4.10. Інші закони розподілу


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.10.1. Задані функції щільності розподілу ймовірності випадкової величини Х Вивести формули для обчислення:

1)         моди випадкової величини Х;

2)         математичного сподівання випадкової величини Х;

3)         дисперсії і середнього квадратичного відхилення;

4)         асиметрії;

5)         ексцесу;

інтегральної функції.Розрахунки виконати для: а) Гамма-функції; б) логнор-мального закону; в) закону Максвела. Розв’язок.

а) Гамма-функція.

Диференціальна функція щільності розподілу ймовірності має вигляд:

fix) = —^         xV^,     х > °>а > -1'

а) <      ра+ Г(сс + 1)  р > 0 , a - ціле;

0,         х < 0.

Розрахунки виконати для a = 0; а = \; a = 2;  a = 3.

Дослідження графіка функції щільності:

or = 0 ;   f(x) = х е /р =—е /р, оскільки

ра+1 Г(а + \)   Р

Г1) = 0! = 1./(0) = — е р = /(max) = — .

0          Р

При х —» оо функція щільності прямує до 0:

lim/(x) = hm     ^ = 0; f(x)>0.

Тому вісь х - горизонтальна асимптота. При a > 0, а -цілому

1          a   -fp   1

lim/(x) = lim      Гха е

 

ха              1                аха+1р

—        ,

х lim —у =       lim        т

УР    /За+1 Г(а + 1)^-   Ур

 а(а-\)(а-2)...Л-0-ра

ра+1Г(а + \)еХ//р

lim        ,           = 0.

х—>со

Вісь х – горизонтальна асимптота.

1. Обчислимо модальне значення Мо випадкової величи-ни X, в якому функція щільності f(x) досягає свого максима-льного значення при X > 0 :

хаеХ//р

(ха)'е 'р +

ра+1Г(а + \) 1

осс    е ' и +хае //?

 

ра+1Г(а + \)

/' (х) = + ха(е /ру

 

Г

ра+1Г(а + \)

р

a-^-ft   -*/«(      І

v    V

 

           

-Г        «А««--

0.

 

а-— = 0;    х = а-р.

Р Мо = а-р.

(a ■ РУ

a р

fmax = f(Mо) =

           

ар,

'р    Ра+Г(сс + І)еа

ра+1Г{а + \)е

аа

аа

 

еарГ(а + \)    еа-р-а\ Знайдемо точки перегину прирівнявши f(x) до 0:

           

г

           

0;

і           еА°->-*)

ра+1 Г(а + \)   Р-^(_1 )х«-і(а_І) + е-^(а_1)х«-2х

Р

Р

Ра+1-Г(а + 1)

 

е"^ха-2/?а+Г(а + 1)

0;

— х(а-—) + (а-\)(а-—) +

Р          Р          Р

 

 1  ч

+ х(      )

Р

0;

1             x1                     ipc-\)       x

— х-а + —г + (а-\)а- x          = 0;

ґа + а-11

+P       P2        P          P

 

X

P       P       P

P2

x + (a-\)a = 0;

x + (a-l)a = 0;

x1

4a2 P2

~¥    ~p

2a    2л [a

4^(a-l)a    ^L±

P

2a

           

           

           

x1

P        P

2          Г)       i л       i

/?2       /?2

= (a±V«)/?.

В точках   xl2=aP± 4aP   функція має перегин (рис. 4.10.1).

 

f(x) 2,51,5

0,5а=0 а=1 а=2

 

X

 

Рис. 4.10.1.2. Математичне сподівання випадкової величини Х:

М(Х) = \xf(x)x = Г      Г          dx .

Зробимо підстановку: — = у —» х = уР; dx = (My.

00        va+1       /P      'D        \а+1     ~У

-ft

-, ,( ^)      Г      X      Є ' '        ,           r   (УР)      Є   ^ ,

           

P

CO

\ya+1e ydy

Використаємо властивість y - функції:

Г(п) = \хп 1e xdx;        Г(п) = (п-1)!;       Г(сс + 1) = сс!;Г(а + 2) = (а + 1)! і (а+ 1)!= а!(а+ 1).

Отже, М(Х) =            Г(а + 2) -

Г(а + 1)           а!

           

£!(1) = P(a + 1).

3. Дисперсія D(Х):

D(X) =М(Х2)-М2(Х).

 

*„v2    f         х2           a-VB       }(yP)a+2eypdy

М(Х ) =           x e /pdx =       !--L      1^

0          0

x P

0Ра+1 Г(а + 1)           0  ра+1 Г(а + 1)

y;  x = yP; dx = pdy

\ya+2e-ydy

}pa+3ya+2e-ydy         P2          a+2   V        р2Г(а + 3)

               v       y         

Pa+1 Г(cc + 1)      Г(сс + 1)0 Г(а + 1)

a\         a\

<u2 = D(Х) = p\a + \)(a + 2) - [(a +1)/?]2 = /?2 (a +1) x

x[a + 2-a-\]= p2(a + \).

Середнє квадратичне відхилення:

a(Х) = yjD(Х) = ^p\a + \) = pja + l.

4. Асиметрія розподілу As обчислюється за формулою:

As = Щ, де /J3 - центральний момент ІІІ порядку:

V

//3 = v3 -ЗугУ2 +2v- 

хае/р

vAX) = М(Х3) =   x3f(x)dx =   х3      ;           dx

j           j     ра+[Г{а + \)

Зробимо підстановку: — = у; х = уВ; dx = Bdy .

aHyp)a+3eypdy        р3     }  а+3   V1     р3Г(а + 4)

=    ±L!-±        '^  =     <             уа+іе У(Лу = П        Ь         

\  ра+1 Г(а + \)      Г(а + Ї){    Г(а + Ї)

Р\а + \)(а + 2)(а + 3).

Р5а\(а + \)(а + 2)(а + 3)

           

Тут використано:

Г(а + Ї) = а\;

Г(а + 4) = (а + 3)\=а\(а + ї)(а + 2)(а + 3). Оскільки vx = Р(сс +1), v2 = Р2(сс + \){а + 2), то

/и3 = р3(а + \){а + 2)(а + 3) - 3 Р(а +1)/?2 (а + \){а + 2) +

+ 2р3(а + \)3=р3(а + \)(а2+3а + 2а + 6-3а2-9а-6 +

+ 2а2 +4а + 2) = р3(а + 1)-2 = 2р3(а + 1). Отже, асиметрія у - розподілу:

383     

As       3          v       '

a'     p3(a + \)/'1     (a + x/2 При a = 0; As = 2 ;

a = \; As=   j= = л/2 ;

V2

 2 or = 2; As=j=;

V3

or = 3; As = 1.

5, Ексцес розподілу обчислюється за формулою::

Ек = ^- - 3, де /л4 = v4 - 4vlv3 + 6v2v2 - 3v4

Е±       2

a4

,«« //?

(X) = M(X4) =   x4f(x)dx =   x4          dx

1          j     pa+lГ(a + \)

 

-fp

r    xa+V//?      }(yj3)a+4e-yj3dy        J34     }   a+4   y

            dx = \^-^         C^ =    C            v     e ydyҐ

{ра+1 Г(а + \)       {  /За+1 Г(а + \)      Г(а + \){

р4Г(а + 5)    p4a\(a + \){a + 2)(a + 3)(a + 4)

Г(а + \)            a\

= p4(a + \)(a + 2)(a + 3)(a + 4). Прийнято: Г(а + 5) = (a + 4)! = a\ (a + \)(a + 2)(a + 3)(a + 4);

Г(а + Ї) = а\.

4 x

ju4 = p4(a + \)(a + 2)(a + 3)(a + 4) - 4jB(a +l)/?3 x х(а + \)(а + 2)(а + 3) + вр2(а + \)2р2(а + \)(а + 2)-Зр4 x(a +1)4 = P4 (a + l)[(a + 2)(a + 3)(a + 4) - 4(a + \)(a + 2) x x(cc + 3) + 6(cc + lf(cc + 2)-3(cc + l)3] = p4(cc + l)[cc3+4cc2 + + 5a2 + 20a + 6a+ 24-4a3-20a2-24a-4a2-20a-24 + + 6a3 +\2a2 +\2a2 +24a + 6a + \2-3a3 -9a2 -9a-3] == /?V + l)(3a + 9) = P\a +1) • 3(a + 3).

3/?4(a + l)(a + 3)         3(a + 3)

_3 =    b         

a + \

or + 3

оскільки          > 1 .

3-4При a = 0, Ek=6; a = \, Ek

 

3 = 3;

3 >0

 3-5                             ^      3-6

a = 2, Ek =      3 = 2;ar = 3,£4:= —    3 = 1,5 .

3          4

6.   Обчислимо   інтегральну   функцію   F(x)   при   різних значеннях a : а) or = 0 ;

x        x

 —       XA

v    v

F(x) = — \e pdx = -\e pdP« б) a = 1;

= -e

д= l-e p

 

Fix)Г(2)

f ye ydy

y = u,e ydy = dv; dy = du;v=[e~ydy

= -e~y

           

 

\e~ydy

-ye~}

X         A

+0

{Й"

x

^-e-*= l-e

 ґ         \

'           X   >

1 + —

 p

 

При x = 0, F(0) = 0; при x —» oo  lim

x

l-ip(l +

x

P

 

= l-lim

1+*

^ = 1- lim^    = 1-0 = 1.

 

e

P

ДОтже, дана функція F(x) є інтегральною.

в) a = 2 ;

I    2     *

 

F(x)

\у2е ydy

Г(3)0

Г     2   -          1      2   -

\y e yd(-y)=—ye

p

 

           

у2 =u,du = 2ydy; d(e~y) = dv;v = -e~> 2

/?

• 2Je~yydy

p

vv

Є

x

p

 

ye

y

y

~\

X       1 [   X

+

= 1-^1 + - + 1-г) or = 3;

F(x)

Г(4)

f Уе ^ф

Г(4) = 3!= 1-2-3 У =u,du = 3y2dy; e~ydy = dv;v = -e~}

           

 

ґ          3        X

1 xf3y2e~ydy = -J

 

x    3!

p     -p

X         1 [   X   1         1

+

 +

1!-/?    2!^/?J     3!^/?

vv

           

1  0     3  i(   -V           1    3   _

—   vie   ) = —I' e

3! J      3!

p1        -Г

- 0 y2e~ydy = 1-e p\ 1 +

2 J       !

fi

д) a = 4;

 

F(x) =    ye ydy = — \ y d(e y) = —ye

Г(5) i   4! {      4!

 

1

X         1

 +

+

+

 

l4y>e->dy = l-e>\l +

 

V./3    2i\/3)     3\fi)     4\yj3y

в

б) Логнормальний закон.

fix) - логнормальна: логарифм lnх випадкової величини X розподілений за нормальним законом:

при х > 0; при х < 0(1пх-а)2

2/?2

f(x) =   j== ■ е

x/?V2;r

f(x) = 0

f(х) 7 6 5 4 3 2 1х

a - будь-яке дійсне число.

 

           

                       

                       

                                   а=1, Ь=0,5

                       

           

                       

                       

 

Рис. 4.10.2. 1. Обчислимо модальне значення логнормального розпо-ділу, прирівнявши І похідну відДг) до 0. f'(x) = 0;

f'(x)*р4їп

■е

(lnx-ay

2/31

            р4їж

і

■е

(\nx-a)1 2/?2

           

387р42ж 1

           

р4їж

lnx

1 +

 

(lnx-a)2            (lnx-a)2

1     —т^       1    —Ye^    2(\nx-a)   1

ip2

x2

■ e     p            e     p  

(lnx-a) 2/?2x2

           

1 +■e

2(ln x - a) ip2

^ = 0;  \nx-cc + j32 =0;\nx = cc-j32

P2

 

-i-p1

-i-p1

Отже, x = ea p ; Mo = ea~

2. Математичне сподівання випадкової величини Х:

(lnx-a)2            (іпх-а)2

грг

грг

1          ^          1

\'

dx

dx = *

■е

М(Х)=\х-

хр4ї^

lnx-or

р4їл«

х -» 0,   t -» -оо;

t ; при

Зробимо заміну

Р          х->оо, ґ->оо;

lnx = tp + a; х = еґ/?+а; dx = хДЙ = е^ДЙ

s"Pd=s"!

2   e2dt = **

 

Р          4          1       -   ^ £

Л

Перетворимо вираз:

t

tp

           

+ ґ/? =

 

(t-Pf    Р2

 

v      2

dt = ***

(t-pf2

OD      (t-Pf** = е 2 е"

V24

 

fV — Z?4!21харак-2-1

•Є

■е

Оскільки  ср(х)

л/24     V24-1

теризує щільність нормального закону розподілу з матема-тичним сподіванням /? і середнім квадратичним відхиленням

рівним 1, а  \j=—е     2   dt = 1, то

U2n ■ 1

-co

/?2       /?2

*** = e    2 . Отже, M(X) = e     2

Графік функції зображено на рис. 4.10.2.

3. Обчислимо дисперсію логнормального закону згідно

формули: 0(Х) = М(Х2)-М2(Х), де

OD      OD      (ІПХ-Я)2

М(Х2) = \x2f(x)dx = \х2         т^-е    2р1   dx =

І           {     ХРЛІІЖ

х          (lnx-я)2            х          (2

fх • е"   2р2   dx =^= \etp+ae^etp+apdt = *

(Іпх-а)

1          ^          1

Зробимо ту ж підстановку:

            + 2tp = -          ^   + 2/?

2          2

2а     °°    „ „  і1           л        ш       (і-2,6)2

Є                р     2*Д                         9           1            Г     "               ,«2

7=   е      2 dt = e        j= \е     2    е р dt

— CO v          —COІ2ж "L   л/2л" J

V2V

2 »     ^      JlzlBL e2ae2pl J    ,—g      2    Й?Ґ = **

-co

CO

(t-2/З)2

Тут   f                   • e    21'   й?ґ = 1;

_шл/2л- • 1

** = e2ae2p2.

           

D(X) = e2ae2pl -(e    2 f = e2ae2pl - e2aepl = e2aepl (epl -1)

 Є2а+Рі (ЄРІ   -1).I                /    Д2

Отже, a(X) = ^D(X) = e    2 л/e    -1Обчислимо початкові моменти третього v3 і четвертого У4 порядків.

Гх3      е    2/3    dx = *

Використавши попередню підстановку, отримаємо

1          °г                    

* =       ==   eXf3t+a)e  2 Bdt = **

р42ж L

Виконаємо перетворення в підінтегральному виразі:

(t-3/З)2    9    2

йх        (Іпх-а)2

3          1          2Д2

з                     

.2         ґ .2      \

За =

 

— + 3j3t + 3a =          3(3t

2          yl         )

(t-3P)2    9 о2

+ 3а = -           CJ  + ~P +3а;

2          2

If -^^ ^+з«      ^+з«      1

** == \е     2   е2       dt = e2        -j^

<2ж _і лІ2ж

(t-3/З)2

\е     2    dt = ***

+

1          OD      (І-3,6)2

Оскільки=      \е     21   й?ґ = 1    при    сг = 1,   вираз

\2п ■ 1 ІV+3*

рівний *** = е2

х          (lnx-я)2            х     А( ш,    -,  f2

v, =   х ї=е      р    dx =            ^=-е 2Bdt = *

{       хр42ж    LP42n

t(t-4j3)2

2          /1

2

+ 4j3t + 4a = -—4j3t + 4а = -            + 8/?2 + 4«;2^

 

*=jV    2    esfil+4adt = esfil+4a-^je~    2    dt

OD      (t-4/З)2

8/?2+4a 4

Оскільки     ,— le     21   dt = 1, то v4 =e

— CO

a+

 2

в 4. M(X) = e    2 = V1,

M(X2) = e2ae2p2 = v2,

D(X) = e2aep2 (ep2 -1),

9 J32 +3a

M(X ) = e2      = v3,

M(X4) = e8/?2+4a =v4,/u3=v3- 3v1v2 + 2V13 = e2/?2      - 3(eae 2 e2ae2/?2) +

«+—        -/?2 -/?2      3/?2

+ 2(e    2)  =e2   e    -3e   e2    + 2e   e2

 

— /?2

= e3ae2    (e3p2 -3ep2 +2).

u3(X) = D(X) ■ TJD(X) = e2aep2 (ep2 -1) • eae 2 (ep2 -1)2=e3ae2   (ep2 -1)2.

 /?2zz    zz

"           3          32        2          3

о3        3а У

e   e2

(e3p~ -3e2p2 +3ep2 -1) + 3e2p~ -6ep~ +3

e3ae2    (ep2 -1)2       (ep2 -1)2

 u3     e3ae2" (e3p2 - 3ep2 + 2)    e3p2 - 3ep2 + 2 As       3

 

           

 

(ep -1)2

Оскільки (ep2 -1)3 =e3p2 -3e2p2 +3ep2 -1.

 (ep2 -1)3 + 3(e2/}2 - 2ep2 +1)    (ep2 -1)3 + 3(ep2 -1)2

* =       =        

3          3

(ep2 -1)2         (ep2 -1)2

л

(ер1 -1)6

+ 3.

{ер  -I)3       "\

(ер1 -1)4

{ер -I)3

 ■

(ер2 -1)3 + Зл/е^2 -1 > 0

/?2      Q а+^       -в2 +3а 2      2

5. д, = v4 - 4vjv3 + 6v2v2 - 3v4 = es/}2 +4a - 4ea+ L eL        + + 6e2a+p2e2ae2pl -3e4a+2fil =egfi2e4a -4e5fi2e4a +6e4ae3fil -3e4ae2fil =e4ae2pl(e6pl -4e3fil +6epl -3);

Mi        e4ae2/?2 (e6/?2 - 4e3/?2 + бе^2 - 3)

iS ■    =    ^- — 3  =   Ї           Ї           — 3  = *

a4        e 4ae 2pl (epl -1) 2

a4 = D2(X) = e4ae2pl (epl -1)2. Підставимо 2epl +\ = (epl -l)2,

 

(epl -l)3 =e3/?2 -3e2/?2 +3efil -1,

(e2f -l)3 =e6pl -3e4/?2 +3e2/?2 -1.

(e^_3^2+3^2-l) + 3^2-4^2-3^2+6^2-2    ,

R1       9

0          "I)

3e2/?2(e2/?2 -2^ + l) + 2e3/?2 -6e2/?2 + 6^ -2

 

(e^2 -1)2 (еірг -l)3 + 3e2f>1 (epl -l)2 + 2epI (e2f>1 - 2epI +1) - 2e2f>1 + 4epI - 2

-3 =

(efiI -l)2

(e2/?2 -1)3 + 3e2/?2 (e7'2 -1)2 + ге7'2 (e7'2 -1)2 - 2(e2/?2 - ге7'2 +1)

(epl -l)3^2 +1)3 + 3e2p'(epl -l)2 + 2ep'(epl -l)2 -гСе''2 -l)2

{epl -l)2 2    /?2       2        />г    />г

— 3

 

(epI -l)2

= (e/'2 -lXe^2 +l)3+3e2/?2 +2e^2 -2-3 = 0-l + 3-l + 2-l-2-3>0, оскільки перші три доданки додатні.

6. Обчислимо інтегральну функцію розподілу ймовірності логнормального закону:x x          (lnx-д)2

F(X)= \f(x)dx=\           ^е    ipl   dx = *

J          J  YRJOTT

 lnx-or

Зробимо заміну змінних       = t. Тоді In x = Bt - a ;

P

dx        a+a

— = pat; x = e^    .

x

tl —» -oo при x —» 0 •

lnx-or

h =       •

Inx-a    Inx-a

 'Ti    i °r -L    i T -L

* ==       e 2dt =   j= \e 2dt +=       e 2dt = *

Оскільки:

t 2 2

ки:

1     °-    ^ V2^

* = 0,5 + Ф        = 0,5 + Ф(ґ), де Ф(і) - інтегральна

o     t2

\e 2dt = 0,5,

c-

функція Лапласа.

в)Максвела.

4//3

Функція щільності має вигляд  /(v) =^v2e hv    при

v> 0 (див. рис. 4.10.3).

1. Обчислимо моду розподілу, прирівнявши першу похід-ну f'(v) до 0.

г,         4Л3   Г            ,22       2        ,2   2      ,

/ (v) =р   2ve        + v е       (-h 2v)

0,

4/г

4тг

або ^ 2уей2у2 (і - v2/*2 ) = 0 -> 1 - v2/*2 = 0 .(v) 1,8 1,6

1,4 1,2

1 0,8 0,6 0,4 0,2

1    3   5    7   9   11  13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

V

 A=0,5

h=l

h=2

Рис. 4.10.3.

Звідси v2

1          1          1

— або v0 = —. Отже, Mo = — .

h          h          h

2. Обчислимо математичне сподівання випадкової вели-

чини V:

М(у) = ]4=v2e-h2v\dv= 4=--]v2e-h2v2d(v2) =

4/г3

 

і=         fv2e AVJ(-/ZV) = —= Г

v d(e      ) =

-ft2v2

-A2v2

|v   = u, du = 2vdv; й?(е       ) = dw, w = e|

           

2/г

2   -ft2v2

°° + —fev^

-ft2v2

2V6?V

 

2/г     v2

 

           

2/г

 

h24n

 

\e к2у2 d(-h2v2)2h     v2

^г   ehV

 

2       „-h2v2

2h (..      v2        0 hm

2   ,.       1        2     _h20

 

eh2v2    eh2% 2

\/Я"

2h

2.0+  *   i =

           

Hm

2h2v ■ eh v 2h2v    4ж        h4ж Використавши правило Лопіталя, отримуємо: 2        1,1284

=          ;= =     > Mo .

hж        h 3. Обчислимо дисперсію D(v) за формулою: D(X)=M(X2)-M2(X);

CO      CO.     ^          .           1    CO

 2         Г    2    Г    2 4h      2   _hfv2   Ah     f    з   _h2  2

           

M(v ) =   v f(v)dv =   v    p=v e      dv =   ;=  ve      vdv

 {      JK          J*

4h3

           

7=           v e      d(-hv) = —j=

2л/ 2h

7^

v d(e       )

\3v2e-h2v2dv)

Q         _   h    2

           

 

(v eДля знаходження границі І доданку використаємо пра-вило Лопіталя:

з

v

3v

o.

limv e

3          1

 llJXl

 llJXl

 

-Ko e hv          -co e hv  h 2 2v        2h 2 -~ e hv   2v

lim

-h v

0.

Отже, ve

V^J0    2h 2{jx2h2

4h

оскільки   I^=v2e    v dv = 1. Отже, дисперсія буде рівна: о "N/Я-3     4^

2    ж)    Зя--8    0,226763    

h2 0,47619 h

D(v)

2h2

h2

2nh

vW^".

           

Отже, cr(v) = -^D(v)

4. Для обчислення асиметрії і ексцесу знайдемо початкові моменти третього і четвертого порядків.

v3 = ju(v3) = ]v3f(v)dv = jV ^Lv2e-h2v2dv =

0          o      Vfl"

/II00    /II00

2/г 2h

=   /= jv4 • v• tfe'^dv = -^=(V • е~к2у1 d(-h2v2) =

\ ж       л/я* ■ 2

Г     4   —/J2   2

I vV(e       )

           

 

v4 =u,du = 4v3dv; d(e~h2vl ) = dw,w = e~AV

4   -й2у2

           

 

j4vVv<ft>  =^L\v3e-h2v2 dvlim v Vй2

v—>co

4-3v2

lim

4v3

v4

hm       = hm

e

v^co eh2v2 . 2v/j2

6 ,. hm

2v

 

                                    1         

2/?2veAV     h2 ^00 eA v + veAV 2/?2v

 

0;

 

8/г

И2л[ж

o

I v £      v// dv =           ;    I v £      t/Г—h v ^

2/гV^r

 

           

w^

Г      9  _k2i.2 ч

I v d(e      )hy/ж

2   4V

 

0          J

 

 2 „-ft2v2

e

lim v 6?        = lim        =

lim

2v

ейу 2v/*2

0;

 

h3

4    ,.       1       4          4

h ліж^^e 4

 

Отже, v3

4      1

4          if    -h v       /        2   2ч          ^

ШhІe   d{-hv)- hTe

1          4      _0 _     4

 

h3л[ж

h v2     h 3л/^e    ~h 3V^'

-h2v2

           

 

Центральний момент ІІІ порядку jU3 = v3 - 3vxv2 + 2vx

            16-5;r

           

            vh^.

h3л[ж        hл[ж   2

hV

4              2     3,        f   2

-3        ^--h2 +2-

a(v) = sJD(v)

 

,    y     y

/д      (16-5;г)-h 2/2;r/2     0,84852

As = R- =        т^        77     = = 0,501.

3/   3/

V3^8 hлІ2ж

1,6921

^3        h3л-^(Зл--8)^

Оскільки асиметрія додатня, то похилість (“хвіст”) знахо-диться справа відносно моди.

5. Для обчислення ексцесу необхідно обчислити початко-ві v4 і центральні ju4 моменти ІV порядку.

CO      Л

bve^dv

 

jv -ve^vdv

v4 = Г

0 ^

4h3

h22у[ж

2h

4h3  2 _h v2 4        4h3 i=v e      v dv

v e

5   -h4

           

            л/я"

Jv5d  e-h v2)1510h5      3

j= iv4ehv dv = ^—M(v2)—    -—-

4ж i     2h        2h    2h      4h

           

 

оскільки v5e-h2v2

0v4-v

+ 6

 

152      4          4.M4 = v4 ~ 4v1v3 + 6v1 v2 ~ 3v1

4/z4     h4n   И3л[л4315л-2 + 16л- -192

            4h4x

ИлІЖ

\'ІУІ

іж ) 2h 2

+

 

           

           

 

/f4

<J4

 4           (15я-2 + 16я--192)-4/74я-2

Тоді  ексцес   Е, = ^4 - 3 =    42        3

4/74я-2(3я--8)2

3,0421-3 = 0,0421>0.

6. Обчислимо інтегральну функцію:

 г         4/г3 f 2 _й22        4/г3 г       _Л2

F(x) =   f(v)dv =   j= We      dv =   j= \v-ve      dv =

0          ^0        •v ^ 0

4/г3

           

d(-h2v2)

2h

4h3   1

7= ■— \ve      a(v ) = —;=        ve

In   2 0 4n- 2h2 J00

Г    -A2v2   7

 o^*2"2

           

-/s2v2

Kb       —Г"

~4n

2h 0w^-*2  )    2h

 

X

x

2h  f  -AV . +   ;=   e      <fv = *

■fie Для обчислення інтегралу зробимо підстановку hv = z ;

Jv

h

 2h r _h\2         2h    1 r _г2     7

Тоді    p=   e      dv =   j= ■- \e    dz = Ф(кх), бо

2   r

Ф(х) =   j= \e   dt * = Ф(кх) -   r= xe

■ЇЇ

з означення інтегральної функції.4.10.2. Випадкова величина Х розподілена за логнормаль-ним законом з параметрами (рс, /?) . Знайти значення /?, при якому ймовірність того, що Х прийме значення, яке належить інтервалу [а,Ь] буде найбільшою.

Розв’язок.

Інтегральна функція логнормального розподілу задається

формулою:  F(x) = 0,5 + Ф

ня випадкової вели

Р(а<Х <Ь) = Ф

. Тоді імовірність знаход-v    Р    ) ження випадкової величини в заданому інтервалі [а,Ь] рівна:

^Іпй-аЛ    J\na-cc^

Р

Р

Ф

lnb-a

Іпа-а1

           

Іїк

е /2dt-j=       е /2dt = cp(P).

Для знаходження максимуму функції <p(fi) продиферен-ціюємо її по t і прирівняємо до 0.

(ln*-a)2           /           (lna-а)2lnb-a

if

If

ф (Д)

4їп

 

Ona-ct^

 

P

/3

1 [ lna-a

2{     /3

If lnb-a

2{     /3

\na-a   

e

0.

lnb-a

 

P2

—-—

І2ж

P

In—[ln(a-b)-2a]

ln a

-a

           

2/}2

(lna-д) -(lnb-a) 2fi2

= e

Звідси

lnb-a

Прологарифмувавши вираз, отримуємо:

In

1          Гі         АЧ      O     1

lna-a _ n^'Ln(a'  )~  a\

lnb-a    2/?2

; звідсиp2

           

In    • lln(a • Ь) - 2а\ Ь

In

\na-a

-or

In 6

4.10.3. Обчислити медіану логнормального закону. Розв’язок.

™,„     ™,„     1

Згідно означення Р(Х < Me) = Р(Х > Me) = - = F(Me)F(Me) = I  r=e

QnX-g)2 2/?2

dx

 

lnX

^

            = t,lnX = fit + a;

"

x = e     ,dx = ep +apdt;

Xj -> 0, ґ -> -GO;

 

InMe-a       t2

e    2 ePt+aд^

            :

InMe - a

1     °r Л

x2 = Me, ґ2

InMe-a£          І

f    e 2dt =   j= \e 2dte +

 

0,5 + Ф(г) = 0,5.

4їж

+

InMe-a

Me-aP ҐІпМе-ссл

P

f   e 2 dt = 0,5 + Ф

Тут Ф(z) – інтегральна функція Лапласа. Отже,

 

Ф

InMe-a

p

 

0, тому

lnMe

P

-a

0. Звідси lnMe =

a, отже, Me = ea

4.10.4. Розглядаються три проекти А, Б, В щодо інвес-тування. При здійсненні багаторазових інвестицій в певну підприємницьку діяльність обчислюється величина збитків у вигляді відсотка величини реальних збитків по відношенню до  розрахункової  суми  виручки.  Було  встановлено,  щообчислена таким чином величина збитків підлягає: для проекту А - Гамма розподілу з параметрами /? = 1, a = 1; для

проекту Б - логнормальному закону з /? = V2 ; для проекту В - закону Максвела. Математичні сподівання збитків для трьох проектів рівні між собою.

а)         Обчислити імовірності попадання випадкової величини

збитків Х в допустиму, критичну та катастрофічну зони, якщо

хдп = М(Х) + и(Х)  (%);   х   = М(Х) + 2а(Х)   (%);   хкт =

= М(Х) + За(Х) (%).

б)         Оцінити міру ризику кожного з цих проектів та обрати

один з них для інвестування. За величину ризику прийняти:

середньоквадратичне відхилення, коефіцієнт варіації, коефі-

цієнт асиметрії.

Розв’язок.

Ймовірності попадання величини відносних збитків Х в допустиму, критичну та катастрофічну зони відповідно рівні: Рдп = Р(0 < X < хдп) = F(xдп) - F(0);

Р   = Р(хдп < Х < хкр) = F(xкр) - F(xдп) ;

Ркт = Р(хкр < Х < хкт) = F(xкт) -F(xкр) .

а) Математичне сподівання випадкової величини, що за-дана Гамма функцією (проект А) рівне  М(Х) = Р(а +1),

середнє квадратичне відхилення сг(Х) = fi^ja + l . Для a = 1,

Р = 1 %     М(Х) = 1 • (1 +1) = 2%;     и(Х) = 1 • л/і + 1 =УІ2 =

= 1,4142%;   хдп =М(Х) + <г(Х) = 2 + 42   (%);   хкр =М{Х) +

+ 2а(Х) = 2 + 2л/2 (%); хкт = М(Х) + За(Х) = 2 + ЗлІ2 (%). Інтегральна функція гамма розподілу для a = 1 рівна F(x) =

 х

1 + —

 Р.

= \-е

Для/? = 1 F(x) = \-ex(\ + x).

Оскільки F(0) = 1 - е   (1 + 0) = 0;

F(xдп) = F(2 + 4l) = \-e (2+л/2)(1 + 2 + V2) = 1 -0,145238 = 0,8548;

F(x  ) = F(2 + 2лІ2) = 1 -е~(2+2л/2)(1 + 2 + 2л/2) = 0,953378;

^(хкт) = і^(2 + Зл/2) = 1-е~(2+3л/2)(1 + 2 + з72) = 0,98591514, то отримуємо:

Рдп = 0,8548 - 0 = 0,8548;

Ркр = 0,953378 - 0,8548 = 0,09858 ;

Ркт =0,985915-0,953378 = 0,032537.

Математичне сподівання випадкової величини, що задана

логнормальним законом (проект Б) рівне  М уЛ ) = е     '    .

Підставивши   /? = V2 ,  отримаємо   М(Х) = еа+1 = 2   згідно умови. Звідси,   а = 1п2-1 = 0,30685. Середнє квадратичне

відхилення логнормального закону сг(Х) = е     /2л]ер  -1

М(Х)л/е2 -1 = 2 • 2,52765 = 5,0553 .

«4^/2JP>

Тоді хдп = М(Х) + <У{Х) = е     /2 + е     /2 л/е    -1 =

= еа+Р//і ґі+Ve^-i] = M(X)f і+Ve^-i] = 2(1+Ve2-l);

хкр = М(Х) + 2сг(Х) = М(Х)[ 1 + 2\ер1 -1 ] = 2(1 + 2л/е2-і)

М(Х) + Зсг(Х) = М(Х)[ 1 + Зл/е^2 -1 ] = 2(1 + Зліе2 -і)

/?

Інтегральна функція логнормального закону рівна F(x) = O,5 + Ф

V lnxдп-« = ln(ea+1(l + Ve2-l|-« = lnea+1+ln(l + Ve2-l)

1 + ln        ^

(l + Ve2-lj.F(0) = 0,5 - 0,5 = 0 .

ln(l + л/е2-1)І^(хдп) = 0,5 + Ф

0,5 +

Гі + 1п(1 + 2,52765)

+Ф.

|_       1,4142135

0,5 + 0,4451 = 0,9451. \пхкр-сс = \ + 1п(1 + 2л/е2-1) .

 Jl + ln(l+ 2-2,52765)

F(JC  ) = 0,5 + Ф       

I        1,4142135

 0,5+ 0,4761 = 0,9761.

 л         Гі + 1п(1 + 3-2,52765)

F(xкр) = O,5 + Ф -

0,5 + Ф(1,598508) = 0,5 + Ф(1,980)

 0,5 + Ф(2,227)

 0,5 + Ф(2,227)

1,4142135

= 0,5 + 0,4873 = 0,9873. Отже,

Рдп = 0,9451 - 0 = 0,9451;        Ркр = 0,9761 - 0,9451 = 0,031;

Ркт = 0,9873 - 0,9761 = 0,0112 .

Математичне сподівання випадкової величини роз-

1,1284

2,

поділеної за законом Максвела рівне M (0)

h

2 лення a(v) рівне a(v)

 1,1284

звідки  h =      = 0,5642. Середнє квадратичне відхи-

           

0,844.

0,47619    0,47619

h          0,5642

хдп = М(у) + a(v) = 2 + 0,844 = 2,844 ; х   = М(у) + 2о(у) = 2 + 2 • 0,844 = 3,688; хкт = М(у) + 3cr(v) = 2 + 3 • 0,844 = 4,532 .

Інтегральна  функція  випадкової  величини,   розпо-діленої за законом Максвела має вигляд: 2h     _h2x2 F(x) = Ф(hx) -   r= xe       .

V ж

 1,1284

Тому, F(0) = 0 ; F(xдп) = Ф(2,844) -            x

x2,844e-(056422844)  = 0,99992-0,137925 = 0,862 .

F(xкр) = Ф(3,688)- 1,1 r—  3,688e (0,5642-3,688)2 = 1,0000-

,128

-0,030928 = 0,969.

F(Xкт) = Ф(4,532) - 1,1      4,532g'(0,5642'4,532)2 = 1,0000 -

-0,0041756 = 0,996. Отже,

Рдп = 0,862 - 0 = 0,862;        і^ = 0,969 - 0,862 = 0,107;

Ркт = 0,996 - 0,969 = 0,027 .

б) Для проекту А: М(ХА) = 2, и(ХА) = 1,414.

 а(Х)     р4а + 1          1

CV(XА) =)—  =         =   .      = 0,707 ;

М(Х)    Р(а + 1)    л/а +1

2          2       /-

AsА =   ,         = —j= = V2 = 1,414.

уіа + 1    V2 Для проекту Б: М(ХБ) = 2 ; и(ХБ) = 5,055 .

                        '

я+/?2

Є         /2

CF(XБ) =        27        = лІер -1 = Ve -1 =2,528;

^ = ^(е^2 -1)3 + 3ер2 -1 = ^(е2 -1)3 + 3/е2-1 23,732. Для проекту В: М(ХВ) = 2; сг(ХВ) = 0,844 .

             0,844

CV(XВ) =       = 0,422; AsВ = 0,501.Висновок. Враховуючи те, що для проекту В най-нижчі значення середнього квадратичного відхилення сг(Х) для одного і того ж математичного сподівання М{Х), а також найнижче значення асиметрії As для інвестування слід вибрати його.