Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.7.1. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини, Х розподіленої рівномірно в інтервалі (2; 8).

Розв’язок.

Функція щільності рівномірного закону розподілу має

вигляд:

1          11

f (x)

 

Ь-а     8-2     6 Тоді:

,./^       Г          Г          1    ,     1     X28          1          2          2

М(Х) =   xf(x)dx =   х • -ufx = = —(8 - 2 ) = 5;

a          2          6          6      2   2        12

T-W-^ Г     2   2,         Г     2      1      2          1      ^    8

/)(Х)=   х f(x)dx-M (х) =   х --dx-5  =

a          2          6          6      3    2

 

25 = —(83-23)-25 = 3; 18

сг(Х) = TJD(X) = л/зТ

4.7.2. Знайти середнє значення і дисперсію добутку двох незалежних випадкових величин X і Y з рівномірними зако-нами розподілу: Хв інтервалі [0, 1], Y - в інтервалі [1, 3].

Розв’язок.

Якщо випадкові величини X і Y незалежні, то матема-тичне сподівання їх добутку рівне добутку їх математичних сподівань: М(Х ■ Y) = М(Х) ■ M(Y) .

Але математичне сподівання випадкової величини Х роз-поділеної за рівномірним законом рівне половині суми кінців

,^^      а + Ь

інтервалу [а,Ь\. М(Х) =         .,,ґлг     0 + 1     1                   1 + 3

ТомуМ(Х) =   = -;   M(Y) =   = 2.

2       2 2Отже, М(Х-7) = —-2 = 1.Для обчислення дисперсії D(X ■ Y) скористаємося фор-мулою:

D(X ■ Y) = М(Х ■ Y)2 -М2(X ■ Y) = М(Х2 -Y2)-

2          2          2          2          2          2

-М (X) ■ М (Y) = М(Х ) ■ M(Y ) -М (X) ■ М (Y).

Підставимо   у   формулу   значення   М2(Х)    і   M2(Y) випадкових величин, розподілених за рівномірним законом:

, ,,^1    Г     2   Г     2   1          1          X3

М(Х )=\х ■f(x)dx=\x   dx =     =

ь b3-a3     (b-a)(b2 +ab + a2)    b2 +ab + a2

J          {       Ь-а         Ь-а   3

           

3(b - a)            3(b -a) 3

звідки

2      l2 +0-1 + 02     1 2      32+l-3 + l2     13

M(X) =            = -;   M(Y) =   = —

3          3          3          3

 ґ -. \2

 ,n        1      13            [    1    1          2          4

Отже, D(X • 7) =       —    • 2  = — .

3    3     \2        9

Дисперсію D(X ■ Y) можна також обчислити за форму-

лою:

D(X ■ Y) = D(X) ■ D(Y) + M2(X)■ D(Y) + D(X)-M2(Y),

 (b-af   (1-0)2      1

де     D(X) =    ,    звідси     D(X) =        = —;

12        12        12

 (3-1)2     1

D(Y) =     = -.

12        3

/,\2     ,

 ,n        1        1        [    1    1  1          2      1  4

Остаточно, D(X • 7) =          +   —    • - + 2  • - = —.

12   3    [2      3           3     94.7.3. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл з математичним сподіванням М(Х) = 3 і дисперсією D(X) =

= уі . Знайти функцію розподілу випадкової величини Х .

Розв’язок.

Рівномірний розподіл задається двома параметрами: a -початком і Ь - кінцем інтервалу. Математичне сподівання М(Х) і дисперсія D(X) випадкової величини, що задана рівномірним законом розподілу відповідно рівні:

'    ,т^     a + b

М(Х) =            = 3,(Ь - а)2     4 3'D(X)

Отже, для отримання оцінок a і Ь маємо систему рівнянь:

(Ь + а = 6,

<          , звідки ,6 = 5,а= 1.

[Ь-а = 4,1        1

Таким чином, функція щільності рівномірного розподілу

при 1 < х < 5 .

 

має вигляд: f (x)

Ь-а    5-1     4

Тоді інтегральна функція буде мати вигляд: F(x)=\ f(x)dx=\   —dx = —x\   =—(х-1);

J          J

0   при x < 1; x-1

F(x) = <

4 1   при   x>5.

при 1<х<5;

f(x) = <

4.7.4. ВеличинаХмає щільність розподілу/fxj:

1          , якщо a < x < b,

b-a 0

якщо х < a або x > bОбчислити її математичне сподівання і дисперсію. Розв’язок.

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини Х згідно формул рівна:

 Г         Rr xdx  х2      fe      b2-a2

M(X)=\x-f(x)dx=\        =              =      =

Ja         0b~a    2(b-a) a     2(b - a)

(b- a)(b + a)    a + b

2(b - a)

b   2     r x2dx  x3       b

M(X ) =   x • f(x)dx =              =         

J          J (b-a)    (b-a)-3

(b - a)(b2 + ab + a2)    b2+ab + a2

 

            =          ;

3(6 - a)            3

b +ab + a       a + b

D(X) =M(X )-M (X)

3          ^2

a2 - lab + b2     (a- bf     (b - a)2

 

             zz         zz       

12        12        12

Середньоквадратичне відхилення  <J(X)   рівне   o(X) b-a

 

2л/з

■yjD(Х)

4.7.5. Ціна поділки шкали вимірювального пристрою 0,2. Покази пристрою округлюються до найближчого цілого чис-ла.

Знайти ймовірність того, що при вимірюванні буде зроб-лена похибка:

а) менша 0,04; б) більша 0,05.

Розв’язок.

Нехай А – описана подія. Похибку заокруглення відліку можна розглядати, як випадкову величину Х, яка розподілена рівномірно в інтервалі між двома сусідніми цілими поділ-ками. Щільність рівномірного розподілу  Дx) =   = — =

b-a    0,2

= 5. При відліку буде зроблена похибка: а) менша 0,04, якщо покази приладу округлені до попередньої з двох сусідніх поділок, тобто до 0, так що випадкова величина X є (0; 0,04) - подія А1 або покази округлені до наступної поділки, тобто

до 0,2, так, що Xє (0,16; 0,2) - подія А2. Таким чином P(A) = P(A1) + P(A2), як сума імовірностей несумісних подій.

Оскільки P(a < X < b) = b f(x)dx , то

a

P(A) = P(0 < X < 0,04) + P(0,16 < X < 0,20) =

0,04     0,2       Q g4    Q j

= 5 Г dx + 5 \dx = 5x \ +5x \  = 5 • 0,04 = 0,4 .

0          0,16

б) Похибка відліку перевищить 0,05, якщо вона буде зна-ходитись в інтервалі (0,05; 0,15). Імовірність такої події рівна:

°f         0,15

Р(0,05 < X < 0,15) = 5   \ dx = 5x  \   =5-0,1 = 0,5.

0,05     °-05

4.7.6. Автобуси деякого маршруту йдуть чітко за розкла-дом. Інтервал руху - 5 хв.

Знайти ймовірність того, що пасажир, який підійде до зупинки буде чекати автобус менше 3 хв.

Розв’язок.

Якщо інтервал між приходом двох автобусів складає 5 хвилин, то щоб пасажир чекав не більше 3 хвилин, він по-винен підійти на зупинку не раніше ніж 5 - 3 = 2 хвилини піс-ля відходу попереднього автобуса. Імовірність такої події А рівна

P(A) = P(2 < X < 5) =   f(x)dx =   -dx = -\dx =

2          2 5       5 2

360= 0,2x1 =0,2x3 = 0,6.Цю ж імовірність можна обчислити згідно геометричного означення імовірності:

,           Аl     3

P(A) = — = - = 0,6 .

I           5

4.7.7. Годинникова стрілка електричного годинника рухається стрибками в кінці кожної хвилини. Знайти імовірність того, що в даний момент часу годинник покаже час, який відрізняється від істинного не більше, ніж на 20 с.

Знайти математичне сподівання функції Y = q(x) = X2 (не знаходячи попередньо щільності розподілу Y).

Розв’язок.

I           спосіб.

Нехай A - описана подія. Похибка відліку часу складає не більше 20 секунд, якщо вона буде в інтервалі А1 = (0; 20) або

А2 = (40;60).   Тоді згідно геометричного означення імовір-

ності:

,         Al     А, +А9     20 + 20     2

P(A) = — = —           =         = - .

II         60        3

II         спосіб.

Істинний час є випадковою величиною X, яка рівномірно розподілена в інтервалі між двома сусідніми хвилинними по-

ділками. Щільність рівномірного розподілу   f (x) =          =

b-a

= —. Тоді P(A) = P(0 <X <20) + P(40 <X <60) = 60

2г 1     бг 1     1    2,°     1    6,°    20     2

=   —dx+       dx = —x \-\       x \ = — = —.

^60        J 60        60    о    60   40    60     34.7.8.   Рівномірно   розподілена   випадкова   величина  Х

 1 задана     щільністю     розподілу     f(х) =—      в     інтервалі

2/ (а-1;а + 1); поза цим інтервалом fix) > 0.

Знайти математичне сподівання і дисперсію Х. Розв’язок.

Оскільки крива розподілу щільності імовірності симет-рична відносно прямої х = а, то М(Х) = а. Тоді функція щіль-

ності має вигляд: /(/) = — в інтервалі (а-1;а + 1).

2/

Обчислимо дисперсію:

D(X)

[а + 1-(а-/)]2     (llf     I2

12        12        3