Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.4.1. Кидають три монети. Потрібно:

а)         задати випадкову величину X, яка рівна числу випадань

“номіналу”;

б)         побудувати ряд розподілу і функцію розподілу F(х)

величиниХ, якщо ймовірність випадання “герба” рівна 0,5.

Розв’язок.

а) Нехай випадкова величина Х - число випадань номіна-лу. У трьох випробуваннях п = 3 (підкидають три монети), номінал може випасти Х = 0, 1, 2, 3 число разів. Відповідні імовірності обчислимо згідно формули Бернуллі:

Pn(x) = Cxnpxq"~x;  q = \-p = 1-0,5 = 0,5;

Р(х = 0) = C°p°q3~° = 1 • 1 • 0,53 = 0,125;

Р(х = 1) = Сз/? V"1 = 3 • 0,5 • 0,53 = 0,375;

Р(х = 2) = Clp2q = 3 • 0,52 • 0,5 = 0,375;

Р(х = 3) = C\piqQ = 1 • (0,5)3 • 1 = 0,125.

Перевірка: ^ рг = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1,0 .

Отже, закон розподілу Х має вигляд:        

Х         0          1          2          3

Р          0,125   0,375   0,375   0,125

1.         Якщо х<0, то F(x) = 0. Дійсно, значень менших числа 0 величина х не приймає. Отже, при Х < 0 функція F(x) = Р(Х < х) = 0.

2.         Якщо 0<х<1, то F(x) = 0,125. Дійсно, Х може прийняти значення 0 з імовірністю 0,125.

Якщо 1 < х < 2, то F(x) = 0,5. Дійсно, Х може прий-няти значення 0 з імовірністю 0,125 і значення 1 з імовірністю 0,375. Отже, одне з цих значень, байдуже яке, Х може прий-няти (за теоремою додавання імовірностей несумісних подій) з імовірністю 0,125 + 0,375 = 0,5.4.     Якщо 1 < х < 3 , то F(x) = 0,875 . Дійсно, X може

прийняти значення 0 з імовірністю 0,125; значення 1 з імовір-

ністю 0,375 і значення 2 з імовірністю 0,375. Отже, одне з цих

значень, байдуже яке, X може прийняти (за теоремою дода-

вання імовірностей несумісних подій) з імовірністю 0,125 +

+ 0,375 + 0,375 = 0,875.

5.         Якщо х > 3, то F(x) = 1. Дійсно, подія X < 3 - досто-

вірна і її імовірність рівна 1.

Таким чином, інтегральна функція розподілу має вигляд:

 

                        0          x<0,                

            0,125   0 < x < 1,                   

F(x) =  0,5

0,875

1          1 < x < 2, 2<x<3, x>3.                      

На рис. 4.4.1 наведений графік цієї функції:          

F(x)i     L                                 s         

1,0                              s          4         

0,875                          4                     

0,5          —     S"                    4                     

0,125      —     Ч                                            

0                                 1              1

1                      2

Рис. 4.4.1.      1

3          х

4.4.2. Випадкова величина Х задана на всій осі ОХ функ-цією розподілу

F(x)

           

1          arctgx

— +    

2          жЗнайти ймовірність того, що в результаті випробування величина Х прийме значення з інтервалу (0; 1). Розв’язок.

 1         arctsx

F(x) = — Н     . Для знаходження шуканої імовірнос-

2          ж

ті   використаємо   формулу    Р(а < X < /?) = F(P) - F(a) .

Отже,

т,        ,г             «,                1    arctg\    1    агсґеО

Р(0 < X < 1) = F(l) - F(0) = - +                =

2        л:        2        л:4

 ^-0

4-л-4.4.3. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

0          при х< -2;

 хarcsin

 +

F(x) = <

Л"при - 2 < х < 2; при х > 2 .

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина Х прийме значення, яке належить інтервалу (-1; 1). Розв’язок.

0   при    х < -2;

11        х

F{x)

— + — arcsin—    -2<х<2;

2    ж   2

1   при    х > 2.

TW      ^          /1Ч      1Ч      1      1   11

 

Р(-1 < X < 1) = F(l) -F(-l) = — + —arcsin

2    л-  2    2

1   n     1

ж   6    ж

2     1

— zz —

6    3

1          I     1

—arcsin —

;г         ^2

           

 —n4.4.4.        Випадкова величина Х задана на всій осі ОХ функ-

цією розподілу:

х ,     arctg

F(x) = — +      ^.

2        ж

Знайти можливе значення хь що задовольняє умову: з ймовірністю 1/4 випадкова величина Х в результаті випро-бування прийме значення, більше хь

Розв’язок.

Події (X < Xj) і (X > Xj) - протилежні, тому

Р(Х < х,) + (X > хЛ = 1. Звідки ДХ > х) = 1 - (X < хЛ = -згідно умови задачі. Отже, Р(Х <х) = 1        = —. Але подія

6     6

(X < Xj) = (X = Xj) + (X < Xj) - сума несумісних подій, то-

му Р(Х < xj = Р(Х = xj + ДХ < xj = Р(Х < xj, оскільки

Р(Х = Xj) = 0, як імовірність того, що неперервна випадкова

величина  приймає   конкретне   значення  х.   За   означенням

т,,,г      ^,         1       1 *1        5       11

ДХ<х) = і7(х,) = - + — arctg —.      Отже,      - = - + —х

2    л-  2          6    2    л-

х arctg — , або arctg-1 = —, звідки — = V3 , або х, = 2V3 .

2          2      3  2

4.4.5.   Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

0          при х < 0;

F(x) = lx 2       при 0 < х < 1;

1          при х > 1.

Знайти ймовірність того, що в результаті 4 незалежних випробувань величина Х рівно 3 рази прийме значення, що належить інтервалу (0,25; 0,75).Розв’язок.

Нехай подія А полягає в тому, що в 4 незалежних ви-пробуваннях подія настає три рази. Обчислимо спочатку імовірність того, що випадкова величина попадає в заданий інтервал:

0,75

р = Р(0,25<Х <0,75) = F(0,75)-F(0,25) = x2 |    =

0,25

= (0,75)2 - (0,25)2 = 0,5625 - 0,0625 = 0,5.

Тоді імовірність події А обчислимо згідно формули Бернуллі: Р4(3) = C43p3q, деp = 0,5; q = 0,5.

Отже, Р4 (3) =           0,5  • 0,5 = 0,25 .

3!(4-3)!

4.4.6.. Точку кидають навмання всередину кулі радіуса R. Ймовірність її попадання в будь-яку область, розташовану в середині кулі, пропорційна об'єму цієї області.

Знайти функцію розподілу, щільність ймовірності, мате-матичне сподівання і дисперсію віддалі від точки до центру кулі.

Розв’язок.

Нехай випадкова величина X - віддаль від точки до цент-ру кола. Згідно умови задачі 0<x<R. Тоді ймовірність то-го, що точка попаде всередину кулі радіуса х рівна відно-шенню об’ємів куль радіусів х і R:

Р(Х <х) = 3       = 3.

4лР3    R 3

А   згідно    означення,    це    є   інтегральною    функцією

розподілу ймовірності.X3

0<x<R;

 

Отже,

F(x)

 

0          при    х < 0;

1          при    х > R.

 

Щільність ймовірності f(x) = F/(x)

           

 X

KR3 j

 

Отже, f(x) = <

0,    х < 0;

3     2

3      0<х<і?; R

0    при   х> R.

Тоді математичне сподівання М(Х) і дисперсія D(Х) віддалі від точки до центру кулі рівні:

3    х і?3    4

R         R         4R

           

           

М(Х)=     x-f(x)dx =    3\  x-xdx         

3      4    3

3R  =—R;

4R       4

—3 I      —3

i?   0    ^

3 R5     9    2     3     2

            R  =—R .

5 R     16         80

D(X)=\ x2f(X)dx-M2(X) = 3 { X2 ■3х2-dx-f      3  x5 я        2

           

           

Д

R4i?3  5

4.4.7. Випадкова величина X розподілена за законом Ре-лея з щільністю ймовірності:

f(x) = < Знайти:

X

2^

X

xe0

при x>0 (a > 0), при x < 0.а) функцію розподілу випадкової величини X;

б)         моду і медіану цього розподілу.

Розв’язок.

а) Інтегральна функція розподілу визначається за форму-

лою:

X         U         X         X         _ x

Fix) = [ f(x)dx = [ f(x)dx + [ f(x)dx = [—,тв 2<jldx

\           j           j           j           j      2

 

-{

X         x^

2a'

= -\ed

x2 2^

=   e

 

xx^

2o"2 d

x1 2^

= e

Ao

2a

X

= l-e

x2 la1

б) Мода, як значення випадкової величини при якому функція щільності досягає максимуму знаходиться з умови

f(x) = 0. В результаті диференціювання отримуємо вираз:х1 2ст2

 

хе

х1 2а2

2х 2^

 

1      1

е

X

2а2

[а2-х2]=0.

Отже, х1 = а2, або х = а . Таким чином, Mo = а. Значення  медіани  знаходиться  з  умови:   Р(х<Ме) =

Р(х > Me)

-,   F(Me) = -.

2          2

Підставимо   X   =   Мe   у   вираз   інтегральної   функції:

Me2     л          Me2     л

1-е

2ст      — або е 2ст   = —.

2          2

Прологарифмуємо вираз і отримуємо:

Me2 = 2а2 In2, отже Me = <тл/21п2 « 1,18сг .

в) Математичне сподівання М(Яр випадкової величини X рівне:

OD      X2       OD      Xі        2

М(Х)= їх- — е 2cj2 dx = -\xe 2cy2 d2а2      

           

x    o

oo        X

2a

0          Xі

~2^

e

V         J

 Z,X = <J ■ z

\xd e2*1   = xe2°2\ -\e2^dx = \e2^dx

2

X

a

dx = odz

z2

= <j ■

\e 2a2adz = a\e 2 dz

\ e  2 dz = 4їж

           

Іїж

 

CO      z

I

e  2 dz

 

[2x 2

інтеграл Пуассона;

 

lim

XX

2CTZ

           

hm       5   = 0.

x^-co   x

2xe2ff2

 

г) Дисперсія рівна: D(X) = f x2f(x)dx -M2(X);

x1 2a

 

M(X2)= \x2- — e 2a2dx = -[ x2d Xі

e

V         J

           

 

x1

-x2eX

 

2CTZ

 

OD      X

2J"xe 2ff2dx = -2cr2Je 2ffV

0          o

x2 2^

 

e

           

           

 

x2 2a2

0     _x      /"

la2\e2^d

 

2a2-0 = 2a2. Отже, Z)(X) = 2cr2

 

X= 2a2-e 2°г\  =2a2-lim

cr2;r

2a2

{afto2

2a2X

2a

                       

а2(4-ж)0,4292сг2.

4.4.8. Випадкова величина Х задана функцією розподілу:

з

1     хо

F(x) = \      х3

при х > х0 (х0 > 0)

Q         при Х0 < X .

Знайти  математичне   сподівання,   дисперсію   і   середнє квадратичне відхилення Х. Розв’язок. Математичне сподівання неперервної випадкової величи-

ь

ни задається формулою : М(Х) = I  f(x)dx. Отже, необхід-

но від інтегральної функції F(x) перейти до диференціальної:

f(x) = F1 (х) = <

З-j    при   х>х0(х0>0);

х

0    при   х<х0. Обчислимо математичне сподівання МfХ):

со        з          °°

М(Х)= Г Зх-^-<Ях = Зх3 Г

J       х  J

 

dxЗхі

                                   

х3        2    х1

 

х0

           

 

 Зх33,1     л    3           3

= lim

х—>со

            т +~хо '~7 = (-> + ~xo=~xo■

2    х J    2       х          2        2

Дисперсія D(Х) визначається за формулою:

 

D(X) = Г х2 • f(x)dx -М2 (X) = Зх3 Г

х2<Ях

х4

х0       

 

dx    9

2       7о х      4           

. 3}   dx    9   2       Зх3 °°

 

Зх0 I   —         хп =

х  х0   4

х0 = lim

 Зх3

X9      2           2        9      2    3      2

-x0 = 0 + 3x0 —x0 = -x0.

4          4          4

 Зхз

V     xo У Середнє    квадратичне    відхилення     сг(Х) = SJD(X) =

/з 2   V3

=   —x0 = — x0.

\|4        2

4.4.9. Густина ймовірності випадкової величини Х рівна: f(x) = Ах2е~тх (т > 0, х > 0).

а)         знайти коефіцієнт А;

б)         побудувати функцію розподілу F(x);

в)         обчислити ймовірність попадання випадкової величини

(\   1 ^ Х в інтервал   0;—   .

V    т) Розв’язок.

CO

а) Коефіцієнт А знайдемо з рівності:  \f(x)dx = 1, яка длязаданої функції f(х) з розбиванням невласного інтегралу на два інтеграли у відповідності з заданими інтервалами густини набере вигляду:

со        0          со        со

f Ax2e~mxdx = f 0dx+ f Ax2e~mxdx=\ Ax2e~mxdx =

-co       -co       0          0

m f udv = uv-\ vdu.

 *2        Г    2f x-e^dx

x2 = u; e'^dx = dv; du = 2xdx; v= f e-mdx = - — e-m;

e-mx\ +

 

J

 

v          u          o          Jx1 m

lim

Обчислимо перший доданок, використавши правило Ло-піталя:

 

e        =

 x2       0    ,m                  2x

lim        e      =-lim        (J2

x^me™    m     x^m-m-e™

 

0.

 

2,4

m

J    Xe-""^

x = u;dii = dx; e^dx = dv;v =m

-mx

 

2 m

2A m

2A m

2A\

 

x m —

 

e-mx\ +—J e-mdx

lUmJL+o.e--_    e-m-0

1          1          1          1          1

 

— lim   + 0       -lim      + —-e

m *^° me™     m  *^<=° e™    m= 1.

= —0-0 + ^

m I       m

Звідси,   A

 

m3

2A m3Отже, функція щільності має вигляд:

f(x) = —x2e-mx.б)  Для  обчислення  інтегральної  функції  F(x)  скорис-туємось формулою:

X         X

F(x) = \f(x)dx. Якщо х < 0, то F(x) = \odx = 0; для

— CO —CO

x>0:

x1 m

2 ( x        ° m\m

 m3 r    2 -mx        m3 F(x) = —\  x e    dx

e-nx\ +

X0322

x2 m

x2 — m

m3

            m32

x2 m

2      2

3         

m     me-mx +

e-mx +

-m-0

 

m\   m

2-x

+2e-™

х

m

           

— тх

—тх

           

е

е

 

m2

-нгл

           

m2x2 +2mx + 2

m m2x2

           

— тх

— тх

е

е

mxe-m:+1-e-'m:=1-

22 в) Імовірність знаходження випадкової величини в зада-

ному інтервалі    0

m

кінцях інтервалів:   P0<x<— \ = F\ —

m         \m

рівна різниці інтегральних функцій на F(0) = 1 -

2    1    1-т—5

т

т ■    2 + 2т ■    + 2

= 1       е   =1   «0.0803.

2

т

4.4.10. Випадкова величина ексцентриситету деталі має розподіл Релея:

х

2Т2

F(x)

1-е 2сг ,х>0; 0,х<0.

Знайти:

а)         густину ймовірності випадкової величини;

б)         її моду і медіану.

Розв’язок.

а) Густина ймовірності випадкової величини:

-x2       х    -2/

'2а

f(x) = F/ (х) = (1 - е  /2ej2)/ = 2е

б) Для знаходження моди Мо знайдемо максимальне зна-чення функції щільності f(х) прирівнявши її похідну до 0.f(x)

           

I

a2

-Xі/

xe

2<т

2x 2^

           

0,    f"(x)<0.

Звідси x1 =<j2, або x = a , отже Mo = a . Значення медіани М? обчислимо виходячи з рівності:2

 

Р(х < Me) = F(Me) = Р(х > Me)

Підставимо  Х  =  Ме  у  вираз  інтегральної  функції:2

-Me112с

Прологарифмувавши

 -Me112a1      1

l-e

 

або   e —

2          2

 

вираз за основою e, отримуємо після спрощення:   Me = 2а2 In 2. Таким чином, Me = o42~W2 « 1.1774сг.

4.4.11. Які з поданих нижче функцій є функціями розпо-

ділу:

 3         1

a) F(x) = - + — arctg х;

4    2л-

0,         х<0

б) F(x) = <

, 0<х<2;

м1,      х>2

;

в) F(x) = <

0, х<0 х

х>0

^х + ї

г) F(x) = <Ге~* , X Є (-оо;+оо) ; 0, х < 0

д) F(x) = <

1    l-e~x          ?

I           ,х>0

хРозв’язок.

а) Множина можливих значень випадкової величини Х є вся числова вісь. Отже, щоб дана функція була інтегральною функцією розподілу необхідно, щоб виконувалась така її властивість щодо границь:

F(-oo) = lim F(x) = 0;F(+oo) = lim F(x) = 1.

 = 11m r \x) = v;r \+°°) =

X—>-co         X—>+co

Перевіримо її:

 Гз     1            ^31

lim F(x) = lim  — + — arctgx \ = — + — lim arctgx =

x^-co   x^-^4    2ж      )    4    24*->^°

3          1    (   лЛ    1

= - +    = —^0;

4          2ж У   2J    2

 3      1                        3      1    ;r

lim F(x) = - + — lim arctgx = - +         = 1.

x^co    4    in *^-°°      4    2n   2

Отже, дана функція не є інтегральною функцією розпо-ділу.

б)         Випадкова величина Х в інтервалі (0, 2) є неперервною,

отже, згідно означення інтегральної функції, яку можна зада-

X

ти формулою F(x) = I  f(x)dx, F(х) є теж неперервною. По-[х] дана ж функція  —, де  [х] - ціла частина числа х непе-рервною не є, оскільки в точках х = 1, х = 2 вона має розриви першого роду (див. рис. 4.4.2).

Отже, дана функція інтегральною не є.

х

в)         Дана функція             є неперервною, невід ємною для

х +1

всіх х   >   0,  і  неспадною,  оскільки  для   х1 < х2   різниця

 Х-,      X,        Хп    -   X,

F(x2)-F(xl) = —          — =     >0,   звідки

х2        Xj        х2 - Xj

            ZZ      

F(x2)>F(xi).

Х2 + 1      Xj + 1       (Xj + 1)(Х2 + 1)[x]1,0   —

0,5   —2

хх

Рис. 4.4.2. Перевіримо тепер дану функцію на існування границь на кінцях інтервалу:

lim —

x^O X

0;    lim

~-х7ї=Ї£1 +

= 1.    Таким   чином,

дана функція є інтегральною.

г) Множиною можливих значень випадкової величини Х є вся числова вісь, на якій дана функція є неперервною і не-від’ємною. Перевіримо дану функцію на існування границь:-e~'

= 1.

 

е

lim F(x) = lim e

X—>-co         x—>

1          1       1

                                  

1          1

е

 

lim <T

 

еlim e~-

           

oo

0; lim F(x)

-xi _e-*2

 e

F(x,)    e e '2

Якщо x, < x2, то-^ = 

Про логарифмуємо ліву і праву частину рівності:,   F(x7)            1        1      eX2-eXl

In         =e   ' -e   2 =   =          > 0, звідки

^Xxl)

eXl     ex>      e-'-e

2   > e   = 1, тому F(x2) > F(x,), тобто дана функція є F(Xj)

неспадною.   Отже,  дана  функція  задовільняє  всім  власти-востям інтегральної функції.

д) На множині додатніх чисел, де визначена функція, вона є неперервною і неспадною. Оскільки для хх < х2 різниця

 1-е              1-е         1-е        1-е

F(x2) - F(xl) = 1          1 +       =          = *

Х2       Xj        Xj        х2

Запишемо   e~Xlі   е~Х2   як розклади в ряд за формулою Тейлора:

2          3          4

е~Хі =1-^- + ^           - + — -...

1!     2!     3!     4!

2          3          4

е-х2   =1         ^ + ^    L+ _?___

1!      2!     3!     4!

2      6     24     2      6     24

12(х2 - х,)-4(х2 - х,2) + (х2 -х,3)

ZZ          ZZ_ 12(х2 - xj - 4(х2 - XJ)(XJ + х2) + (х2 - Xj)(x2 + XjX2 + х2) __ (х2 -Xj)[12-4х2 -4Х; + х2 + х2 + XjX2] _(х9 - х )Г(х, - 2)2 + (х9 - 2)2 + хх9 + 41

= —     ^^^      —        —        >0.Отже, F(x2) > F(x1), що й потрібно було довести.

Обчислимо границі функції:-x

1-e

1-e

 -%

lim

x->0

           

 

= l-lim

x^O     x

Використаємо правило Лопіталя.

-x

e          0

* = l-lim           = l-eu =1-1 = 0;x^O     1

 -*

l-e

1-e-

—X

1-

lim= 1 - lim      = 1 - lim           £- = 1-0 = 1.

X

X

X

Таким чином, дана функція задовольняє всі властивості інтегральної функції.