4.3.   Неперервні   випадкові   величини   і   їх   числові характеритики


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Неперервну випадкову величину Х в повній мірі можна задати диференціальною функцією або щільністю імовірності f(x) = F'(x) (4.3.1), яка визначає щільність розподілу імо-вірності для кожної точки х. Знаючи щільність розподілу fix), можна обчислити інтегральну функцію розподілу F(x) за фор-мулою:

х

F(x)= \f(x)dx    (4.3.2).

Теорема. Імовірність того, що неперервна випадкова ве-личина Х набуде значення з інтервалу [a, Ь] дорівнює означе-ному інтегралу від щільності розподілу, взятому в межах від a

ь

до Ь: Р(а < X < Ь) = \f(x)dx    (4.3.3).

a

1.         Щільність розподілу - невід’ємна функція: f(x) > 0 . Графік щільності розподілу - крива розподілу розташована або над віссю Ох, або на цій осі.

2.         Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах

CO

від - оодо оо дорівнює 1:   \f(x)dx = l           (4.3.4).

— CO

Геометрично це означає, що вся площа криволінійної трапеції, що обмежена віссю Oх і кривою розподілу, рівна 1.

Модою Мо(Х) для неперервної випадкової величини Х називають таке її можливе значення, при якому існує мак-симум густини розподілу.Медіаною Ме(Х) неперервної випадкової величини Х на-зивають таке її можливе значення, для якого виконується

рівність:     Р(Х < Ме(Х)) = Р(Х > Ме(Х)) = -.    Оскільки,™„    *,*~       1

Р(Х <Ме(Х) = F(Me(X)) , то F(Me(X)) = -     (4.3.5).

2 Математичне сподівання неперервної випадкової величи-ни Х,   означеної  на  всій  числовій  осі,  рівне   невласному

CO

інтегралу: М(Х)= \xf(x)dx      (4.3.6).

-co

Для того, щоб математичне сподівання існувало, необ-хідно, щоб цей інтеграл збігався абсолютно. Якщо ж функція щільності симетрична і має моду Мо(Х) та медіану Ме(Х), але невласний інтеграл розбігається, то за математичне сподіван-ня приймають їх значення.

Якщо можливі значення випадкової величини Х належать інтервалу [а, Ь], то її математичне сподівання рівне визначе-

ь

ному інтегралу: М(X) = I xf (x)dx     (4.3.7).

a

Дисперсією неперервної випадкової величини Х нази-вають математичне сподівання квадрату її відхилення від математичного сподівання. Отже, якщо можливі значення Х належать всій числовій осі 0х, то

GO      GO

D(X)= \[x-M(X)]2f(x)dx= \x2f(x)dx-[M(X)f (4.3.8);

— GO —GO

якщо X G [a, b\, то

b          b

D(X)= \[x-M(X)ff(x)dx= \x2f(x)dx-[M(X)J (4.3.9).

a          a

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається, як і для дискретної, рівністю:

и(Х) = -JD(X) .