Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_fad551e460f9c6e7af993b162eaa28f4, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
Задачі : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.8.1.   Неперервна  випадкова  величина Х в   інтервалі (0; оо) задана щільністю розподілу f(x) = a ■ е~т, a > 0.

Знайти ймовірність того,  що Х прийме  значення, яке належить інтервалу (1; 2).

Розв’язок.

Обчислимо дану імовірність згідно формули: р

Р(сс<Х < Р)=\ f(x)dx.

a

Отже:

2          2          2

Р(1<Х <2)= Г cce~mdx = -\ e'axd(-ax) = -e'ax\   =

363-ax -la        -la

— Є     \   — e      —e      —

1      ea -1

^^^

4.8.2. Випадкова величина X має показниковий розподіл з параметром Л = 1/3.

Обчислити ймовірності:

а).Р{Х> 3};

б)Р{Х > 6/Х > 3};

в)Р{Х > t + 3/X > t).

Розв'язок.

а) Події (Х > 3) і (X < 3) є протилежними, отже,

Р(Х > 3) + Р (X < 3) = 1.

Звідки,    Р(Х > 3) = 1 - Р(Х < 3) = 1 - Р(0 < X < 3) = 1 - —

е'

 і

(е-^-е-^) = 1

 

= 1-(е°-е_1) = 1-1 + е-

б) Розкриємо нерівність в дужках:

х > — > 3,  х  > 6 > Зх; звідки х > V6; ( х < -V6 не під-х

ходить, оскільки у показниковому законі розподілу х > 0)   і х < 2. Події (х < 2) і (х > л/б) несумісні. Отже,

Р х> —>3   = Дх<2) + Дх> V6) = Д0<х<2) +

V      х      )

 - 1.0

е 3   -е 3

+

Р(4б < X < оо)

            2   I       [         V<5

е 3     -е 3

J

= 1-

-е 3 +еV з

= 1 - 0,51342 + 0,44198 = 0,92856.

в) Розкриємо нерівність в дужках:

3          2

x>t + —>t^-x   > xt + 3 > xt, що приводить до сис-

X

теми нерівностей:або

х2-йс-3>0       [(x-Xj)(x-x2)>0tx>0

 

x(x -1) > 0

де

 

X,  =t-^jt2 + 12<0,

 

t + ylt2 +\2

x2 =     > 0.Це приводить до розв’язку

I X > Xj,    x > x2 I x > 0,    x > ґ

що оста-

ґ + л/ґ2 +12

 

точно дає x > x2Розв’язок   Х<Ґ,   X<Xj<0   не   підходить,   оскільки  у показниковому законі розподілу х > 0.

t + y/t2 +\2

           

х>Отже, Р х > ґ + — > ґ \ = Р

х

           

P

t + ліі2 +\2

<х<оо

е

U t + -\Jt2 +\2

CO     

M-V*  +12  2

4.8.3. Час Т безвідмовної роботи двигуна автомобіля роз-поділений за показниковим законом. Відомо, що середній час безвідмовної роботи двигуна між технічним обслуговуванням рівний 100 годинам.

Визначити ймовірність безвідмовної роботи двигуна за 80 годин.

Розв’язок.

Нехай випадкова величина Х – час безвідмовної роботи. Середній час безвідмовної роботи рівний його математичному сподіванню: М(Х) = 100.

Тоді імовірність безвідмовної роботи за 80 годин рівна згідно формули для показникового закону:

P(a<X<P) = e

Оскільки M(X) = —, то A = =          = 0,01.

Л         M(X)     100

Отже, P(0<X<80) = e-0001 -е-шом = 1 -e-°8 = = 1-0,4493 = 0,5507.

4.8.4. Проводяться випробування двох незалежно пра-цюючих один від одного приладів. Час Т безвідмовної роботи кожного приладу має показниковий розподіл, щільність ймо-вірності кожного з яких має такий вигляд:

f(t) = \ h           при t > 0,

1°        при t < 0;

/2 (0

\Л2е~^'           при t > 0,

[0         при t < 0 .

Знайти ймовірність того, що за час t0:

а)         обидва прилади не вийдуть з ладу;

б)         хоча б один прилад вийде з ладу.

Розв’язок.

а) Шукана імовірність Р(А) - це імовірність того, що про-тягом часу t0 будуть безвідмовно працювати перший прилад -подія Аі і другий прилад - подія А2. Тоді Р(А) = Р(Аг А2). Оскільки події А1 і А2 незалежні, то Р(А) = Р(Аг) Р(А2).

Для обчислення імовірностей Р(А\) і Р(А2) використаємо інтегральні функції, які будуть мати вигляд:

ч          ч

Pl(t<t0) = Fl(t0)=\ Aie~A'dt = -[ e~A'd(-Alt) =

0          0

t0         0

= e~A'\   =e~*\   =l-e~A'°.

0          t0

Аналогічно, P2 (t < t0) = F2 (t0) = 1 - е~Чй.Імовірності Р(Аі) = Р\(t > t0) і Р(А2) = Рi(t >t0) знайдемо з рівнянь:

Р\{t > t0)+ Р\{t ≤ t0) = 1;

Рi{t > t0) + Рi{t ≤ t0) = 1;

P(AX) = l-P1(t < t0) = l-F1(t0) = l-(l-e~A'°) = e~At".

Аналогічно,   P(A2) = е~Лі'°.   Остаточно   P(A) = e~kh x

б) Нехай P(A) - імовірність шуканої події. Події: A -хоча б один прилад вийде з ладу і A - жоден прилад не вийде з  ладу  є протилежними,  так що   Р(А) + Р(А) = 1.   Отже,

Р(А) = 1 - Р(А) = 1 - е<А+Яі)ч .

4.8.5. а) Довести, що якщо неперервна випадкова вели-чина розподілена за показниковим законом, то:

а)         ймовірність того, що Х прийме значення, яке менше

М(Х), не залежить від величини параметру Л ;

б)         Знайти ймовірність того, що Х > М(Х).

Розв’язок.

а) За означенням Р(Х < х) = F(x), отже, Р(Х < М(х)) =

= F(x).  Обчислимо вирази для інтегральної функції F(x) і М(Х):

XX      X

F(x) = f f(x)dx = Г Ae'^dx = - f e'^di-Ax) =

0

 

xCO    CO      CO

M(X)=\ xf(x)dx=\ xAe~*xdx = -\ xe~^d{-Xxy

0          0          0

-f xd(e^) = \x = u;d(e^) = du;v = e~**\ =367

/           CO      \           1

= - хе~Ьі\ -f e~^dx  = f e~**dx =       f е^й^-Лх) =

V         °    o    )    o     ^ o

1  *      1          °     1

= —    e    a(-Ax) =—e       =—.

л{        A     l   Л

1-        -;&      x          x

(Тут використано:   hmxe      = lim —— = lim—— = 0 за

X^co   x^co e  x^oo fa

правилом Лопіталя).

Таким чином, P(X < M(Х)) = P\ X < —   = F\ —

. 1

A —

 

e l = 1 - е не залежить від параметру λ. б) Для знаходжен-ня Р(Х>М(Х)), що аналогічно Р(Х>М(Х)), оскільки Р(Х = х) = 0, скористуємось рівністю: Р(Х< х) + Р(Х > х) = 1. Звідси, /'(Х > М(Х)) = 1 - Р(Х < х) або ДХ > М(Х)) = 1 -- F(M(Х)) = 1 - (1 - е) = е.

4.8.6. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення показникового     закону,     заданого     функцією     розподілу

F(x) = l-e^Ax, х>0. Розв’язок. Обчислимо       функцію       щільності        f(x) = F'(x) =           

\\-е 0Ах) = ОАе 0Ах . Отже,   Л = 0,4 . Тоді М(Х)

ю         1     f 10 1

= — = 2,5 і D(X) = —  = \ —     = 6,25 .

4          Л      у 4)

4.8.7. Час Т виявлення цілі локатором розподілений за показниковим законом.

Знайти ймовірність того, що ціль буде виявлена за час від 5 до 15 с. після початку пошуку, якщо середній час виявлення цілі дорівнює 10 с.Розв’язок.

Якщо час Т розподілений за показниковим законом, то

-Ях      1

щільність ймовірності  f(x) = Ле     . Оскільки, М(Х)

то A = = — = 0,1.

М(Х)     10

Ймовірність виявлення цілі в даних межах часу обчис-

лимо згідно формули: Р(а < X < b) = e~M -е~ж . Підставив-

ши дані, отримаємо,   Р(5 < X < 15) = е~0,1'5 -е~0,115 = е~0,5 -

-е~1,5 =0,6065-0,2231 = 0,3834.

4.8.8. Функція розподілу неперервної випадкової величи-ни Х (час  безвідмовної  роботи  деякого  пристрою)  рівна

-X

f(x) = 1-eT , х > 0.

Знайти ймовірність безвідмовної роботи пристрою за час х > Т.

Розв’язок.

Події    (X > Т)    і    (X < Т)    є   протилежними,    тому

Р(х >Т) + Р(х < Т) = 1, звідки Р(Х > Т) = 1 - Р(Х <Т) =

1-е

V         J

= 1 - р(0 < X < Т) = 1 - [F(T) - F(0)] = 1 -

= е~1.

= 1-(1-0

1-е

Т          0

т



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_fad551e460f9c6e7af993b162eaa28f4, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0