Задачі
1.1.1. Нехай А, В, С – довільні випадкові події. Вико-ристовуючи поняття протилежної події, означення суми та добутку подій, записати вирази для таких подій:
а) D – відбулась тільки подія С;
б) E – відбулись події В і С, а подія А не відбулась;
в) K – не відбулось жодної з цих подій;
г) L – відбулись всі три події;
д) F – відбулось не більше двох з цих подій;
е) M – відбулись тільки дві події;
є) N – відбулось не менше двох з цих подій;
ж) O – відбулась хоча б одна з цих подій;
з) S – відбулось не більше однієї з цих подій;
и) T – не відбулася хоча б одна з цих подій.
Розв’язок.
а) D = ABC ;
б) E = ABC
в) K = ABC ;
г) L = ABC;
д) Дана подія F є протилежною подією до такої: відбу-
лись усі три події – АВС, тобто F = ABC ;
е) М = АВС + АВС + АВС = (АВ+ АС + ВС)- АВС;
є) N = ABC + ABC + ABC + ABC = AB+ AC + BC;
ж) О = А+ В+С = АВС або O = K ;
з) Т = А+ В+С = АВС або T = L .
и) подія S – “відбулось не більше однієї з цих подій”
означає суму несумісних подій: не відбулась жодна подія –
ABC і відбулась одна з подій А, В, С, що є теж сумою несумісних подій – ABC + AВC + ABC . Дана подія S = ABC + АBC + AВC + ABС є протилежною до події: відбулись дві і три події – АВС + АBС + AВС + АВС .Отже,
ABC + АBC + AВC + ABС = АВC + АBС + AВС + АВС .
1.1.2. З’ясувати, сумісні чи несумісні події:
а) АхВ і АхВ ; б)АВіА+В;
в) А+В іА+В. Розв’язок.
а) Події С = АВ і D = АВ несумісні, оскільки подія С
полягає у настанні події В, а подія D заперечує її настання.
Тому події С і D одночасно відбуватися не можуть, а отже, є
несумісними.
б) Оскільки сума подій А + В = АВ + АВ + АВ містить
подію АВ , то події А х В і А + В є сумісними.
в) Дані суми подій Е = А + В = АхВ + АхВ + АхВ =
=АхВ+АхВ+АхВ і F=А+В=АхВ+АхВ+АхВ
містять одні і ті ж події АхВ, АхВ. Отже, події Е і F є сумісними.
1.1.3. Вказати, які з наведених подій утворюють повну
групу подій:
а) АхВ і АхВ;
б) А х В і А х В ;
в) А + В і А+В ;
г) А + В і АТВ-
д) А + В , А+В, АхВ, АхВ .
Розв’язок.
Якщо є дві події А і В, то повну групу подій утворить
сума таких єдиноможливих несумісних подій: АхВ , АхВ, АхВ, АхВ . Тому, події:
а) А х В і А х В не утворюють повну групу подій;б) А х В і А х В не утворюють повну групу подій;
в) сума подій F і Е: F = A + B = AxB+AxB + AxB і
Е = А + В = АхВ + АхВ + АхВ містить всю сукупність несумісних подій, що утворює повну групу подій;
г) події F = А + В і F = А + В = АхВ є протилежними і
утворюють повну групу подій;
д) розпишемо суми подій:
А + В = АВ + АВ + АВ = АВ + АВ + АВ ;
A+В=АВ+АВ+АВ=АВ+АВ+АВ. Отже дані події утворюють повну групу подій.
1.1.4. Довести, що подія (А + В)х (А +В)х(А + В)х
х(А+В)- неможлива. Розв’язок.
(А + В) х (А + В) х (А + В) х (A + В) = [(А + В) х (A + В )]х
Х[(А+В)(А + В)]=(АХА+АХВ+ВХА+ВХВ)Х
х(АхА + АхВ+ВхА + ВхВ) = (АхВ+АхВ)х
х(АхВ+АхВ) = АхВхАхВ+АхВхАхВ + ВхАхАхВ +
+ ВхАхАхВ = АхАхВ+АхВхВ+АхВхВ+АхАхВ - це сума неможливих подій і є подією неможливою.
1.1.5. Довести, що події (А + В) х (А + В) + (А + В) х
х(А+В) і (А + В)х(А +В)х(А + В) + (А + В) - досто-
вірні.
Розв’язок.
Виконаємо відповідні дії над подіями:
(А + В) х (А + В) + (А + В) х (А + В) = (A х A + A х В) + + ВхА+ВхВ) + (АхА+АхВ +ВхА+ВхВ) = * Оскільки АхА і В х В - події неможливі, то*=AxB+AxB+AxB+AxB=Q - повна група подій, а, отже, подія достовірна, оскільки одна з подій повної групи, обов’язково відбудеться.
(А + В) х (А + В) х (А + В ) + (А + В ) = (А + В) х (A х A + + АхВ+АхВ + ВхВ) + (А+В) = АхАхВ+АхАхВ +
+ ВхАхВ+ВхАхВ + (А+В) = АВ + (А+В) = *
Але сума подій
А + В= АхВ+ АхВ+ АхВ = АхВ+ АхВ+ АхВ.
Остаточно даний вираз буде =*АхВ + АхВ + АхВ +
+ AxB = Q - повна група подій. Отже, дана подія - досто-вірна.
1.1.6. Яка умова сумісності подій А + В, А+В, А + С,
B+C1
Розв’язок.
Запишемо добуток подій:
(А + В) х (А +В) х (А + С) х (В +С) = [(А + В)(А +В)\х х[(А + С)х(В +С)]=\АА +АВ +ВА+ВВ))х х[АВ +АС +СВ +СС)=(АВ +ВА)(АВ +АС +СВ) = = АВхАВ+АВх AC + АВхСВ +ВАхАВ +ВАх AC +
+ ВАхСВ =АВ + ABC + ABC = АВ+АВ(С+С) =
= АВ + ABQ. = АВ + АВ= АВ.
Умовою сумісності даних подій є сумісність подій А і
В .
1.1.7. Знайти випадкову подію Х з рівності:
(А + Х)х(А+Х) + Х + А + Х + А=В. Розв’язок. Виразимо через протилежні події суми подій:X + A = XxA, X + A=XxA =XxA і підставимо їх у
ліву частину рівняння:
(A + Х)(А +Х) + ХхА+ХхА = АхА+АхХ + ХхА +
+ ХхХ + Хх(А+А) = Х(А + А) + X + Х(А +А) = XQ. =
= х = в.
Отже, X = В .
1.1.8. Довести, що для будь-яких подій А і В виконуються такі рівності:
а) А + В = АхВ ;
б) АхВ = А+В .
Розв’язок.
а) Подія А +В полягає в появі хоч би однієї з подій А чи В,
тому протилежною подією до даної є непоява подій А і В,
отже А + В = АВ .
Це можливо довести другим способом.
Згідно означення А + В = АВ +А В + АВ . Тоді проти-
лежною подією А + В до даної є подія АВ , яка доповнює несумісні події АВ, АВ, АВ до повної групи подій.
б) Подія АВ полягає в одночасній появі подій А і В, отже
протилежною подією до даної є непоява хоч би однієї з подій
А і В, тобто сума подій А+В . Отже, АВ = A +В .
Другий спосіб доведення. Події АВ,АВ,АВ,АВ утво-рюють повну групу подій. Тоді протилежною подією до даної
АВ є АВ, АВ, АВ : АВ = АВ + АВ + АВ = А+В .