Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_1d864756196fbe0dc898cde11ae6f614, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
Задачі : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.9.1. Випадкова величина X розподілена нормально з ма-тематичним сподіванням a = 25. Ймовірність попадання X в інтервал (10; 15) рівна 0,2.

Чому дорівнює ймовірність попадання X в інтервал (35; 40)?

Розв’язок.

Розпишемо імовірність попадання випадкової величини розподіленої за нормальним законом в заданий інтервал:

P(а < X < Р) = Ф           - Ф      . Отже,

V   о   )       \   о   )

/1П    X           J\b-2b\    .flO-25^    J   \Qi\

P(10<<15) = Ф            -Ф         =Ф  

\    a    J      \    a    )       \   о)

— Ф    = Ф| — | - Ф| — | = 0,2 - за умовою, і

P(35 < X < 40) = ФІ   I - Ф      = Ф —  - Ф — |

Отже, P(10 < X < 15) = P(35 < X < 40) = 0,2 .

4.9.2. Випадкові похибки вимірів підлягають нормаль-ному закону розподілу з середнім квадратичним відхиленням 20 мм і математичним сподіванням 0 мм.Знайти ймовірність того, що з 3 незалежних вимірів похибка хоча б одного не перевищить за абсолютною величиною 4 мм.

Розв’язок.

Нехай подія А полягає в тому, що в 3 незалежних вимірах похибка хоча б одного не перевищить δ.

Згідно   умови   задачі   и(Х) = 20,    М(Х) = 0,    8 = 4,

п = 3, к > 1. Спочатку необхідно обчислити імовірність того, що відхилення випадкової величини похибки X, розподіленої за нормальним законом не перевищить 8 :

2фГ

Р(\Х\ <8) = 2Ф —  ,    або    Р(\Х\ < 4)

хФ(0,2) = 2-0,0793 = 0,1586. Отже, /? = 0,1586; q = 1-р = 0,8416. Тоді Д.4) = 1 -(1 -£>)3 =1-0,84163 =0,40433.

4.9.3. Випадкова величина X розподілена нормально, при-чому a = 0 і середнє квадратичне відхилення = с .

Знайти значення a, при якому ймовірність того, що X прийме значення, яке належить інтервалу   (а, /?) ,   (а > 0, Р>а), буде найбільшою.

Вказівка.     Скористатися     формулою     Р(а < х < /?) =

= і^-1

a

 <р(а)

 

Розв’язок.

Імовірність нормально розподіленої випадкової величини в заданому інтервалі знаходиться за формулою:2л 0

Р(а <х</3) = ф

а-а

/3-а

<7

. а-а

 (J)      

a

р-а

г    _z 2е  /2dz

 

[2х

I  е   /2dz = (p(a).Для знаходження а знайдемо критичні точки продифе-ренціювавши функцію (р(а) (означені інтеграли) по змінній-верхній межі і прирівняємо її до 0:42ж

\( Р-a\( Р-a

1 [ a—a \ ( а-a

2\   a   ) {    a

           

0 , або1 ( a-a

2y   a

\( Р-a

2\   a

Р-a

a2

if/3-a 2y   a

a

a -

e

-e

або

a -a     e

           

= e

(a-P)(a+p-2a)

u

1 [ a-a

2\   a

P-a

e

Прологарифмувавши вираз за основою е, отримаємо:

,   а-a     (а-Р)(а + р-2a)

In         =          ^^       

P-a      2а2

2     (сс-Р)(сс + Р-2a)

звідки a   =     {zl          або

2 In

a-a P-a

a =(a-P)(a + f3-2a)

2 In

a-a P-a

4.9.4. Автомат штампує деталі. Контрольована довжина деталі Х розподілена нормально з математичним сподіванням рівним 50 мм. Фактична довжина виготовлених деталей не менша 32 і не більша 68 мм.

Знайти ймовірність того, що довжина навмання взятої деталі:

а)         більша 55;

б)         менша 40 мм.Розв’язок.

З фактичної довжини деталей випливає рівність:

P(32<X<68) = 1.

Для знаходження о використаємо рівність:

P(\x-a\<б) = 2Ф — ,   де   8 = \x-a\ = 68-50 = 50

-32 = 18.

f18

Отже, P(\x - 50| < 18) = 2Ф\ —   = 1.Звідси  Ф —   = 0,5; з властивості інтегральної функції

18        18

отримуємо — = 5, отже, G = — = 3,5 .

о          5

(P-a\Ja-

a

Для  знаходження  шуканих  імовірностей  використаємо

Ф

68-50

Отже,

а) P(X > 55) = P (55 < X < 68) = Ф

'55-50

v

формулу: P(а <X < Р) = Ф

 

Ф

3,6    ) Ф(5)- Ф(1,389) = 0,5 - 0,4177 = 0,0823 .

3,6

б) P(X < 40) = P (32 < X < 40) = Ф

32-50

40-50

 

Ф

 

3,6

3,6    ) Ф(5) - Ф(2,778) = 0,5 - 0,4973 = 0,0027.

4.9.5. Випадкова величина Х розподілена нормально з ма-тематичним сподіванням 10 і середнім квадратичним відхи-ленням 5.Знайти інтервал, симетричний відносно математичного сподівання, в який з ймовірністю 0,9973 попадає величина Х в результаті випробування.

Розв’язок.

а = 10; а = 5; Р = 0,9973. д-1

Використаємо формулу:   P(|x-a\<5)= 2ФІ — ,   яка в

числах   набуде   вигляду:    P(|x -10| < 5) = 2ФІ —   = 0,9973,

J5Л    0,9973

звідки Ф —   =           = 0,49865. З таблиць №2 знаходимо

\а)        2

—        = 3, або £ = 30.

a

З імовірністю Р = 0,9973 випадкова величина буде знахо-

дитись в інтервалі   (a-За < X < a + За) = (10-3 -5 < X <

< 10 + 3 • 5) = (-5 < X < 2,5) .

4.9.6. Зріст дорослих чоловіків є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Нехай математичне сподівання її рівне 175 см., а середньоквадратичне відхилення

-          6 см.

Визначити ймовірність того, що хоча б один з випадково вибраних п'яти чоловіків буде мати зріст від 170 до 180 см.

Розв’язок.

Згідно умови задачі математичне сподівання а = 175, се-редньоквадратичне відхилення а= 6; n = 5; a = 170; /? = 180. Необхідно обчислити P5 (k > 1) .

Події   (k = 0) і (k > 1)  - протилежні. Тому P5(k = 0) +

+ P5(k>\) = \. Тоді P5(k > 1) = 1 -P5(k = 0) = 1 -(1 -p)5.

Оскільки випадкова величина розподілена за нормальним законом, то імовірність р рівна імовірності знаходження її в інтервалі (a, fj):ct

Підставивши

(Р-аЛ      fa-

Р(сс<Х<Р) = Ф     ^\-Ф

числові дані, отримуємо:

Р(\70 < X < 180) = Ф\              - Ф\     = Ф\— -

V       6       )       \       6       )       \6)

- Ф\ —   = 2ФІ -  = 2Ф(0,8333) = 2 • 0,2976 = 0,5952.

Отже, р = 0,5952, q = l-p = l-0,5952 = 0,4048. Остаточно, Р5(£>1) = 1-(0,4048)5 =1-0,01087 = 0,98913.

4.9.7. Який процент конденсаторів з числа відібраних з відхиленням ± 20%, які підлягають нормальному закону роз-поділу величин, буде мати відхилення від номіналу в межах від 0 до +1% (передбачається, що весь діапазон відхилень конденсаторів становить 3 a)?

Розв’язок.

Оскільки відхилення від номіналу не мають система-тичної похибки, то математичне сподівання відхилення a = 0.

20%

Згідно умови задачі 20% = 3<т, звідки  a =            = 6,667%.Оскільки випадкова величина відхилення X розподілена за

1-0 v^667

a

(Р-аЛ       (а-

а

нормальним законом, то

 

Ф

Р(0 < X < 1%) = Ф

 

0-0

Ф

Ф(0,1499) - Ф(0) = 0,0596,

6,667 що буде відповідати приблизно 6% конденсаторів.

4.9.8. При 10000 підкиданнях монети «тризуб» випав 5400 разів. Чи слід вважати, що монета несиметрична?Розв’язок

Число випробувань рівне n = 10000. Ймовірність випадан-ня “тризуба” в кожному підкиданні монети рівна р = 0,5. Тоді математичне сподівання числа випадань “тризуба” рівне М(Х) = пр = 10000 х 0,5 = 5000;  дисперсія числа випадань

“тризуба” рівна D(X) = прq = 5000 х 0,5 = 2500;   середньо-

квадратичне відхилення и(Х) = ->JD(X) = л/2500 =50.

Враховуючи, що число випробувань достатньо велике, можна припустити, що випадкова величина Х - число випа-дань “тризуба” розподілена за нормальним законом. Тоді імовірність відхилення значень випадкової величини Х від її

математичного сподівання на величину   ^5" = І5400 — 5000І =

= 400     рівна     P(\X -M(X)\ <б)= 2Ф\ —  = 2Ф\     =

V<3V  V 50 )

= 2Ф(8) = 2-0,5 = 1.

Отже, монета несиметрична. Можна також застосувати правило “3-ох a ", згідно якого імовірність відхилення випад-кової величини від свого математичного сподівання більш ніж на Зсг мала: Р(\ Х-M(X) \> Зсг)«0,027 або Р(\Х-M(X)\<За) = 0,9973. Оскільки Зсг = 3-50 = 150 < < 8 = 400, то ймовірність відхилення близька до 1.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_1d864756196fbe0dc898cde11ae6f614, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0