Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.3.1.   Величина X має щільність розподілу f(x). f(x) -

парна функція.

Обчислити її математичне сподівання.

Розв’язок.

Математичне сподівання неперервної випадкової величи-

CO

ни рівне М(Х) =  Г х ■ f(x)dx = 0, оскільки f(x) - парна

— CO

функція, то х ■ f(x) - є непарною функцією, а інтеграл від непарної функції з симетричними межами рівний 0.

4.3.2.   Студент пам’ятає, що щільність показникового роз-

поділу має вигляд f(x) = С ■ e~** при х > 0, але він забув, чо-

му рівна постійна С. Потрібно знайти С. Розв’язок. Використаємо властивість щільності розподілу:

CO      CO      CO

Г f(x)dx = 1 або Г ce'^dx = с\ e'^dx = 1, звідки

-co       0          0с =

Г e'^dx

О0       О0

I           1          00        1          0

С      -Яхі        1    ґ    -ЯХІ        п     1      -Ях I       -Ях

е    ах =                       е    а(-Ях) =    е     |   =— е     |   =

0          A о      Л         о          Л         оо

1  (     _я о       1      ] _   1   /  ч _   1

1 Отже, с = Я.4.3.3. Випадкова величина X при x > 0 задана щільністю ймовірності (розподіл Вейбулла):

x n

Дx) = —-xnex»  .

x0

Знайти моду X.

Розв’язок.

Мода - це значення випадкової величини X, при якому диференціальна функція щільності fix) має максимум.

Для цього обчислимо першу похідну по х і прирівняємо її до 0.

n

xn

x

x

n-2       x0        n-1       x0

f I (x)

           

n

x0

(n-\)xn1e x» +xn-1e

 

n-1

nx

x0

           

0.

 

n

xn

x0     n-2

Винесемо за дужки e x0 x

 

n

x

x0     n-2

отримаємо:  —e     x     х

x0

 

x

n-2

n-1

x-x^-n

x0

= —e   °x

x0

n-1

n-xn

x0

 

0.

 

(n - 1)x„

Отже,  = x   або x

n

n-1

n

Таким чином,

 

Mo(x)

           

n-1

n

4.3.4. Випадкова величина Х в інтервалі (0; 1) задана щільністю розподілу f(x) = 2x; поза цим інтервалом f(x) = 0.

Знайти початкові і центральні моменти 1, 2, 3 і 4 порядків.

Розв’язок.

Початкові моменти знайдемо згідно формули:vk = \xk • f(x)dx . Отже,

1    2    x3 1     2        2

v1 =     x-2xt& = 2    xdx = 2—    =--1 = -;

0          0          3    0    3          3

x41      1 — I       -;

1          1          4 1

v2 = Г x2 • 2xdx = 2 f x3t& = 2

J          J          4          2

x51     2 — I       - ;

0          0          0

1          1          5 1

v3 = Г x3 • 2xdx = 2 Г x4dx = 2

0          0          5  0     5

1          1

Г      4  ,           Г      5  ,        2    6 1        1

v4 =     x  -2xt& = 2    xt& = -x      =-.

0          0          6          0        3

Центральні моменти обчислимо через початкові:

M1 =0;

2     1    [2|       1     4      1

jii2 =v2- v1  =  —     = = —;

2    \_3)       2    9     18

H=V- 3v1v2 + 2v1 = - 3         + 2 -  -    = - 1 +

5        3   2        \3)      5

16     54 + 80-135       1

+          =           =        

27        135      135 ;

 2         4       1 2    2    f 2 Ї       1

JU =v - 4w3 + 6v1 v2 - 3v1 = - - 4    + 6 —    • —

-3-f

2]      1    16    4    16     45-144 + 180-80      1

=          =           =        

3    15    3    27           3-5-9   135

3        3   5      13 J    2

2834.3.5. Випадкова величина Х в інтервалі (-1; 1) задана

; поза цим інтервалом

щільністю розподілу f(x) =              

Wl - х2 fix) = 0.

Знайти моду та медіану Х.

Розв’язок.

а)         Моди Х нема (щільність розподілу не має максимуму).

б)         М(Х) = 0 (крива розподілу симетрична відносно х = 0);

-1

Х

Рис. 4.3.1.х = 0;/(х) = —;. lim f(x) -^ оо (див. рис. 4.3.1).

ж   х^±1

4.3.6. Випадкова величина Х задана щільністю ймовір-

г,         1   -х

ності (розподіл Лапласа) /(х) = — е     . Знайти математичнесподівання величини Х. Розв’язок.М(Х) = — \   хе  xdx = 0, як інтеграл від непарної функ- J

 

ції з симетричними межами.4.3.7. Випадкова величина X задана щільністю ймовір-

 1   -хІ ності  (розподіл Лапласа)   f(x) = —e     .  Знайти дисперсію

2 величини X. Розв’язок.

D(X) = — f х2 -e~^dx-M2(X) = — f x2-e~^dx =

-co co

2          2

2--\ x2e~xdx = -\ x2e~xd{-x) = -\ x2d(e~x)=\ x2d(e~x)

 

x1 =u;   du = 2xdx; dv = d(e~x);   v = e~x; f udv = u-v-\vdu

 

o          0          0

и

x2-e~x\ -2J xe~xdx = 2J xd(e~x)

 

dv

 

0          \           0

 

xe~x\ -\  e~xdx\ = 2\  e~xd(-x) = 2e~x\   =2e° -2-lime"1 =2.

V         °°         CO      /           CO      °°

,•      2 -x    ,•    x2      2x

Тут     враховано,      що      hm x e    = hm — = lim — =

= nm —==

lim — = 0; limxe x =0.

e x

4.3.8. Щільність розподілу неперервної випадкової вели-

чини X в інтервалі                ; —    рівна f(x) = — cos  х; поза цим

У   2   2J         ж

інтерваломДг) = 0.

Знайти   ймовірність    того,    що    в   трьох   незалежних випробуваннях  X  двічі   прийме   значення,   яке   належить

ж

інтервалу  0;Розв’язок.

f(x) = \— COS X ,  X Ж

Ж   Ж поза інтервалом.

0,

Імовірність того, що задана випадкова величина Х знахо-диться в заданому інтервалі, рівна:

P\0<X <—]= f f(x)dx = f  —cos 2 xdx

1 + cos 2x

dx

Г   7       2    r  1

c6c +        cos2xdx = -

J          J

1      1  1

= — + — (1-0) = -

4    2J  4    2J      An

Тоді імовірність описаної події А знайдемо за формулою Бернуллі:

Pk(A) = Cknpkqn~k,   де   р = р\0<Х<— ,    q = \-p,

cos2 x

 

\   cos2xdx

7t +

ж-2{    ж-20

\     7t        1   (        7t

=          + — sin           sinO

n   4    2ж\      2

Ж

2 f

zz           I71

4       1

= —x\ + ж    „    ж-2

1 + cos 2xsin2x|   =4

1      ж + 2

 

q = \-p = \-

 

ж + 2     4ж-ж-2     Зж-2

 

4ж       4ж

.\2/.      \ 3-2

яч-2 1 (Зж-2 )

Отже, Р3(2) = С;

4ж   )

 

3-

ж + 2) (Зж-2

4ж4.3.9. Щільність розподілу неперервної випадкової вели-чиниів інтервалі (0; 1) рівна/х) = Carctgx; поза цим інтер-валомДг) = 0.

Знайти постійний параметр С.

Розв’язок.

Шуканий параметр С знайдемо з рівності:

ь          1

Г f(x)dx = 1; або f Сarctgxdx = 1; звідки

a          0

 1         f

С = -   .       Обчислимо   знаменник:     I  arctgxax =

Г arctgxdx       °<Ях

arctec = и\   du           

1    r        dx x-arcJgx| - I  x-

1 + х2

 

1 + x2

dx = dv;   v = х;

 

l1  f    Й?(1 + Х2)      Ж      1

= l-arctgl-0—  т^ =     ln(l + x )2        1 + x2        4    2          o

 

ж    1,         1     ,    ;r    1,         л--21п2    ж-\п4

            In2 + —lnl =    In 2 =   =         

4    2    2          4    2    4          4

 1         4

Отже,  C =     :—

ж-\п4

ж-\п44.3.10. Випадкова величина X в інтервалі (-3; 3) задана

л/9^"2

щільністю розподілу /(х) =    ;           ; поза цим інтервалом

Жл

f(x) = 0.

а)         Знайти моду та медіану Х.

б)         знайти дисперсію Х;в) що імовірніше: в результаті випробування виявиться Х < 1 чи Х > 1? Розв’язок.

а) lim f{x) = lim

.           -^oo; /(0) = —(mm).

"±3W9-х2       3^

Функція існує при (-3 < X < 3) .

Функція щільності немає максимуму, тому моди теж не-

має.

Крива щільності симетрична відносно прямої х = 0, тому Ме = 0, МІХ) = 0. Останнє випливає з формули:  М(Х) =/

dx = 0 як інтеграл від непарної підінтеграль-

=     х      ,       

з    ял/9 - х 2

ної функції з симетричними межами.

б) Дисперсія DiX) = I   х2

-з        Жл/9-х2

t&

 

x = 3sinr;dx = 3cosfc#;

 х r = arcsin—; 3

л t=—;t2=0

 

-.    3

-I

9 sin ґ

я"_з   л/9-9зіп2ґ

Ж

■3costdt

 

            Я"

 

           

9sin2t-3costdt    2-9

я-

3cos?

\   sin2 tdt

sin  ?

l-cos2?

 

—     (1 - cos2t)dt = —\ dt      cos2tdt = — t\ x

K

TV

TVTZ  0       2тг

n

 2     9л-     9 [           ^           л

xsin2r    =        1 sin2   sinO

 TT   2    2TT

 —4,5.в) Обчислимо імовірність Р(Х < 1) = Р(-3 < X < 1) =

г          г          1          1          х1     1 1

f(x)dx =,          dx = — arcsin —   =—arcsin--

J3        з   W9-х 2       я-         3_3    л            3

1        іч   i      (ХЛ  x( лЛ  \      ГО

 

— arcsin(-l) = — arcsin           = —arcsin - +0,5.

ж         ж         \3 )    ж\   2)    ж         \3)

P(X>1) = P(1<X<3)=,            =—arcsin—   =

i    W9-х 2     я-          3 j

l             l        fП    l  я-           (іЛ       (іЛ

= — arcsin 1    arcsin -  =        arcsin -  = 0,5 - arcsin - .

n          n          \3)    n   2         \3)        \3)

Отже, P(X < 1) > P(X > 1) .

4.3.11. Випадкова величина Х в інтервалі (3; 5) задана щі-льністю розподілу f(x) = -(3/4)х2 + 6х - 45 / 4, поза цим інтервалом f(x) = 0. Знайти моду, математичне сподівання і медіану Х.

Розв’язок.

Виділимо в функції щільності повний квадрат:

 

- х2 -6х + —

4)         4

 

 3         2            45

f(x) = —х  +6х           

4          4

3          з

 

[х2-2-4х + 15І=—fx2-2-4x + 16-ll =

4          4

 

^[(х-4)2-і]=-^(х-4)2+1.

4          4          4

Як видно з цього виразу, при х = 4 щільність розподілу

досягає максимуму; отже, Мо(Х) = 4. Оскільки крива розпо-

ділу симетрична відносно х = 4, то М(Х) = 4, Ме(Х) = 4:

М(Х) = Мо(Х) = Ме(Х) = 4.

4.3.12. ВеличинаХмає щільність розподілу/fхj. Обчислити її математичне сподівання: fl~lx~l|          , якщо хє ГО; 21,

f(x) = <            '

I     °    , якщо x > 2.

Розв’язок.

Графік функції щільності поданий на рис 4.3.2.

1          ►X

1          2

Рис. 4.3.2. Розіб’єм інтервал х є [0;2] на два інтервали [0;1] і [1;2], так що:

2          1          2

М(Х)= Г x-f(x)dx = Г x-/(x)dx+f x-f(x)dx =

0          0          1

1          Z,         1

f х[1 - (1 - x)]dx + Г х[1 - (1 - x)]dx = Г x-xdx +

1          2          1

+

0          1          0

2          -          2          2          х31       х2 2

+ \   (2-x)xdx =     xdx + 2\  xdx-\  xdx = —   +2

i           o          ii          3  „       2 \

х3 2     !    ,i    !

 

—   = —l-4 — l — (8 —1) = 1.

3  i     3            3

Отже, M(X) = 1, що й видно з малюнка.

4.3.13. Випадкова величинаХмає щільність ймовірності:f(x) = <

— гпч2 x        Л

_          при  X < —

ж         2

ж0

при  X >

Знайти М(X) і D(X).

Розв’язок.

Математичне сподівання М(Х) рівне:

М(Х) = \  Х- — cos2 xdx = 0,    оскільки   підінтегральнафункція непарна з симетричними відносно початку координат межами.

Дисперсія рівна:

D(X)= \ х2 - — cos2 xdx-О2 =— Г x2cos2xdx

%       ж           ж \

dx == —   I  х dx + I  х cos 2xdx

            1 — I +

n   3{ 2 J     32

           

            жп

І*!l + cos2x*    іГі(*

            zz             —               

L-

3        ,   /      \3

If J        n         12    2

           

 0,3225.

 

x2 cos2 xdx

x2 = u;cos2xdx = dv;

Jw = 2xdx; v = J cos 2xdx = - sin 2x

2

 

7Г1 f ж

x 2 sin2x|  - Г  — sin2x-2xdx = - —    sin;r-

2    2

 J

2          2

 

1 ( Ж

2І 2

 

sin((-ж) - f x • 2 sin 2xdx

 

x = w; sin 2xdx = dv;

dx = du;v = \ sm2xdx = —cos2xx       }

= —-cos2x    +

2          \

= +2

cos2xdx = - — cos;r + —cos(-;r) + -sin2x

2    2

J

            Ж     Ж      1    1          Л"

=          ь —sin;r— sin(-;r) =    .

4     4    4         4          2

4.3.14. Нижче подано функцію, яка залежить від певних параметрів:

а) f(x) = <

с      d<x<<x>

ах + Ь' ;

0          x<d

 

а'-Ях

б) f(x) = <

0,     х<0

;

в) f(x) = cea(x-b)2

х>0

 

г) f (x)

 

kx\x-a\,    c<x<d

0          х є [с, d]'д)      f(x) = <

е)         f(x)

ax2+bx + c,    ax2+bx + c>0

: 0,    ax  +bx + c<0

d

a + bx + cx2

Визначити значення параметрів, для яких ця функція буде щільністю розподілу. Розв’язок.

а) Графік функції f (x) (див. рис. 4.3.3а).

 

c

ax + b

, (d < x < оо) має вигляд

 

c <0

ax + b < 0

/N

f(x)

c>0

ax + b > 0

 

d

х

 

c>0

ax + b < 0

c <0

ax + b > 0

Рис. 4.3.3а.

Оскільки функція щільності невід’ємна функція, тобто лежить вище осі Х, необхідно, щоб параметр С був додатний—\\m\ax + b\

x—>co

(c > 0) при d>            і від’ємним (c < 0)  при ax + b<0, і

a

d < - /   • Для визначення інших параметрів, для яких ця

функція могла б бути щільністю розподілу, використаємо рів-

CO

ність   Г f(x)dx = 1, яка для даної області існування функції

— CO

буде мати вигляд:

d(ax + b)    c

CO      CO

\n\ax + b\

                                                 I                                

ax + b  a{     ax + b       a

a

г       с  С с

            dx = — \

a

 

с

oo

 

a

ln|ax + b\^>

Таким чином, інтеграл розбігається і дана функція щіль-ністю не є.

б) Для невід’ємності функції необхідно, щоб с> 0, ос-

кільки при додатному х: Xа >0,е~*х > 0.

Для  визначення  інших  параметрів  скористуємось  рів-ністю:

CO      CO

Г cxae~*xdx = 1 або с\ хае~Яхсїх = 1, звідкис =

Обчислимо:

Г Xае ^dx

Ах = z -^х dx

Z

Г xae~Axdx

           

Ґ dz

х -^ 0, z -^ 0; х^-оо, z —»оо;

           

 

е

я

 ( z)       dz

я

            1          a   -*

 —CO

, f zae zdz. Оскільки    Г(а) = f xa~le~xdx    -   гамма   функція,   то1         1

CO

           

           

f xae Яхсіх =       ^Г(а + \),     звідки      c

ла+1    1   Гґ

A

c>0.

 

в) Для невід’ємності функції необхідно, щоб с> 0 . Для визначення інших параметрів скористаємось рівністю:

CO      CO      CO

J f(x)dx = J cea(x-bfdx = c J ea(x-b)2dx = 1, звідки

—        CO      —CO  —CO

..          CO

c = —  . Щоб   f ea{x~b)1 dx був збіжним, необхідно,

I ea(x-fe)2t&

—        CO

щоб параметр a був від’ємним: - \a\ < 0 .

J\a\(x -b) = t,dt = J\a\dx;

Отже,   f e a'(x b) t&

1 dx =   j=dt; x -» -oo, ґ -» -oo;

J\a\ Х^оо,ґ^оо;

1     f    -t1 ^       !     o °T    *2           1     0  V^     V^

=   j=     e   dif =   j=-2-    e dt =   j=-2           =   j=,

J\a\ -oo            J«|       o           J«|        2      J«|

jU звідки c = ^;c>0.

y 7Г

            г) Графік функції у = к\х - а\ зображений на рис.4.3.3б,

причому при   к > 0   графік знаходиться над віссю X, при к < 0 - під віссю X. Оскільки задана функція повинна бути функцією щільності, а отже, додатньою (f(x) > О), к > 0. Нехай а<с <d. Тоді умовою функції щільності є

d          d

рівність:    Г k\x-a\dx = l,   або    f k(x-a)dx = l.   Отже,

d

к\ (x-a)dx = k

V

d

\ xdx-a\ dx

с

           

 

x2d

 

v 2 с

d

ax

с J

           

 

 ^

 aid - с) 1

 

d2 -с2d + c       .    ,

 kid - с)\          а\ = \ звідки,

к

м d + с

(d - с)\ a

7     і    k    /(х) _у = & х - a               

            _у = Л(а - х)   У = кіх -          a)        

к > 0                1                     1                     

х = с    х = a к <0        1                     1  X = с           d                     

Х

Рис. 4.3.3б.

d

Якщо     c<d<a,    то      f k\x-a\dx = k\ (a-x)dx

           

V

^d + c       ,

(c-d)\   a \-k, звідки, k            (c - d)\ a

 

Якщо      c<a<d,     то      f f(x)dx = k\ | x-a)|dx

a          d          a          a          d

\   {a-x)dx + Г (x-a)dx  -k a\  dx- \  xdx + Г xdx

 

с

a\  dx

           

a

a   x2 a    x1

ax\       + —c

ca

 

с

с

a

ax

V

           

a

 

a(a - c)

-a(d-a)

 

J (a - cf +(d- a)2

 

k

 

fa2-c2\    d2-a2k

2a2 - 2ac + c2 +d:2 (a-c)2 +(d-af

звідки,

д) Графіком функції fix) = ax2 + bx + c є парабола, яка в залежності від знаку параметра a і дискримінанта D має виг-ляд, зображений на рисунку 4.3.3в, г, д.

Оскільки функція щільності є додатньою, то інтеграл по

р

області (а,Р), де функція f(x) > 0 дорівнює 1: f f(x)dx = 1.

a

Але інтеграли від функцій, зображених на рис. 4.3.3в, г є розбіжними. Тому використаємо дану властивість до функції, зображеної на рис. в) по області х є (х1, х2), де хь х2 - корені рівняння/fxj = 0. У функції/х) виділимо повний квадрат.a>0 D>0

a>0 D<0

 

х

x =

b     х 2a

Рис. 4.3.3в, г, д. Отже,

b       c

x2        x2

f (ax2 + bx + c)dx = a f

x2 + — x + — \dx a      a

x

 

a<0 D>0

д

           

 

= a

 2

J

 

2a

x +

 

2       f

+

b Y   (c    b2

 

a    4a2

 2

dx = a\

x +

b л 2a+

 

2|x +

x1        x1

менник     даного     виразу,     прийнявши     до     уваги,     що

 

4ac - b2

4a2 звідки a =

 

h

xY     b Y      x 2f

2a

dx = a

x 1

x 1b     Л2       x2        4          b 2

4a2

2a

dx +  Г

dx

4ac-b

4a2

Обчислимо зна-

dx

 

x1/2

           

-b±л]b2 -4ac 2a

:

298x + — I dx 2a

/3 '2    /j-/,3            =  

■\Jb2 -4ac

з

b          b

4  f    t2dt

x + — = t;xl + — = t;

 

2a        2a

t2,dx = dt;

b

x2 н    

2a

                        Л         /           I          

b2 -Aac     b        \-b-4b2-\ac     b

2a

2a

2a

2a

з4b2 -Aac

 

2a

2a

( b2-4acY2

3          12a3

xr   4ac-b2         4ac-b2    f2    4ac-b2

I           dx =     x\   =    x

4a2

4a2

х,

4a2

 

(-6 + V

           

-b + 4b2 -4ac +b + л/й2 -4ac     4ac-b2   ^b2 -4ac

2a

а

4a2

           

3/ '2

(b2 - 4ac)

4a3 Отже,    a

                       

3/         3/

(b -4ac)/2    (b -4acy2

6a3

(b2 - 4ac)

 

4a3

6a2

12a3

або 1

           

де знак “-” вказує на те, що а < 0.

(b2 -4acy2

Тому опустимо його, щоб не прийти до протиріччя, адже 6а2 > 0 є додатнім числом, і вираз (Ь2 - 4асу2 > 0. Отже,

6а2 = (Ь2 - 4асу2 при а<0,Ь2 > 4ас .

Приклад. Нехай а = - 2, с = - 1, тоді 6а2 = 6(-2)2 = 24, 4ас   =    8    і   умова   щільності    функції   запишеться   так:24 = (b2 - %y2. З цього рівняння знайдемо b: 242 = (b2 - 8)3,

або 576 = (62-8)3, або 8,320033529 = Ь2 -8, звідки Ь2 = = 16,320033529 і b = ±4,03984347. Таким чином, функція щільності    має    вигляд:     fx (х) = -2х2 + 4,03984347х -1.

(Ь = 4,03984347)      або     /2(х) = -2х2 - 4,03984347х -1.

ф = -4,03984347).

Перевіримо, що при даному співвідношенні параметрів

fi(x) є щільністю, тобто | fx (x)dx = 1. Маємо:

xV> 3

2І" x2dx + 4,03984347 f xdx- f dx = -2 — \ +

+ 4,03984347—   -x   =4,03984347 ± ,/8,320033529

 

xi/

Xi        Xi

2          4[l,731085653-0,2888360833

           

Xj =0,288836083

 

x2 =1,73108565

4,03984347 г  2    П9оооо6П8о2І

+

2 = 1,00000.

 

Аналогічно:   f /2 (x)dx = 1, маємо:

x2        x2        x2

-l\ x2dx-4,03984347 f xdx-f dx =

■""1     ■"'1      ■"'1

= |xj =-1,731085651; x2 =-0,288836083;| =

2          4,03984347

[(-0,288836083)3 -(-1,731085651)3

3          2

x [(-0,288836083)2 - (-1,731085651)2 J- (-0,288836083 ++1,731085651) = -3,442249555+5,884499112 -

-1,442249568=1,0000.

d

е) Графік функції  f (x) =     2 в залежності від

ax +bx+c

 

d

знаку параметра d і дискримінанта D має вигляд (рис. 4.3.3є-і):

           

1)

ax2 +bx + c d>0     a > 0,

f(x)

D <0

y = ax2 + bx + c a> 0,   D<0

 

d <0

2a

x =

Рис. 4.3.3е

 

a>0, D = 0

2)

x =

z-_

2a

d>0

a>0, D = 0

 

x =

b

 

2a

d<0

 

%2

x =

a>0, D>0

b

 

2a

3)

Рис. 4.3.3є

X1

 

d>0

a>0, D>0

d<0

 

Рис. 4.3.3ж

b 2a

a< 0,   D<0 y = ax2 + bx + c

 

4)

x =

 

b

2a

d <0

d>0

a < 0, D<0

 

ax2 + bx + c

d<0

Рис. 4.3.3з

5)

a< 0, D =0

f (x) = ax2 + bx + c

 

\f(x)

d

 

/2a

I       d>0

Рис. 4.3.3и

a<0 D>0 d>0

X2

 

x =

X

a<0 D>0 d <0

х

Рис. 4.3.3і

Оскільки функція щільності додатня, то нас будуть ціка-вити ті випадки, де функція розташована над віссю Х. Виді-лимо повний квадрат у знаменнику і використаємо влас-тивість функції щільності:

 

a

 

b x + — = t;dx = dt; 2a

X —» oo; t —» oo; x —» -oo; t —» -oo

d

J

a   J   ґ2±&

 

           

 

dx = d\

d

 

fife

ax2 +bx + c

де позначено

dx

b \     4ac-b

x + —    +       —

2aJ       4a

 

fife

й?-   f    —1^  ті

J   a\t ±k\

-co       L          J

4ac - b2

4a2

±k2.

           

4ac-b2

Знак плюс береться тоді, коли        — > 0, тобто D < 0,

4/7

а отже, корені тричлена ах2 + bх + с - комплексні; знак мінус

4ас -Ь2

береться тоді, коли   — < 0, тобто D > 0, тобто корені

тричлена ах2 + Ьх + с - дійсні.

d

d   \      t Г

9      9              arctg—\

дх

Й?Ґ

J

ax + bx + с    a   J   t ±к       a  к          к

 

1. НехайІ)  < 0 (рис 4.3.3е: а > 0, d > 0 і рис 4.3.3з: а < 0, d < 0), тоді:

 

           

           

 

жЙ?  f,.             ґ    ,.              t~\      d

             hm arctg          hm arctg—  = 

a-k\t^   k    '->-<*>     &J    a -k

■ж = \.

d

a-k

2a

 a-k     a  уІ4ас-Ь2     лІ4ас-b2

Звідки, d =      =          =          ;

Ж        Ж        

 

 V 4ac - b2

d =       , причому а і d одного знаку.

2жd

Приклад. Обчислити значення параметра d при якому

є щільністю.

           

функція f (x)

 

2x  + 3x-3

У    знаменнику    виділимо    повний    квадрат    винісши параметр a = 2 за дужки.

 CO

dx        d          dx

           

           

d- j

3       3

x + 2       2

2   J    2           3        9      9     3

 

-°°x  -2-x +     +

4       16    16    2

           

           

15 16

           

\/Ї5

 

i          

V15 lim arctg

2d

л/Ї5

           

 

d 2

d

dx

ш    ЙП x— d   r      {      4

15 16+

+

2   J

ґ    Г

           

d

           

arctg

r    dt

J     2   2

2      t +k

 

i                       J          15        15

2d        4t

arctg

A/16    v 16

 

2Й?

           

zz

— CO "V

І5

І5

limarcJg

w

жж     

2d

л/І5 J       у/Ї5

■ж = \.

 

2. Нехай D > 0 (рис 4.3.3ж: а > 0, d > 0 і рис 4.3.3і: а < 0, d < 0), тоді:

Звідки d

 

УІЇ5

параметри а і d – від’ємні.

 

оо

d- \

 

dx

ax2 + bx + c

d

 

ufx

 +

dx

ax2 +bx + c       ax2 + bx + c

 

d a

 

t      ai        r J     2      2 +J

dt

 

J/1

t2-k2        t2-k2

-co       t

 

d a2k

In

f — A:

t + k

 

           

2k

4      1  , + — In

-CO

t-k

t + k

X

hОскільки інтеграли в квадратних дужках розбіжні (не мають границь), то функція з квадратним тричленом у якого D > 0, диференціальною бути не може.

3. Нехай D = 0 (рис 4.3.3є: а > 0, d > 0 і рис 4.3.3и: а < 0, d < 0), тоді:

d

 

dx

ax +bx + c

+

 

dx ax2+bx + c

 

d-

2 a -E d\ xл    

1       2a

x +

b 2a

 2

+

 

Оскільки вирази в дужках не мають границь, тобто є розбіжними, то функція, тричлен якої має D = 0, не може бути функцією щільності.

+

 

d\ x + — 2a Jb     [        b

—+є   x н       

2a    '       2a

d-x +

b

2a

CO      1

b

-—-e     x +    

2a        2a

b

2a

 

+ Є

4.3.15. Якій з трьох запропонованих лотерей L1(36;0,44;41), L2(100;0,8;150), L3(100;0,2;150), особа надасть перевагу, якщо її функція корисності задається формулами:

2х-3

а)         U(x) =  ;б)        U ( x) = x4 ;

в)         U(x) = 4x ?

Обчислити премію за ризик.

Вказівка. Згідно з основним положенням теорії корис-ності, суб’єкт керування, що приймає рішення в умовах не-визначеності та породженого нею ризику, повинен макси-мізувати сподіване значення корисності результатів.

Розв’язок

1. Обчислимо сподіваний виграш у лотереї з дискретни-ми виграшами за формулою:M(X) =x=^xipi .

i=\

Для лотереї - L\\ xj = 36 • 0,44+41- 0,56 = 38,8;

L2: x2 = 100 • 0,8+150 • 0,2 =110 ;

L3: x3 = 100 • 0,2 + 150 • 0,8 =140 .

a) 2. Обчислимо сподівану корисність участі у лотереї за формулою:

                        2

M(U(x)) = U(x) = ^U(xi)-pi = U(xl)-pl + U(x2)-p2 =

2x, - 3  2x, - 3

= —     p, н      p2 .

7          7

 т,        2-36-3

Для лотереї L: M, (U(x)) = U, (x) =   0,44 +2-41-3

+          0,56 = 10,66. т          2-100-8

Для лотереї L2: M2(U(x)) = U2(x) = 0,8 +

2-150-3

+          0,2 = 31,00 . т          2-100-3

Для лотереї L3: M3(U(x)) = U3(x) = 0,2 +

2-150-3

+          0,8 = 39,57 .Висновок. Оскільки суб’єкт керування повинен макси-мізувати сподіване значення корисності результатів, то він вибере лотерею L3, оскільки для неї сподіване значення M3(U(x)) = U3(x)- максимальне.

3. Визначимо детермінований еквівалент x (гарантовану суму x, отримання якої еквівалентне участі у лотереї) лотереї Li за формулою:U(x) = M(U(x)).

2x, -3

Для лотереї Lь —      = 10,657, звідки10,657-7 + 3

x i =     = 38,7995 = 38,8.2 x, - 3

Для лотереї L2 :         = 31,00, звідки x2 =31,00-7 + 3

=          = 110.2x, - 3

Для лотереї L3: —     = 39,5715, звідки x3 =39,5715-7 + 3

=          = = 140.4. Обчислимо премію жза ризик участі у лотереї за фор-мулою: ж = x - x .

Для лотереї Lь ж і = 38,8 - 38,8 = 0.

Для лотереї L2: ж 2 = 110 - 110 = 0.

Для лотереї L3: ж3 = 140 - 140 = 0.

Висновок. Зростаюча лінійна функція корисності харак-теризує особу нейтральну до ризику, премія за ризик для якої дорівнює нулю. Слід вибрати лотерею L3, оскільки для неї сподіване значення корисності виграшу максимальне.

б) U x) = x4.

2.Обчислимо сподівану корисність участі у лотереї :

L\\ Uг(x) = U36) pі + U4\) p2 = (36)4-0,44 + (41)4-0,56 = = 2321457,2;

L2: U2(x) = U(100) p1+ U(150) p2 = (100)4-0,8 + (150)4-0,2 = = 181250000;

L3: U3(x) = U(100) pi+U(150) p2 = (100)4-0,2 + (150)4-0,8 = = 425000000.

З.Визначимо детермінований еквівалент x для лотерей:Lx: x4= 2321457,2; звідки x=39,03; L2: x4 = 181250000; звідки x=116,03; L3: x34= 425000000; звідки x=143,58.

4. Премія за ризик для лотерей складає:

L\\ жі = 38,8 - 39,03 = - 0,23;

L2: ж2 = ПО- 116,03 = - 6,03;

L3: ж3 = 140 - 143,58 = - 3,58.

Висновок. Функція корисності Щх) = х4, зростаюча і увіг-нута вниз і оскільки ж< 0, то вона характеризує особу схильну до ризику. Треба вибрати лотерею L3, оскільки їй відповідає найбільша сподівана корисність виграшу у лотереї.

в).Щх) = у[х .

2.         Обчислимо сподівану корисність участі у лотереї -

U: иг(х) = л/36 • 0,44+ V4T-0,56 = 2,49;

L2: U2(x) = л/Ї00-0,8 + л/Ї50-0,2 = 3,23;

L3: U3(x) = VlOO • 0,2 + Vl50 • 0,8 = 3,43.

3.         Визначимо детермінований еквівалент х для лотерей:

Lx: V^i = 2,4948; звідки х\= (2,4948)4 =38,74;

L2 : V^2 = 3,2297; звідки х2 = (3,2297)4 = 108,81;

L3 : %[%з = 3,4322; звідки х3 = (3,4322)4 = 138,77.

4.         Премія за ризик ж для участі у лотереях складає:

L\\ жі = 38,8 - 38,74 = 0,06;

L2: ;г2 =П0 - 108,8086 = 1,19; L3: ^з=140 - 138,7683 = 1,23.

Висновок. Функція корисності Щх)=\[х зростаюча і опукла вгору, і оскільки премія за ризик ж > 0, то вона харак-теризує особу несхильну до ризику. Оскільки лотереї L3 від-повідає найбільша сподівана корисність виграшу, то слід об-рати лотерею L3.4.3.16. Знайти сподіваний виграш, детермінований еквіва-лент та премію за ризик для лотереї, яка визначається такою щільністю розподілу ймовірностей виграшу:

,           (24-х),    0<х<24,

j(x) = < 288

0,         х < 0,   х > 24.

Корисність лотереї задається виразом:

а)         Щх) = 0,890х;

б)         Щх) = 0,5х2;

в)         Щх) = 0,9 Vx .

Розв’язок

І.Обчислимо сподіваний виграш х  у лотереї за форму-

лою:

х = М(Х) = Г х • f(x)dx.

24   х1

= 24 - 16 = 8.

288   2

           

24        * д    24           -.      24

х

 Г х • (24 - x)dx =       Г xdx      x 2 dx

{          288 {   288

1-24"

1х324    242

 

=         

0     288    3

96       288-32. а). Щх) = 0,89х.

Сподівана корисність U (х) рівна:

24        24        1

M[f/(x)]= ff/(x)/(x)dx= Го,89х (24-x)dx

 

0,89-24 288

0,89

xdx-—   х dx = 0,074167J      J

x224

 

0,00309

24 21,36-14,239 = 7,122.

 

Детермінований еквівалент знаходимо з формули : U(x) = M[U(x)]; 0,89х = 7,121, звідки х = 8,001.Премія за ризик складає:ж = х - х = 8 - 8= 0. Премія за ризик дорівнює 0,  отже  особа байдужа до ризику.

б). Щх) = 0,5х2.

Сподівана корисність U (х) рівна :24

 

M|f/(x) I =   0,5х          (24 - x)dx = 0,5           х dx

288288

J          JI x dx = 0,041667

= 192-144 = 48-

-0,001736—xo           4

Детермінований еквівалент складає: 0,5 x2 = 48; звідки x2 = 96 або x = 9,798; Премія за ризик:

;г = х-х= 8 - 9,8 = - 1,8, премія менша 0, тому особа схильна до ризику.

в). U(x) = 0,9 Vx .

Сподівана корисність U (х) рівна:

24        -,         .,    24

 

МкУ(х) I =   0,9Vx     (24 - x)dx = 0,9           Vxdx

J          J

240,9 2r  ^        24 • 2x2

 |x2dx   320-3l-2x2

 

320-3

24        20

л/24^

V24^

           

= 5,87878 - 3,5273 = 2,352.

Детермінований еквівалент складає:

0,9л/ї =2,352 або Vx~ = 2,613, звідки х = 6,829.

Премія за ризик рівна:

ж = х-х= 8-6,82667 = 1,1733 > 0,

отже особа несхильна до ризику.