Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.12.1. Задані щільності рівномірно розподілених неза-лежних випадкових величин X і Y: fix) = 1 в інтервалі (0, 1), поза ним/і(л:) = 0; f2(y) = 1 в інтервалі (0, 1), поза ним/2(у) = 0. Знайти функцію розподілу випадкової величини Z = X + Y. Побудувати графік щільності розподілу g(z).

Розв’язок.

Можливі значення випадкової точки (X, Y) розташовані в квадраті ОАВС з сторонами 0 < x <l, 0 <j< 1. За означенням інтегральної функції розподілу F(z) = P(Z < z) = = Р(Х + Y < z) (рис. 4.12.1).

Нерівність х + у < z задовольняється лише для точок, що лежать нижче прямої х + у = z в квадраті ОАВС, яка відтинає на осях х і у відрізки, що рівні z(x = 0, у = z; у = 0, х = z).

Оскільки, згідно умовиХі Гнезалежні, то

F(z) = f f/ (x)f2 (y)dxdy = f f 1 • IdxdyUdxdy = S ,

(S)       (S)       (S)де S – частина площі квадрату OABC, що лежить нижче прямої x + y = z, а тому залежить від z. Всі значення z розби-вають на 4 інтервали.Якщо z≤0 , то S = 0, тобто F(z) = 0.

z

            Якщо 0 < z < 1, то F(z) = SΔODE Якщо 1 < z < 2, то

нв2

F(Z) = SOAHKC = 1    -SAHBK  = 1           — = * .

HB = BK, HB =\- AH =\- AF =\- (z -\) = 2 - z.

(2-z)2

* = 1 -Якщо z > 2, то F(z) = SOABC =1-1 = 1.D z

 

0      z     E   1C           2     х

Рис. 4.12.1

Отже, інтегральна функція така:

0>        якщо z < 0;

F(z) = <

z212,   якщо 0<z<l;

l-(2-z)2/2 якщо 1<г<2;

\           якщо z > 2.

Оскільки g(z) = F'(z), то

0,         якщо z < 0;

z          якщо 0 < z < 1;

g(z) = ^   '

2 - z,      якщо 1 < z < 2;

0          якщо z > 2.

Графік функції щільності g(z) зображений на рис. 4.12.2.

g (z)

 1

Рис. 4.12.2.

Z

4.12.2. Задані щільності розподілів рівномірно розподіле-

. .         1

них незалежних випадкових величин Х і Y: jx (х) = — в інтер-1

валі (1; 3), поза ним f,(x) = 0; /2(v) = — в інтервалі (2, 6),поза ним  /2 (_у) = 0. Знайти функцію розподілу і щільність

розподілу випадкової величини Z = X + Y. Побудувати графік

щільності розподілу g(z).Розв’язок.

Можливі значення випадкової точки (X, Y) розташовані всередині прямокутника ABCD з сторонами 1<х<3, 2<у<6 (рис. 4.12.3).

 

Рис. 4.12.3.За означенням інтегральної функції розподілу, F(z) = = P(Z <z) = Р(Х + Y <z) .

Нерівність  х + у < z  задовольняється лише для тих то-

чок,  що  лежать  нижче  прямої   х + у = z   в  прямокутнику

ABCD, яка відтинає на осях х і у відрізки, що рівні z. Оскільки, згідно умови Х і Гнезалежні, то

 ГГ      ,           гг 1    1            Iff         1

F(z)=\\f1(x)f2 {y)dxdy =11      dxdy = - 11 dxdy = -S,

де <S - частина площі прямокутника, що лежить нижче прямої х + у = z . Оскільки площа S залежить від z, то всі значення z розбиваються на 5 інтервалів проходження прямої х + у = z через вершини прямокутника ABCD: z < 3; 3 < z < 5; 5 < z < 7; 7 < z < 9; z > 9.

Якщо z < 3, то S = 0, і F(z) = 0.

(z-3)2

Якщо 3 < z < 5, то £ = ^до^Якщо 5 < z < 7, то S = SDMNC = SmcD +SASMN; SSNCD = DC■ CN, але DC = 5-3 = 2, CN = RN = z-5;

ASMN

 

SN2    (3-1)22

 2 . Отже, 5' = 2-(z-5) + 2 = 2z-8.

 

Якщо 7 < z < 9, то 5 = S^pg = SABCD - SAQBP

 

QB2

(9-z)2  (9-z)2

DC ■ AD

= 8 —

(3 -1) • (6 - 2)22 Таким чином, інтегральна функція F(z) рівна:

-•0 = 0, 8

1   (z-3)2     (z-3)21    z

- • (2z - 8) = - -1,

8          4

(9-z)216

F(z)

(9-z)2 16

= 1-•8 = 1,

якщо z <3; якщо 3 < z < 5; якщо 5 < z < 7; якщо 7 < z < 9; якщо z > 9.Тоді щільність розподілу g(z) = F'(z) рівна:

0>        якщог<3;

(z-3)/8,   якщоЗ<г< 5;

g(z) = U/4,       якщо 5 <г< 7;

(9-z)/8,   якщо 7 <г< 9;

0          якщо z > 9.

Графік функції щільності зображений на рис. 4.12.4.

Z

0,3

0,2-

0,1

0          1      2      3       4       5       6       7       8      9     z

Рис. 4.12.4.

4.12.3. Незалежні випадкові величини X та Y задані густи-нами розподілу:

f(x) = -e 3    (0 <х< оо); 3

/ (у) = -е 5    (0 <j< оо). 5

Знайти композицію цих законів, тобто густину розподілу випадкової величини Z =Х+ Y.

Розв’язок.

Так як можливі значення аргументів невід’ємні, то використаємо формулу:g(z)=\fl(x)-f2(z- x)dx;

(z-x)

 rl g(z) =   -e

J

1 ~ 1 -e 3 • — 3        5

           

1z        2

                        15

Je"15'^

 

Z

15e15 ° 12

            z

1 _g   15

1    "I  -^*Z

-e 5e 15= —e

o       2

 

1  1

Z   Z    XX

dx =     e 5 [e 3 5dx3  51  15U-JX     =

15e5       °

Zz        2          \

            z= —e15    _ 1

V

УZ

тут    z > 0,   оскільки    x > 0, y > 0 .    Отже,    g(z) = — e5xX

1 _g   15

V         J

валом.

в інтервалі  (0, oo)   і  g(z) = 0  поза цим інтер-

 

Перевіримо, що \g(z)dz = 1: — \e 5\\-e

2 —z 15

ctz

 

\e2dz-\e^liZdz  =-\{-S)\eid

0          o          2I         0

Z

Z

 

           

 

CO      Z

(-3)J e 3Й?

z

           

 

5e 5 | +3e 31

0          0

Z

5/ 1

zz         (5 — 3) = 1.

4.12.4. Незалежні нормально розподілені випадкові вели-чиниХі Гзадані щільностями розподілів:

fl(X) =  l—e-(^2>^ ■    f2(y) =            l           e<y-bfl2al

Довести, що композиція цих двох законів, тобто щіль-ність розподілу випадкової величини Z = Х + Y, також є нор-мальним законом.

Розв’язок.

Для визначення закону щільності суми випадкових вели-чин скористуємось формулою:

(х-а)2

е   2fJl   • е

(z-x-b)2

2ст|   dx = *

           

 

j

2л-о, ■а1

1          1    -GOf(z) = \fl(x)f1(z-x)dx

— GO

о\ (х - af + <j2 (z-x-b)2

(x - a)2    (z-x- bf

2o\o22

2a2      2^

(of + a\)x2 - 2\aa\ + of(z -b)]x + a2of + of (z-2zb+b2)

2ofof

(a2 + a2)x2 - 2[aa2 + a2(z -b)]x + a2a2 + a2(z -b)2

           

2a2al

 

(a2+a22)

2axa2

 

^ 12

z-b

2 +^T

+ a\

2     2 1      2

x +

a2      (z-b)2 i     j   2

            7Г H           2cr, tx,

2a2

2a2

a2x+a\

 

+ ^22Г

^22 1      2

2       acr,2+ (z-6)cr2

x  - 2—?—      ^—^-X +

+ a22

aa\ + (z- b)a\+ a22

 

aa2+(z-b)c712

a2+a2+

a2 a2 + (z-b)2 a f

a2+a2

 

           

^2   _L^2

ax + a2

n.     2     2 1      2

aa2+(z-6)a2

 

a2+a22+

 

+

[aa2 +(z- b)a2]- (a2 + a2)[a2a2 +(z- b)2a2]

2ст2ст2(ст2+ст2)

                       

ox + a2

r,     2     2

aa22+(z-6)a2

 

a2+a22+

 

           

afa2[(z-b)-af

2a2 a2 (a2 + a2)

2        \flCT2+(z-fe)CTl

dx

           

 

+

 

2a<j2<j2 (z-b)- a2a2a22 - a2 a2 (Z - bf^2   _L^2

2ст2ст2(ст2+ст22) aa22+(z-b)af

9/-T2/-T2 1      2

a2+a22

(z-a-b)

2cr, cr,

uf + ui

—        [x~

-co

2ж<71<72

 

1          1

a2+a2

e

 

\

2afa2

Зроблено заміну змінних

af+a22

2o2xo\

aa2+(z-b)af

 

crf+cr2

 

z2; dx

dz

a2+a2

 

\

2a2a22

і враховано, що         - інтеграл Пуассона.

-co

[z-(a+b)]z

■^г-е2^^

v2o"1cr2

 

2жа,а2Л]аї+ a\

(z-mz) 2(ol+o\)1      1

           

e

[z-(a+b)f

e          =

\2n

°z

42ж^а2+а22

; mz -a + b

Отже, функція щільності суми Х + Y випадкових величин підлягає нормальному закону.