

Р(х1 <Х <х2,у1 <Y < у2) = [F(x2, у2)- F(x1, у2]-

-[F(x2,y1)-F(x1,y1)]   (4.13.4).

Щільністю сумісного розподілу імовірностей або дифе-ренціальною функцією системи неперервної двомірної ви-падкової величини називають другу змішану похідну від функції розподілу:

 d2F(x, у)

f(x,y) =            (4.13.5).

дхду

Геометрично цю функцію можна розглядати як поверх-ню, яку називають поверхнею розподілу. Якщо відома щіль-ність сумісного розподілу f(x, у), то інтегральну функцію F(x, у) обчислюють за формулою:

У   *

F(x,y) = f \f(x,y)dxdy (4.13.6), яка безпосередньо ви-

- CO-CO

пливає з означення щільності.

Імовірність попадання випадкової точки (х, у) в область D рівна подвійному інтегралу по області D від функції(х, у):

P((X,Y)<^D)=\\f(x,y)dxdy       (4.13.7).

(D)

Геометрично цю формулу можна розглядати як об’єм ті¬ла, обмеженого зверху поверхнею z = f(x, у), в основі якого лежить проекція цієї поверхні на площину хОу.

Властивості двомірної щільності імовірності:

1.         Двомірна щільність імовірності невід’ємна:

f(x,y)>0.

2.         Подвійний невласний інтеграл з нескінченними межа-

ми від двомірної щільності рівний 1:

Г [f(x,y)dxdy = 1.

Звідси випливає, що якщо всі можливі значення (x, y) на-лежать обмеженій області D, то

∫∫ f (x, y)dxdy =1.

(D)

Щільність розподілу одномірної випадкової величини рів-на невласному інтегралу з нескінченими межами від щіль-ності сумісного розподілу системи з змінною інтегрування, що відповідає другій складовій:

 dF(x)     г

f(x) =1      = \f(x,y)dy   (4.13.8),

dx        J

-co

f2 (y) =2( ) =     /j.,y)fe            (4.13.9).

dy        J

 -co

Умовні закони розподілу імовірностей складових.

Нехай двомірна випадкова величина (х, у) дискретна з

можливими значеннями складових: х1, х2, …, х„; у1,у2, …, ут.

Умовним розподілом  складової X при  Y = у- називають

сукупність умовних імовірностей р(х1|у}), р(х2|У]), …, р(х„|У]),

обчислених за умови, що подія Y = у- (стала для всіх значень

р(х ,у = const)

X) уже відбулася: р(хі | у ) =  (/' = 1, 2, …, п)

dF2 (y)

CO

j        p(yj = const) (4.13.10).

Аналогічно знаходять умовні закони розподілу складової

Y:

p(yj | xi = const) = p(xi = const, yj ) / p(xi )        (4.13.11). Сума імовірностей умовного розподілу дорівнює 1:

nn

∑ p(xi | yj ) = ∑ p(xi , yj ) / p(yj ) = p(yj )/ p(yj ) =1 ;

i=1       i=1

m

∑ p(yj | xi ) =1 .

j=1

Цю властивість розподілу використовують для контролю обчислень.Нехай (х, у) - неперервна двомірна випадкова величина. Умовною щільністю <р(х\у) розподілу складової X при

даному значенні Y = у називають відношення щільності суміс-ного розподілу fix, у) системи (х, у) до щільності розподілу /2(у) складової Y:

CO

(р(х\у) = f(x,y)l f2(y) = f(x,y)l \f(x,y)dx (4.13.12).

— CO

Умовна щільність складової Y при даному значенні X = х відповідно рівна:

CO

ц/(у\х) = f{x,y)lfl(x) = f(x,y)/ \f(x,y)dy (4.13.13).

Отже, закон розподілу системи випадкових величин рів-ний добутку закону розподілу одної з складових на умовний закон розподілу другої складової:

f(x,y) = f2(y)(p(x\y), f(x,y) = f1(x)y/(y\x) (4.13.14).

Умовні щільності мають такі ж властивості, як і будь-які щільності:

CO

(р(х\у)>0,   \(p(x\y)dx = l;

-co

CO

ц/(у I x) > 0 ,    \y/(y | x)dy = 1.

 

Рівномірним називають розподіл двомірної неперервної випадкової величини (X, Y), якщо в області, якій належать всі можливі значення (х, у), щільність сумісного розподілу імо-вірностей зберігає стале значення.

Умовним математичним сподіванням дискретної ви-падкової величини Y при X = х (х - певне можливе значення X) називають добуток можливих значень Y на їх умовні імовірності:

т

M(Y | X = х) = ^УзР^У} I х) (4-1315), відповідноM(X\Y = y) = ^xjp(xj\y)           (4.13.16).

z'=l

Умовне математичне сподівання неперервної випадкової величини Y при X = х рівна невласному інтегралу з нескін-ченними межами інтегрування від добутку змінної у на умовну щільність випадкової величини ГприХ = х:

CO

M(Y\X = х)= \yy/(y\x)dy         (4.13.17).

-co

CO

Відповідно M(X\Y = y)= \xcp(x\y)dx      (4.13.18).

—CO

Умовне математичне сподівання M(Y\х) як функцію від х: M(Y | х) = f(x) називають функцією регресії Y на Х. Відповідно М(Х | у) = (р(у) - функція регресії Х на Y.

Числові характеристики неперервної системи двох ви-падкових величин

Математичні сподівання складових Х і Y неперервної двомірної випадкової величини (Х, Y) рівні:

CO      CO

М(Х)= \xfx(x)dx (4.13.19); M(Y)= \yf2(y)dy (4.13.20);

-co       -co

M(X)= \\xf(x,y)dxdy (4.13.21); M(Y) = \\yf{x,y)dxdy

(D)       (D)

(4.13.22),

де D - область можливих значень Х і Y. Дисперсії складових Х і Грівні:

GO      GO

D(X)= \[ x-M(X) ] 2fl(x)dx= \x2fl(x)dx- [ M(X)f (4.13.23);

— GO —GO

GO      GO

D(Y)= \[y-M(Y)]2f2(y)dy= \y2f2(y)dy-[M(Y)]2 (4.13.24);

— GO —GO

D(X) = \\[x -M(X)f f(x, y)dxdy = \\x2f(x, y)dxdy - [М(Х)]2

(D)       (D)

(4.13.25);D(Y) = \\[y-M(Y)f f(x,y)dxdy = \\y2f(x,y)dxdy-[M(Y)f

(D)       (D)

(4.13.26).

Залежні і незалежні випадкові величини.

Теорема. Для того, щоб випадкові величини Х і Y були

незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу

системи (X, Y) була рівна добутку функцій розподілу скла-

дових: F(x,y) = F1(x)-F2(y)   (4.13.27).

Наслідок. Для того, щоб неперервні випадкові величини Х і Гбули незалежними, необхідно і достатньо, щоб щільність сумісного розподілу системи (X, Y) була рівна добутку щіль-ностей розподілу складових: f(x,y) = fl(x)-f2(y)  (4.13.28).

Початковим моментом vk s порядку k + s системи (Х, Y)

називають математичне сподівання добутку XkYs: vks =M[XkYs].

Частковим випадком є v10 =М(Х), v0l =M(Y).

Центральним моментом /uk s порядку к + s системи (Х,

Y) називають математичне сподівання добутку відхилень від-повідно £-го і 5-го ступенів:

jUks =M\X-M(X)~f -[Y-M(Y)]S}     (4.13.29).

В часткових випадках jux 0 = М[Х -М(Х)] = 0, /u0l =M[Y-M(Y)] = 0, /и20 =M[X-M(X)f =D(X), /и0 2 = M[Y -M(Y)f = D(Y).

Кореляційним моментом /л^ системи (X, Y) називають центральний момент juxi порядку 1 + 1, що рівний мате-матичному сподіванню добутку відхилень цих величин:

Мху =M{[X-M(X)][Y-M(Y)]}          (4.13.30).

Для дискретних величин формула набуває вигляду:n     m

ju   =^^[xt -М{Х)~\[У] ~^(Х)\р(хг^У])    (4.13.31), для неперервних величин -

 

xy

м.

 

\ \[x -M{X)][y - M(Y)]f(x, y)dxdy

 

= f \xyf(x,y)dxdy-M(X)M(Y)   (4.13.32).

Теорема 1. Кореляційний момент двох незалежних випад-кових величин Х і Грівний нулю.

Теорема 2. Абсолютна величина кореляційного моменту двох випадкових величин Х і Y не перевищує середнє геомет-ричне їх дисперсій:

\/u\<^DxDy .

Коефіцієнтом кореляції величин Х і Y називають відно-шення кореляційного моменту до добутку середніх квадра-тичних відхилень цих величин.

Теорема 3. Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує 1: \г'  \< 1.

Дві випадкові величини є корельованими, якщо їх коре-ляційний момент відмінний від нуля.

Дві випадкові величини називають некорельованими, як-що їх кореляційний момент рівний нулю.

Дві корельовані величини є також і залежними; якщо дві величини залежні, то вони можуть бути як корельованими, так і некорельованими. З незалежності двох величин випливає їх некорельованість, але з некорельованості ще не можна зро-бити висновок про незалежність цих величин.

Для нормально розподілених складових двомірної випад-кової величини з некорельованості цих величин випливає їх незалежність, так що поняття незалежності і некорельованості для них рівнозначні.