4.9. Нормальний розподіл


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Нормальним називають розподіл імовірностей неперерв-ної випадкової величини, якщо її густина розподілу опи-сується такою формулою:

(х-а)2

f(x) =т=е   2а    , де a = М(Х), a = JD(Х)     (4.9.1).

Нормованим називають нормальний розподіл з парамет-рами а = 0 і a = 1. Функція F(x) нормального розподілу

1          х       (z-a)2

F(x) =1= \е   2а1 dz    (4.9.2),

алІ2ж Jrxi

а функція нормованого розподілу F0(x) =т= \е  2 dz

(4.9.3).

Отже, F\х) = F0((x - a) I a) (4.9.4). Враховуючи те, що

інтегральна функція Лапласа     Ф(х) =   ^\е  2 dz   (4.9.5)[2ж

затабульована, то F0(x) = 0,5 + Ф(х) (4.9.6).

Графік щільності нормального розподілу описується кри-вою Гаусса і має такі властивості: 1) функція означена на всій числовій осі; 2) fix) > 0; 3)   lim f(x) = 0; 4) у точці х = а

функція fix) має максимум, що рівний \/сгл/2ж; 5) fix) -симетрична відносно х = а; 6) точки графіку х = а-а і х = a + а є точками перегину; 7) зростання математичного сподівання а приводить лише до зсуву нормальної кривої вздовж осі ОХ вправо, спадання - до зсуву вліво без змін форми. З зростанням с нормальна крива стає більш пологою (плосковершинною), тобто максимум функції спадає, при зменшенні а нормальна крива стає більш гостровершинною, тобто максимум функції зростає (рис. 4.9.1).

Рис. 4.9.1.

Імовірність попадання в заданий інтервал (а, /?) нор-мальної випадкової величини визначається рівністю:

(Р-aЛ       (а-

P(сс<Х<Р) = Ф—-\-Ф                      (4.9.7).

V   о   )       \   о   )

Імовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини Х за абсолютною величиною менше на-перед заданого будь-якого малого додатного числа 8 визна-чається рівністю:

P(|Х-a|<8) = 2Ф\ — \ (4.9.8).

В частковому випадку при а = 0, P(| Х |<S) = 2Ф\ —

(4.9.9) .

В попередній формулі покладемо 5 = at, t = 1, 2, 3, 4, 5.

Отримаємо:

P(|Х -a |< 8) = 2Ф(1) = 2 • 0,34134 = 0,68268;

P(| Х - a |< 28) = 2Ф(2) = 2 ■ 0,47725 = 0,95450;

P(Х-a|<38) = 2Ф(3) = 2• 0,49865 = 0,99730 ;

P(| Х - a |< 48) = 2Ф(4) = 2 ■ 0,499968 = 0,99936;

P(| Х - a |< 5^) = 2Ф(5) = 2 • 0,499997 = 0,999994 .Як видно з обчислень, імовірність того, що абсолютна ве-личина відхилення не перевищить потроєне середнє квадра-тичне відхилення рівна 0,9973, що близько до одиниці. Лише в 0,27% випадків так відбутися не може. Правило 3-ох сігм. Якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсо-лютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевищує потроєне середнє квадратичне відхилення.