Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

1.1.1. Нехай А, В, С – довільні випадкові події. Вико-ристовуючи поняття протилежної події, означення суми та добутку подій, записати вирази для таких подій:

а)         D – відбулась тільки подія С;

б)         E – відбулись події В і С, а подія А не відбулась;

в)         K – не відбулось жодної з цих подій;

г)         L – відбулись всі три події;

д)         F – відбулось не більше двох з цих подій;

е)         M – відбулись тільки дві події;

є) N – відбулось не менше двох з цих подій;

ж)        O – відбулась хоча б одна з цих подій;

з)         S – відбулось не більше однієї з цих подій;

и) T – не відбулася хоча б одна з цих подій.

Розв’язок.

а)         D = ABC ;

б)         E = ABC

в)         K = ABC ;

г)         L = ABC;

д)         Дана подія F є протилежною подією до такої: відбу-

лись усі три події – АВС, тобто F = ABC ;

е)         М = АВС + АВС + АВС = (АВ+ АС + ВС)- АВС;

є) N = ABC + ABC + ABC + ABC = AB+ AC + BC;

ж)        О = А+ В+С = АВС або O = K ;

з)         Т = А+ В+С = АВС або T = L .

и) подія S – “відбулось не більше однієї з цих подій”

означає суму несумісних подій: не відбулась жодна подія –

ABC і відбулась одна з подій А, В, С, що є теж сумою несумісних подій – ABC + AВC + ABC . Дана подія S = ABC + АBC + AВC + ABС є протилежною до події: відбулись дві і три події –   АВС + АBС + AВС + АВС .Отже,

ABC + АBC + AВC + ABС = АВC + АBС + AВС + АВС .

1.1.2.   З’ясувати, сумісні чи несумісні події:

а) АхВ і АхВ ; б)АВіА+В;

в) А+В іА+В. Розв’язок.

а)         Події С = АВ і D = АВ несумісні, оскільки подія С

полягає у настанні події В, а подія D заперечує її настання.

Тому події С і D одночасно відбуватися не можуть, а отже, є

несумісними.

б)         Оскільки сума подій А + В = АВ + АВ + АВ містить

подію АВ , то події А х В і А + В є сумісними.

в)         Дані суми подій Е = А + В = АхВ + АхВ + АхВ =

=АхВ+АхВ+АхВ   і F=А+В=АхВ+АхВ+АхВ

містять одні і ті ж події АхВ, АхВ. Отже, події Е і F є сумісними.

1.1.3.   Вказати, які з наведених подій утворюють повну

групу подій:

а)         АхВ і АхВ;

б)         А х В і А х В ;

в)         А + В і А+В ;

г)         А + В і АТВ-

д)         А + В , А+В, АхВ, АхВ .

Розв’язок.

Якщо є дві події А і В, то повну групу подій утворить

сума таких єдиноможливих несумісних подій: АхВ , АхВ, АхВ, АхВ . Тому, події:

а) А х В і А х В не утворюють повну групу подій;б)        А х В і А х В не утворюють повну групу подій;

в)         сума подій F і Е: F = A + B = AxB+AxB + AxB і

Е = А + В = АхВ + АхВ + АхВ    містить    всю   сукупність несумісних подій, що утворює повну групу подій;

г)         події F = А + В і F = А + В = АхВ є протилежними і

утворюють повну групу подій;

д)         розпишемо суми подій:

А + В = АВ + АВ + АВ = АВ + АВ + АВ ;

A+В=АВ+АВ+АВ=АВ+АВ+АВ. Отже дані події утворюють повну групу подій.

1.1.4.   Довести,   що   подія   (А + В)х (А +В)х(А + В)х

х(А+В)- неможлива. Розв’язок.

(А + В) х (А + В) х (А + В) х (A + В) = [(А + В) х (A + В )]х

Х[(А+В)(А + В)]=(АХА+АХВ+ВХА+ВХВ)Х

х(АхА + АхВ+ВхА + ВхВ) = (АхВ+АхВ)х

х(АхВ+АхВ) = АхВхАхВ+АхВхАхВ + ВхАхАхВ +

+ ВхАхАхВ = АхАхВ+АхВхВ+АхВхВ+АхАхВ - це сума неможливих подій і є подією неможливою.

1.1.5.   Довести, що події (А + В) х (А + В) + (А + В) х

х(А+В)  і  (А + В)х(А +В)х(А + В) + (А + В)  - досто-

вірні.

Розв’язок.

Виконаємо відповідні дії над подіями:

(А + В) х (А + В) + (А + В) х (А + В) = (A х A + A х В) + + ВхА+ВхВ) + (АхА+АхВ +ВхА+ВхВ) = * Оскільки АхА і В х В - події неможливі, то*=AxB+AxB+AxB+AxB=Q - повна група подій, а, отже, подія достовірна, оскільки одна з подій повної групи, обов’язково відбудеться.

(А + В) х (А + В) х (А + В ) + (А + В ) = (А + В) х (A х A + + АхВ+АхВ + ВхВ) + (А+В) = АхАхВ+АхАхВ +

+ ВхАхВ+ВхАхВ + (А+В) = АВ + (А+В) = *

Але сума подій

А + В= АхВ+ АхВ+ АхВ = АхВ+ АхВ+ АхВ.

Остаточно даний вираз буде =*АхВ + АхВ + АхВ +

+ AxB = Q - повна група подій. Отже, дана подія - досто-вірна.

1.1.6. Яка умова сумісності подій А + В,   А+В,   А + С,

B+C1

Розв’язок.

Запишемо добуток подій:

(А + В) х (А +В) х (А + С) х (В +С) = [(А + В)(А +В)\х х[(А + С)х(В +С)]=\АА +АВ +ВА+ВВ))х х[АВ +АС +СВ +СС)=(АВ +ВА)(АВ +АС +СВ) = = АВхАВ+АВх AC + АВхСВ +ВАхАВ +ВАх AC +

+ ВАхСВ =АВ + ABC + ABC = АВ+АВ(С+С) =

= АВ + ABQ. = АВ + АВ= АВ.

Умовою сумісності даних подій є сумісність подій А  і

В .

1.1.7. Знайти випадкову подію Х з рівності:

(А + Х)х(А+Х) + Х + А + Х + А=В. Розв’язок. Виразимо через протилежні події суми подій:X + A = XxA, X + A=XxA =XxA і підставимо їх у

ліву частину рівняння:

(A + Х)(А +Х) + ХхА+ХхА = АхА+АхХ + ХхА +

+ ХхХ + Хх(А+А) = Х(А + А) + X + Х(А +А) = XQ. =

= х = в.

Отже, X = В .

1.1.8. Довести, що для будь-яких подій А і В виконуються такі рівності:

а)         А + В = АхВ ;

б)         АхВ = А+В .

Розв’язок.

а)         Подія А +В полягає в появі хоч би однієї з подій А чи В,

тому протилежною подією до даної є непоява подій А і В,

отже А + В = АВ .

Це можливо довести другим способом.

Згідно  означення   А + В = АВ +А В + АВ .  Тоді  проти-

лежною подією А + В до даної є подія АВ , яка доповнює несумісні події АВ, АВ, АВ до повної групи подій.

б)         Подія АВ полягає в одночасній появі подій А і В, отже

протилежною подією до даної є непоява хоч би однієї з подій

А і В, тобто сума подій А+В . Отже, АВ = A +В .

Другий спосіб доведення. Події АВ,АВ,АВ,АВ  утво-рюють повну групу подій. Тоді протилежною подією до даної

АВ є АВ, АВ, АВ : АВ = АВ + АВ + АВ = А+В .