Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.5.1. Задана щільність розподілу випадкової величиниХ:

при х < 0,

х2        при 0 < х < 1,

х(2-х)2            при 1 < х < 2,

            при х > 2 .

f(x) = <

0 3 2 3 2 0

Знайти:

а)         початкові і центpальні моменти пеpших чотиpьох

поpядків;

б)         асиметpію і ексцес цієї випадкової величини.

Розв’язок.

Графік даної функції подано на рис. 4.5.3.

 

1,5

1,01,0  2,0

Рис. 4.5.3.

х

а) Початкові моменти k-ого порядку неперервної випад-кової величини, що задана щільністю розподілу f(x) будемо обчислювати згідно формули:co    1          2

vk = M(Xk) = \xkf(x)dx=\xkf1 (x)dx+\xkf2 (x)dx,

-co       0          1

дек= 1, 2, 3, 4. Отже,

v1 =М(Х)=   х/ (x)dx +   х/2 (х)<Ях = \x--x dx +

0          1          0      2

+ \x- — {2-xfdx = — fx3dx + --4fxdx            4fx2dx +

■1     2 2J0      2    •1  2    •[

32   3        3   x4 1        x22       x32    3   x42     3

+ -   xdx =       +6        -6        +          =- +

21        2   4 0        2 1 3  1    2   4 1     8

+ 3 • (4 -1) - 2 • (8 -1) + - • (16 -1) = 1.M(X) = 1 підтверджується симетричністю функції віднос-

но х = 1.

v2=M(X2)= fx2/1 (x)dx+ \x2f2 (x)dx= \x2 - — x2dx +

0          1          0          2

fx2--( 2-x ) 2dx = -fx4dx + --4fx2dx   4fx3dx

1       2 20        2     1   2     1

3 2   4        3   x5 1        x32        x4 2    3   x5 2      3

-   xdx =          +6        -6        +          = —

2i         2   5     3          4       2   5        10

 3         3

+ 2 • (8 -1)      (16-1) + — (32 -1) = 1,1.

2          10v3 =M(X3)= fx3/ (x)dx+ fx3/2 (x)dx= fx3--x2dx

0          1          0          2

+ Гх3 --( 2-x ) 2dx = — fx5dx + --4fx3dx     4fx4dx +

\       2  2J0      2    \     2    \3 r  ,        3   x61    6    42        x5 2    3   x6 2     1

+ - \xdx =        + — -x\ -6       1 +       1   =- +

2          2   6       4        5  i    2   6 i     4

3                  6  1

+ -•(16-1)       (32 -1) + - • (64 -1) = 1,3.

2          5          4

2          1

v4=M(X4)= \xAfx (x)dx + \x4f2 (x)dx = [x4- — x2dx

i           o        2

fx4--( 2-x ) 2dx = —fx6dx + --4fx4dx            4Jxdx

1          2          20        2        1            2        1

3 r  6        3   x7 і       x5 2       x6 2    3   x72      3

+ - \xdx =        +6—   -6         +          = — +

2\         2   7 o       5  j  6 j    2   7  j     14

6          3          5722

+ - • (32 -1) - (64 -1) + — (128-1) = — = 1 —.

5          14        35      35

Центральні моменти обчислимо використовуючи форму-ли, що виражають центральні моменти через початкові.

Центральний   момент   першого   порядку   рівний   нулю:

третього   -   /u3=v3- 3vj • v2 + 2vf = 1,3 - 3 • 1 • 1,1 + 2 • l3 =

другого - ju2 = D(x) = v2 - v2 = 1,1 -12 = 0,1;

т 0;четвертого     -      jU4=v4- 4vj • v3 + 6vj2 • v2 - 3v 4 =1        

 ,          ,2         1

- 4 • 1 • 1,3 + 6 • Г • 1,1 - 3 • 1 = —.б) Асиметрію As обчислимо за формулою:

A  = — =3 , =—т = 0

S          з          з/         з/         •

ju3        ju3      0

            =          т =      

3          3/

CT      (//2)        (0,1) Ексцес обчислимо за формулою:1/

i/

E„ =Щ--3 = ^-Ц--3

a          V2

           

l

35(0,1)2

 

           

100 35-1

 

           

4.5.2. Знайти теоретичний центральний момент 3-го по-рядку М[Х-М(Х)] показникового розподілу.

Розв’язок.

f(x) = Ле~^; М[Х -M(X)f = /и3.

Виразимо центральний момент ju3 через початкові:

 

M[X-M(X)f = М[Х3 -ЗХ2 -М(Х) + ЗХ-М2(Х) -М3 (Х)\ = М(Х3) - ЗМ(Х2) • М[М(Х)]+ЗМ(Х) х хМЩ2(Х)\-МЩ3(Х)\ = М(Х3)-ЗМ(Х2)-М(Х) + + ЗМ(Х) -М2(Х) -М3 (X) = v3- 3v2 ■ vx + 2v3.

Отже,  ju3 =v3 - 3v2vx + 2v3.

00        00        00

 

           

v3 =M(X3)= \x3f(x)dx = \х3хЯе Axdx = -\x3d(e ^)

00        0

r  ,        ,       x3 =u;d(e^) = dv;       ,    , °     °r   ,    ,

\x3d(e^) =       =x3e -^\-3\x2e -^dx

f     2    3

Ґ    2       -Ax

x d(e

Л

 

           

(xe-^l-je-^dx)

 

l\xe *xdx) = — \xe *xdx = —-\xd(e **)

Яи

u = x;du = dx;

dv = d(e*x);v = e*x

 

           

6    1

1'J

\e    a{—Ax) = —e     | = —— 0-;

 

М(Х2)=\х2Ае b:dx = -\x2e b:d(-Ax) = -\x2d(e **)

0          0          0

0          0          0          2    0

\x2d(e~Ax) = х2е~Ях |-2\xe~*xdx = — \xd(e^) =

 

-Ax

xe

 

|-\e^dx  = ---\e^d(-Ax) = ^\d(e^)0     20        A  A    A

-Ax

= 2e    | = 2;

 

M(X) = \xAe ^dx = -\xd(e **) = \xd(e Ях) = хе ^

 

-Zx      -Ax      1

 —

0          1    0    1          1

\e^dx = -\e*xd(-Ax) = -\d(e~"x) = -e

A

 

t           A         A         A

Остаточно, 6

 2     1  [1)       6      6      2      2

u3 =—r-3x- x — + 2x  —     = —        + —  = —

A3       A2    A        UJ      Я3    A3    A3     A3

 

4.5.3. Знайти асиметрію As

поділу.

Розв’язок.

           

/j3

<J3(X)

показникового роз-

As    v(X)Але D(X) = a2(X)=M(X2)-M2(X)

2      1       1

=          = — ;   a(X) = JD(X) =—.

A2    A2    A2 y          A

2    Г1

2~{A212 Остаточно, A = — : — = —

s    A3   A    A2

4.5.4.   Дискретна  випадкова  величина Х має  розподіл Пуассона:

Р(Х = т) = А   , га = 0, 1, 2, ...

т!

М3

За означенням As

Знайти: коефіцієнт асиметрії випадкової величини Х Розв’язок.

*          3

С73(Х)

де ju3=v3- 3V1V2 + 2V1

Обчислимо V1 = М(Х) випадкової величини, що розпо-

ділена за законом Пуассона:           

к2

Х   0

 

Р          е~х      2 -і 1!  п2   -Л

A е

2!         …        пк   -А

A е к!

Аке

к-Я

к   -А.  оо

к=1

М(Х) = ^к

к!

к=0

fk-   Хе~А   =е-я-А-У^—

^     к(к-1)!      ^(к-1)

Поклавши к -1 = т, отримаємо:

со     лт

т!

М(Х) = Ав 1V            = Ав V = Л, оскільки ел = V

т=0

т=0

т!

Отже, М(Х) = A .

Обчислюємо v2 =D(Х)=M(X2)-M2(X).

Для цього напишемо розподіл випадкової величини X враховуючи, що імовірності розподілів X і X   рівні.

Х2    02

А2е

Ае

2-Л

Хе

к   -Я

Р

к!

1!

2!

-лк(к-\)\

к\

к=\

M(X2) = ^k

к=0

А Є

к\

 

к=\

           

 

о*-і  -я А    Є

= я£[(*-і)+іЬ

к=\       V         /*

(Покладемо к-\ = т)

CO      ОДГ-1      -X  сО       ОАГ-1

 

+ е~яхея

+1

т

т\

о   w!

А[А

т=0

Ате

^    /Ге_/1     °° /Ге~я

 

            + е    > —

т\         т=0 т\

\=А2+А,

тут враховано, що / т            = А.

т\

Отже, v2 = (A2 +А)- (A)2 = A; a3(X) = x2 = A^A.

 

лк   -

A e

           

Обчислимо V,

k\

k\

M(X3) = f>3^^ = f>

k=0

лк-\   -Я A     Є

k=\

k   -Я

kXe

±ї-

=xb

k=l       (k-l)\k       f^     (k-\)\ Покладемо k-\ = m, звідки k = m +1, тому

M(X3) = АУ (m +1)2 —e~x = АУ    e~x +

           

/и!

m!

ш = 0

ш = 0

да/Г

да/Г1

€-А +

и=0  т\ т=0т\   т=0       (т-\)\т

со        лт—\   со     'інг          со        m—l

            е    +Де-1У —= Д2У(ОТ   1)уГ~е-л +

т-\

Д'

*Z

*-я + 2А2е-я -ея+Ае-я-ея = А2-А + А2Є-яея +

(т-\)\+ 2X2 + X = X3 + ЗХ2 + X,   оскільки

д.

ї           3

Л3 + ЗХ2 + X - ЗХ(Х2 +Х) + 2Х3

/2

Z

0-і)/Г

т=0   (да-1)!

Таким чином, Д

 

Хте

= X,   а отже,

т=0

т\

12 1

 

//3    _ v3 - 3VjV2 + 2v^ °"3 (^)

X

 ZZ         ZZ      ZZ

т

3/         1/

У2   У2   \

           

/"4

- 3   показникового

 

4.5.5. Знайти ексцес EK

сг4(х)

розподілу (див. задачі 4.5.2, 4.5.3). Розв’язок.

ju4 = м[х -М(Х)]4 =М[Х4 - 4Х3М(Х) + 6Х2М2(Х) -

-          4ХМ3 (X) + М4 (Х)\ = М(Х4) - 4М(Х3)М(Х) + + 6М(Х2)М2(Х) - 4М(Х) хМ3(Х) +М4(Х) =М(Х4) -

-          4М(Х3)хМ(Х) + 6М(Х2)хМ2 (X) - 4М4 (X) + М4 (X)

= v4- 4v3 х Vj + 6v2 x Vj2 - 3v4;

CO      CO      CO

M(X4) = $x4Ae^dx = jxV(e^) = -(xVA | -4JxVA&) =00

4\x3e~Axdx = \x3d(e~Ax) =   xVA |-3JxVAflfr

 

"-J<r*A

\x2d(e ^)

12    1

— x —24

Л    Л

xe-A|-   e-AІ-2Ї

0          0

2    -A:

xe-^dx

24    1

 

Я2    Я

/lJ    Л

Г

24    If      -i»-        24  _^ °°

—x—I d(e     ) =         — Є[Х(І(Є   ^)24

 

Остаточно,м24          6     1   2(1

           

—"Г   

A     х

//„ =—-4x—X — + 6x

XЛЛ

/I4

24    24    12     3      9

=          1          = —

<)4      л4        <)4      л4        <)4

/і      /і      /і      /і      /і/"4

/"4

£  = —Х          3 = —р           3 = —-:—- |  - 3

 

сг ()     D (Х)   А   ^А

= ^хЯ4 -3 = 6.

л4