Частина І Випадкові події §1. Основні поняття теорії ймовірності 1.1. Простір елементарних подій. Відношення між подіями


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Подією в теорії ймовірностей називають довільний наслідок або результат будь-якого випробування, спостере-ження, стохастичного експерименту (який можна повторити будь-яку кількість раз), який може наступити (відбутись, здійснитись), або не наступити, тобто результат випробування не можна напевне передбачити.

Якщо в усіх випробуваннях дана подія обов’язково від-бувається, то вона називається достовірною, якщо в усіх ви-пробуваннях дана подія ніколи не може відбутись, то вона на-зивається неможливою. Випадковою називається подія, яка в результаті випробування може як відбутися, так і не від-бутися. Дві або декілька випадкових подій називаються рівно-можливими, якщо умови їх появи однакові і вони мають однакові шанси відбутися. Нерозкладні події називаються елементарними. Для кожного випробування можна вказати деяку сукупність (множину) можливих наслідків - елементар-них подій, що виключають одна одну, причому в результаті одного випробування повинна відбутись одна будь-яка з них. Така сукупність (множина) називається простором елемен-тарних подій і позначається буквою Q,, а події, що в нього входять - елементарними подіями або точками простору Q і позначаються буквами ті або а> . Сама множина Q є вірогід-

ною (достовірною) подією, порожня множина 0 - немож-ливою подією. Простір елементарних подій Q може бути зліченним або скінченним, якщо кожній елементарній події можна покласти у відповідність деяке натуральне число п. Такий простір Q називається дискретним. Простір елемен-тарних подій, який складається з нескінченного числа еле-ментів, які не можна пронумерувати, називається неперерв-ним. Простір елементарних подій може бути скінченною, нескінченно зліченною або незліченною множиною.

Дві або декілька подій називаються сумісними (несуміс-ними), якщо у випробуванні поява однієї з них не заперечує появи (непояви) решти подій, або хоча б дві з них можуть відбутися одночасно.

Група несумісних подій Аь А2 ... А„ називається повною групою подій, якщо в результаті випробування обов’язково наступить одна і тільки одна подія цієї групи. Кожна еле-ментарна подія CO простору Q повинна входити в склад однієї і тільки однієї з подій повної системи Аи А2 ... А„. Вся множина Q, елементарних подій Сд , що описує дане випробу-вання, завжди утворює повну групу подій.

Операції над подіями - це операції над підмножинами, так що звичайні властивості операцій над множинами переносяться на операції над подіями.

Запис А^В(читається: А підмножина В) означає, що кожен елемент множини А належить множині В. Множини А і В називаються рівними (А = В), якщо А сВ і В a А. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою 0 .

Сума (об’єднання) А VJ В множин А і В є множина тих і тільки тих елементів, які належать принаймні одній з множин А і В.

Добуток (переріз) АглВ множин А і В є множина тих і тільки тих елементів, які належать і А, і В.

Різниця А\В множин А і В є множина тих і тільки тих елементів, які належать А і не належать В.

Доповнення А до множини А є множина тих і тільки тих

елементів множини Q, які не належать А(А = Q.\А).

Симетрична різниця ААВ множин А і В є множина (А\В)^J(В\А).

Множини А і В не перетинаються, якщо А n В = 0 .Випадкові події геометрично ілюструють з допомогою діаграм Ейлера-Венна, на яких простір елементарних подій Q зображають у вигляді квадрата, а подій - у вигляді кругів.

На рис. 1.1 о зображені сумісні події, на рис. 1.16- несу-місні події. Подія А є окремим випадком В (або В є наслідком А): А^В, якщо всі елементарні події, які входять в А, входять також у В (рис. Lie).

Якщо АcВ і В <^А, то А = В; якщо АсВ і ВсС, то

Сумою або об’єднанням двох подій А і В називається така подія С, яка полягає в настанні події А чи події В, чи подій А і В разом (рис. 1.1 г). Умовний запис такий: С = А + В або С = = А[}В = щсо єА абоВабо і А, і В)   (1.1.1).

Сумою або об’єднанням будь-якого числа подій Аh Ах ... А„ називається подія С, яка полягає в настанні хоч би однієї з

п          п

цих подій і записується так: С = ^] Д або С = [J Д. (1.1.2).

і=\        і=\

Добутком або перетином двох подій А і В називається подія С, яка полягає в настанні і події А і події В (рис.1.1 д).

Умовний запис: С = АхВ = АВ або С f] В = {а>\а> є А і В) (1.1.3). Добуток подій АХіАх .А„ полягає в одночасному на-

П

станні   всіх   п   подій   і   записується   так:    С = ]^[А.    або

і=\ п

С = Р|Д  (1.1.4).

г=1

Різницею подій А і В називається подія С, яка полягає в тому, що подія А відбувається, а подія В - ні (рис.1.1 е).

Симетрична різниця С = ААВ зображена на рис. 1.1 е, є такою подією, в яку входять ті елементарні події, які входять в А чи В, але не входять в їх перетин Ac В. Отже симетрична різниця може бути представлена таким чином:

С = ААВ = (А\В)^(В\А) (1.1.5).

а

б

 

в

г

 

є

Рис. 1.1.

жПротилежною подією А для події А або доповненням до А називається подія, що складається з усіх елементарних

подій, які не входять в А: А = {а> єА]={а> GQ\А] (рис .1.1 ж).

Події А і В називаються несумісними, якщо А • В — 0 (рис.1.1 б).

На рис.1.1 ж зображена повна група подій.

В табл. 1.1 подана відповідність основних понять теорії множин в теорії імовірностей.

Таблиця 1.1.

 

Позначення   Термінологія в теорії множин         Термінологія в теорії ймовірностей

Q         простір (основна множина)            простір елементарних подій, достовірна подія

0,0єП  елемент простору (0 елементарна подія а>

А,А^Q            множина А    подія А

АVJВ А + В    сума або об’єднання множин А і В            сума подій А і В

АглВ,АВ         перетин множин А і В         добуток подій А і В

А\ В     різниця множин А і В          різниця подій А і В

1          пуста множина         неможлива подія

А         доповнююча множина А    протилежна до А подія

АВ = ±            А і В не перетинаються       А і В несумісні

А^В     А є підмножиною В з А випливає В

А = В  А і В рівні       А і В рівнозначні

8