Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

4.1.1.   Довести: а) M(Y) = aM(X) + b, якщо Y = aX + b; б)

M(Y) = агМ(хі) + ... + a„M(x„) + b, якщо Y = a1x1 + ... + a^cn +b.

Розв’язок.

а)         Нехай Y = ax + b, тоді M(Y) = M(ax + b) = M(ax) +

+ M(b) = aM(x) + b.

б)         Y = ax1 +a2x2 + ... + anxn +й, тоді

M(Y) = M(alxl +a2x2... + ...anxn+b)=M(alxl)+M(a2x2) + + ...+M(anxn)+M(b) = alM(xl) + a2M(x2)... + ...anM(xn) + b.

Тут використано такі властивості математичного споді-вання: 1) математичне сподівання суми дорівнює сумі мате-матичних сподівань; 2) сталий множник виноситься за знак математичного сподівання; 3) математичне сподівання сталої рівне сталій.

4.1.2.   Знайти математичне сподівання і середнє квадра-

тичне відхилення випадкової величини Z, якщо відомо, щоХі

Y - незалежні дискретні випадкові величини, і Z = 4X - 7Y -

100; М(Х) = 5; M(Y) = 6; D(X) = 2; D(Y) = 1.

Розв’язок.

M(Z)=M(4X-77-100)=M(4X) + M(-77)+M(-100) = = 4М(Х) - 1M(Y) -100.

Тут використано такі властивості математичного споді-вання:

М(Х + Y + ...U) = M(X)+M(Y) + ..MQJ);

М(СХ) = СМ(Х); М(С) = С .

Підставивши числові дані, отримаємо:

M(Z) = 4-5-7-6-100 = -122.

D(Z) = D(4X - 1Y -100) = D(4X) + D{-1Y) + D{-\ 00) = = 42D(X) + (-1)2D(Y) + 0 = 16-2 +49-1 = 81.

Отже, a(Z) = yJD(Z) = л/8І = 9.Тут використано такі властивості дисперсії: D(X +Y + ...U) = D(X) + D(Y) +...D(U);

D(CX ) = C2 D(X); D(C) = 0 .

4.1.3. Вивести формулу математичного сподівання частки

⎛ двох незалежних випадкових величин Х і Y: M⎜

Розв’язок.

Нехай задані розподіли випадкових величин Х і Y. Для простоти доведення обмежимось трьома їхніми значеннями.

 

Х         х1        х2        х3                    Y         у1        у2        у3

g3

Р          р2        р2        р3       

            G         Яі        %2      

 

X Тоді розподіл      буде мати вигляд: Y

 

z = — Y                      x\

y2        X\

y3        x2 У\   x2 y2   x2 y3   x3

У\        x3

y2        x3

y3

PG       Pi&i     Pl§2     Pl§3     р2g1    р2g2    р2g3    р3g1    р3g2    р3g3

Обчислимо математичне сподівання Z:

x1        x1        x2

p1g2 +     p1g3 +

y2        y3        y1

x2 y2

 -L

 

M(Z) = — - p1g1 ч—- • pxg2 + —- • pxg3 + — • p2g1 + —^ ■ p2g2 +

y2        y3

Xn       X,        X,        X,

p2g3 + — ■ p3gx + -^ ■ p3g2 + — • p3g3

y3        yx        y2        y3

 

x1 p1 +x2 p2 +x3 p3 y1

 

x1p1 +x2 p2 +x3 p3 y2

 

+

x1 p1 +x2 p2 +x3 p3

y3

 

M(x)        M(x)        M(x)

y3

У\

y2

 

M(x)

1          1          1

            S^ "l     Si л      S^

У\        Уі        Уз

M(X)-M260

Або M\ — Наприклад:

 М\ XY

 М(Х)-М\Y

 

У   10 G   0,430

0,4

0,2

 

Х         2          4          6

Р          0,2       0,5       0,3

М(Х) = 2 • 0,2 + 4 • 0,5 + 6 • 0,3 = 4,2; M(Y) = 10 • 0,4 +15 • 0,4 + 30 • 0,2 = 16;

           

М

— 0,4 + — 0,4 +        0,2 = 0,04 + 0,02666 +

10        15        30

+ 0,006666 = 0,07333;М\ —   =--0,2+ --0,5+ --0,3 = 0,1+ 0,125+ 0,05

X      2 4          6

0,275; Отже,

, /У

M(Y)-M\ —  =16-0,275 = 4,4;

X

М\ — \х M(Y)     16

М(Х)    4,2  X

3,81; М — \Ф

\Х)    М(Х) 4,2 • 0,07333 = 0,307997172;

М\ \Y

М(Х)    4,2      л 1 Х~\    М(Х)

 =   — = 0,2625 ; М\ — \Ф

M(Y)     16      {Y J    M(Y)

4.1.4. Закон розподілу випадкової величини Х поданий в таблиці:

 

Значення    (х)           - 1       0          2

Ймовірність (р)          0,6       0,3       0,1

261

Знайти дисперсії випадкових величин 2х та х + х. Чи мож-на до z = х + х застосувати теорему про дисперсію суми D(u + v) = D(u) + D(y) ?

Розв’язок.

Задано розподіл:

Х         - 1       0          2

Р          0,6       0,3       0,1

М(Х) = -1 • 0,6 + 2 • 0,1 = -0,4;

D(X) = (-1)2 • 0,6 + 22 • 0,1 - (- 0,4)2 = 0,84.

Тоді розподіл випадкової величини Z = (X + X) буде мати

вигляд:          

z=x+x  -1-1=

=-2      -1+0= =-1       -1+2=1            0  1=  1           0+0=0 0+2=2 2-1=1

P          0,60,6= = 0,36            0,60,3= = 0,18            0,60,1= = 0,06            0,60,3= =0,18 0,30,3= =0,09 0,30,1= =0,03            0,60,1= =0,06

або

0+2=2 2+2=4

0,10,3=0,03    0,10,1=0,01

 

z=x+x  -2        -1        0          1          2          4

P          0,36     0,36     0,09     0,12     0,06     0,01

М(Х + X) = -2 ■ 0,36 -1 • 0,36 - 0 • 0,09 +1 • 0,12 + + 2-0,06 + 4-0,01 = -0,8.

D(X + X) = (- 2)2 • 0,36 + (-1)2 • 0,36 + 02 • 0,09 +

+12 • 0,12 + 22 • 0,06 + 42 • 0,01 - (- 0,8)2 = 1,68 . Розподіл випадкової величини 2Х має вигляд:

2Х       2-(-1) = -2      2-0 = 0            2-2 = 4

Р          0,6       0,3       0,1

М(2Х) = -2 • 0,6 + 0 • 0,3 + 4 • 0,1 = -0,8;

D(2X) = (- 2)2 • 0,6 + 02 • 0,3 + 42 • 0,1 - (- 0,8)2 = 3,36 . М(Х + X) = М(Х)+М(Х) = 2М(Х) = М(2Х) = 2М(Х); що й підтверджується розрахунками.D(2X) = 22D(X) = 4D(X); D(2X) = 4 • 0,84 = 3,36 ;

D(2X) Ф D(X + X).

D(u + x) = D(u) + D(x), але D(X + Х)ф D(X) + D(X), що й підтверджується розрахунками: 3,36^0,84 + 0,84 = = 1,68. Теорему про дисперсію суми D(u + v) = D(u) + D(y) до z = x + x застосувати не можна.

4.1.5.   Довести, що якщо С і 1 ~ незалежні випадкові ве-

личини, то D(C ■ rf) > D(C) ■ D{rf) .

Розв’язок.

Використаємо розрахункову формулу для обчислення дисперсії:

D(X) = М(Х2)-М2(X), Отже:

D(C-r/)=M(C-r/)2 -М2(С-г/)=М(С2 -г/2)--\М(С■ l)f =М{С)2 -M{rf)2 -M2{Q-M2{rf).

Підставивши у формулу М{£2) = D(£ )+М2(£) і M(r/2) = D(r/)+M2(r/), отримуємо:

D(C -7j) = [D(C) +M2(C)][D(rj) +M2(rj)] -M2(C) -M2(rj) = = D(C) ■ D(rf) +M2 (ij) ■ D(£) + M2 (£) ■ D(r/) + M2(£) -M2(ri) --M2{Q -M2{ri) = D{Q ■ D(t]) +M2(t]) ■ D{Q +M2(£) ■ D(TJ).

Оскільки ІІ і ІІІ доданки > 0 , то D{£ -rj)>0.

4.1.6.   Випадкові величини Q- i = \,...n, незалежні,

MCi=aj,     D^=a2.    Обчислити    дисперсію    Dr/n,    де

Розв’язок.

Для обчислення дисперсії випадкової величини Г)п вико-ристаємо розрахункову формулу:

D(r}n) = D(C1-£2...Сг ■■■■С„)= М(Сі -СІ---Сг ■ ■ ■ -СІ)

 

м2(Сгс2...сг...сп)=м(С)-м(СЇ)-..м(С)...-м(С) \м{с1)-м{с2)..,м{с1)..,м{сп)}.

Але     D(d )=М(£2)-М2(£1) = М{Сг 2)~а? = °ї

звідки М(£2) = а2 + а2.

Підставимо це значення у попередній вираз, отримаємо: D(7ln) = (cj2l +af)(a2 + а22)...-(а2 +а2)...-(а2п +а2п)-

-\а21-а22-...а2...-а2п\ = \\{а2^а2)-\\а2.

1=1

1=1

4.1.7. Невід’ємні випадкові величини С\,--Сп незалежні і однаково розподілені. Знайти математичне сподівання Мг/к

випадкової величини 7]к

           

Ск +а

 де ос > 0 константа.

 

S ^ +

1=1

па

Розв’язок.

Оскільки випадкові величини незалежні і однаково роз-

П

поділені, то ^ СІ - пСк Підставимо це значення у вираз для

і=\

математичного сподівання:

 

М(г]к)=М

~а)

Ск+сс п(Ск+а)п

 JYI

 

Ск+а

\пСк + 1

Л/1

Ск+сс

Sn

па

S £■ +М

М{\)

 

п

J

V 2=1

 

4.1.8. Обчислити математичне сподівання і диспеpсію ви-значникаxu  xl2

xu   Xl4

елементи якого Xy - незалежні  випадкові  величини з

M(Xtj) = 0 і D{X^ = a2. Розв’язок. Для обчислення дисперсії визначника скористуємося роз-

рахунковою формулою: D(A2) =М(А22) -М2(А2).

Обчислимо математичне сподівання визначника:

м(А2)=м(£п ■ с22 - Сг\ 'Сп)=м(Си • С22)-М(С2\ •Си) =

= М(£п)-М(£22)-М(£21)-М(£12) = 0-0-0-0 = 0, оскільки за умовою М(Ху) = 0.

Обчислимо квадрат визначника А22  як добуток визнач-ників:

А2 =

A, -А, =

^2    ^2

Си-Си

Си<и

 

           

           

Си-Сп+Сп-Сп.Си-Сп+Сп-Сп

С21-Си+С22<21;С21<и+С22<22

(С2и+Си- Сгх Ж2і <и+ С22 )-(С2і-Си+С22- Сгх) х

X (£, • Си + С12 ■ С22) = С2П • C^2 + С212 • С221 - 2^„ • С22 • Сп ' £н •

Тоді    М(А2) = М(С 2п) -М(С 222) +М(С 2\2) -М(С 22і) --2М(Си)-М(С22)-М(Сп)-М(С21) = а2 -о2 +а2 -о2 -

-2 • 0• 0• 0• 0 = 2сг4, оскільки М(ф = a2, M(Q = 0. Таким   чином,   дисперсія   визначника   рівна:    D(A2)

= 2ст4-0 = 2ст4.

4.1.9. Нехай випадкова величина  С   набуває скінченне число невід’ємних значень хь х2..., хк. Довести, що,.     M(C"+1)         ,.     „   L    ,„п

а) hm— = maxx;; б) km  -JM(c   ) = maxx,.

»^« M(C")    ifi^        n^°°       lfi^

к

 

в) Випадкові величини ^-^2,...,^n набувають додатніх значень і однаково розподілені. Довести, що

к

М

= —    при    к < п. п

Сх +С2 +---Ск

Розв’язок.

И+1

ч ,.   м(с   )   ,.   ^,

а)  hm  = hm   l

х"+1 ■ рх + х"+1 • р2 + ■■■Хпк+Ї ■ рк

11111                11111           

и+1 п+\

 х2 \хі J

и^со М{£")     п^т    х" ■ рх + х2 ■ р2 +...хк ■ рк (поділимо на х"+1)

ґ       \п X.

Хі У

хі

Хі У

 Р\ +

р2 +.

Рк

 Рі+.

ґ        \п Хк

Хі

 

хГ

 хп

 inn

• р2 +.

■ Р\ +

Рі + •

в+1

\х"+1 J

чГ'/

х"

л

\    I      J

n+l

х2 I

X

И+1

■p2+...\-pt+.

I     '.Рі +

 

 ХіГО.

ґ          \п         ґ          \П

X,        1          X,        1

1          -Pi +                -?2

Хі  )        Хі

Хі  )        ХіХі

pi

хк  |       1

Хі )       Хі

Рк

 

Х\     Х2          Хк

Нехай xі – максимальне, тоді

,... — < 1; так що

Х,      Х,          Х,

 

lim

П—>со

 \1

х\ \хі J

^•0;...lim

f     \'

х\

х.

—» 0 і т. д.

,.       I  ,.    ( X,   I       ,           ,.    ( xt   I

hm —       -/^+Ііт —       ■p2... + l-pi... + hm —       -/>t

 

n

n

n

,.          X         1          ..          X,        1          1          X         1

hm —              p,+hm —         p2... + ..\—  •p,... + lim —-    —

»-«\x, J    x       ^\xt )    x          yxt )     n^\xi )    x

Pt0 + 0 + ...+

x,.,

 

P.- + 0 =P,-x,■ =x   де xt =maxx,.

!<!<*:

0-   pr.. +—... + 0       Fi

x          x.

б) Вираз під знаком кореня поділимо і домножимо на

           

!<!<£   П—>00

 П Xk

\Xi   J

 n

X! V  X!  J

= nm     «

max x": lim Jx"px + x"p2 +...x"pi +...x?p, lim x.

Pi   +•

Pk

A +•

lim x.

= nm       «

lim

V   X!    У

p1... + lim(l-/?.)+...lim

п—>ш

xk x.

At

           

           

хг lim Jo...+ #...+ 0 = хг lim(#)" = x!. • 1 = хг.

X,        X9       X,

Тут враховано, що скільки   — < 1, — < 1,...—< 1,   то

хг         хг         хг

Хк Х,

 п

Х1

lim

0     lim

хг

Члг У

ЧлгУ

0       і      оскільки       рі < 1 ,      то

^ + £, +...^

^СЛ    к

Тут враховано, що оскільки випадкові величини однаково розподілені, то М{Сі) = М(£2) = М(СІ) = М(£п).

1іт(д)" =1.

п—>со

в) М

£ + £,+...£„

 М

 

V   > J

т> і

м

—М(1) =—.

4.1.10. Дискретна випадкова величина Х має тільки 3 можливих значення: x1 = 1, x2 і x3, причому x1 < x2 < x3. Ймо-вірність того, що Х приймe значення x1 і x2, відповідно дорів-нює 0,3 і 0,2.

Скласти закон розподілу величини Х, знаючи її матема-тичне сподівання M(X) = 2,2 і дисперсію, яка рівна 0,76.Розв’язок.

Згідно    умови    задачі     p1 = 0,3;      p2 = 0,2;      x1 = 1; M(X) = 2,2;  D(X) = 0,76 . Необхідно обчислити p3,x2,x3.

Оскільки випадкова величина задана своїм законом розпо-ділу, то в ньому сума імовірностей дорівнює 1: p 1+p2+p3 =1.   Отже,   p3=1-(p1+p2) = 1-(0,3 + 0,2) =

= 0,5 .

Розпишемо   вирази   для   математичного   сподівання   і дисперсії:

M(X) = x 1 p 1 + x2p2 + x3p3;

D(X) = M(Х2)-M2(X) = x 12p1 +x22p2 + x3p3 -M2(X). Підставивши необхідні дані, отримаємо систему рівнянь:

Г0,3 • 1 + 0,2 • x2 + 0,5 • x3 = 2,2

[0,3 • 12 + 0,2 • x 22 + 0,5 • x 32 - ( 2,2 ) 2 = 0,76. Після спрощень система набуває вигляду:

;

 19-5x

0,2x2 + 0,5x3 = 1,9 -» x2 =0,2x2 + 0,5x3

5,3 -» 7x3 - 38x3 + 51 = 0.

Звідки x3 = 3, x2 = 2 .2Отже, розподіл випадкової величини має вигляд:

0,3

0,2

0,5

4.1.11. Дискретна випадкова величина Х має тільки два можливих значення: x 1 і x2, причому x 1 < x2. Ймовірність того, що X прийме значення x 1, рівна 0,2. Знайти закон розподілу Х, знаючи, що математичне сподівання M(X) = 2,6 та середнє квадратичне відхилення рівне 0,8.

Розв’язок.

х 1 < х2; р1 = 0,2; М(Х) = 2,6; σ(Х) = 0,8.

р2 = ? х 1 = ? х2 = ?Якщо випадкова величина Х задана своїм законом розпо-

n

ділу, то ^pi =1, отже, р2 = 1 - р1 =\ - 0,2 = 0,8.

i=\

Розпишемо вирази М(Х) і D{Х): M(X) = xхpх + x2p2 = 2,6;

и2(X) = D(X) = M(X2) -M2(X) = (0,8)2.

Підставивши дані, отримаємо:

[0,2xj + 0,8x2 = 2,6;

[0,2xj2 + 0,8x22 = (0,8)2 + (2,6)2 = 7,4;

fxj+4x2=13;    xj=13-4x2;

[(13-4x2)   +4x 2 =37,

або   5x2-26x2-33 = 0.   Розв’язавши  рівняння,  отри-

муємо: х 1 = 3, х2 = 3.

Розв’язок х 1 = 4,2, х2 = 2,2 не підходять, оскільки за умовою задачі х1 < х2.

4.1.12. Є перелік можливих значень дискретної випад-кової величини Х: x\= 1, x2 = 2, x3 = 3, а також відомі мате-матичні сподівання цієї величини і її квадрату: M(X) = 2,3; M(X2) = 5,9.

Знайти ймовірності, що відповідають можливим значен-ням Х

Розв’язок.

х 1 = 1; х2 = 2; х3 = 3; М(Х) = 2,3; М(Х2) = 5,9.

р 1, р2, р 3 -1

Для знаходження імовірностей складемо систему рівнянь:i       pi=1^\pі+p2+pз=\

M(X)   -^ hpг + 2p2 +3p3=2,3

M(X2) -^■[12p1+22p2+32p3=5,9 Підставивши дані, отримаємо:p1 + 2p2 + 3p3 = 2,3

px + 4p2 + 9p3 = 5,9

px+ p2+ p3=l

 

або

3p2 + %p3 = 4,9 p2 + 2p3 = 1,3

-31

 

 —

2p3 =l;p32

0,5; p2 =1,3-2-p3 =0,3;

P\ = 1 ~ (0,5 + 0,3) = 0,2.

Отже, px = 0,2;  p2 = 0,3; p3 = 0,5 .

4.1.13. Розподіл дискретної випадкової величини Х визна-чається формулами:к= 1, 2, ...

Р{Х = к}

к х (& +1) х (к + 2)

Знайти математичне сподівання випадкової величини Х

Розв’язок.

Задамо даний розподіл таблицею:3

 

хі     1

рі         4          4          4                      4

 

            1(1 + 1)(1+2)

4          2(2 +1)(2 + 2) 4          3(3 + 1)(3 + 2) 4        

            к(к + \)(к + 2)

 

            1-2-3   2-3-4   3-4-5  

           

 

11

Математичне сподівання випадкової величини Х обчисли-мо за формулою:

 +

 + 2-

 + 3-

1-

1-2-3 1

3-4-5 1

2-3-41 1

+          +          +

М(Х) = ^хірі =4

           

2-3    3-4    3-4    (£ + !)• (£ + 2)

 Ц- •

+ ..!•на суму

(к +1) • (к + 2)

В         „

або А(£ + 2) +

 +

к ■ (к +1) • (к + 2)

Розкладемо кожен з доданків

1          A

двох дробів:  —

(к + \)-(к + 2)    к + \    к + 2

+ В(к + 1) = 1, отже, (А + В)к + 2А + В = 1, і отримуємо сис-(А + В = 0;

тему рівнянь: <          розв’язавши яку, знаходимо: А = 1,

[2А + В = Г

В = - 1.

1                   1           1

Отже,             =          .  Підставимо отри-

(к +1) • (к + 2)     к +1    к + 2 маний вираз у математичне сподівання М(Х):

111111            1          1

+          +          + ...

           

М(Х) = 4 •

Гі       і

           

L2       к + 2

2    3    3    4    4    5       к+\    к+2  2-  4

 4- ■

к + 2

4.1.14. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини

Х - кількість появ події А в двох незалежних випробуваннях,

якщо ймовірності появи події в цих випробуваннях однакові і

відомо, щоМ(Х) = 0,9.

Розв’язок.

Згідно умови задачі п = 2, М(Х) = 0,9. Використаємо фор-мулу математичного сподівання для повторних незалежних випробувань: М(Х) = пр або 0,9 = 2р; звідки р = 0,45. Тоді D(X) = npq = 2 ■ 0,45(1 - 0,45) = 0,495.

4.1.15. Проводяться незалежні випробування з однаковою

ймовірністю появи події А в кожному випробуванні.

Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа появ події в 3 незалежних випробуваннях рівна 0,63.

Розв’язок.

Згідно умови задачі п = 3, D(Х) = 0,63. Використаємо формулу дисперсії для повторних незалежних випробувань:

D(Х) = npq = пр{\ -р); 0,63 = Зр(1 - р), або р2 - р + 0,21 = 0 . Розв’язавши квадратне рівняння, отримуємо: р1 =0,3; р2 = 0,7.4.1.16. Знайти середнє квадратичне відхилення числа

появ події в чотирьох повторних незалежних випробуваннях,

якщо математичне сподівання числа появ цієї події в п’яти не-

залежних випробуваннях рівне 7.

Розв’язок.

Для повторних незалежних випробувань математичне сподівання і дисперсія числа появ події відповідно рівні M(X) = nхp і D(X) = n2pq, де nх = 5; n2 = 4 . Підставив-

ши в формулу математичного сподівання М(Х) = 4, n = 5 (4 = 5р) отримаємо значення р = 0,8. Тоді q = 1 - p = 0,2. Отже,   D(X) = 4 • 0,8 • 0,2 = 0,64, звідки   <j(X) = -JD(X) =

= д/0,64 = 0,8 .

4.1.17. Три стрільці виконують по чотири постріли. Ймо-

вірність влучення кожного з пострілів для першого становить

0,8, для другого - 0,9, для третього - 0,85. Знайти мате-

матичне сподівання і середнє квадратичне відхилення загаль-

ного числа пробоїн у мішені.

Розв’язок.

Нехай Хі - число пробоїн у мішені зроблене і-тим стріль-цем,  де  і  =   1,   2,   3; Х -  загальне  число  пробоїн.   ТодіX = ^ Xi = X1 + X2 + X3. Отже, математичне сподівання:

i=\

3          3

M(X)=M(s£jXi) = 'YJ M(Xi) = M(X1 + X2 + X3) =

i=1       i=1

= M(XХ) + M(X2) + M(X3) .

Враховуючи, що для повторних незалежних випробувань M(Xi) = nipi, де ni =4;  pх = 0,8; p2 = 0,9; p3 = 0,85, от-

римаємо:

M(X) = 4 • 0,85 + 4 • 0,9 + 4 • 0,85 = 4(0,8 + 0,9 + 0,85) =

= 4-2,55 = 10,2.Дисперсія D(X) = Df£jXi = ^DiX;) = D(Xl +X2 +X3) =

/=i

/=1

D(Xl) + D(X2 ) + D(X3). Оскільки D(Xi) = щр^, де ql = 1 -pl = 0,2;    q2=l-

 

p2=0,l;     q3=l-p3=0,\5,    то     D(X) = 4 • 0,8 • 0,2 + + 4-0,9-0,1 + 4-0,85-0,15 = 4(0,16 + 0,09 + 0,1275 = = 4-0,3775 = 1,51.

Звідки u(X) = TJD(X) = д/1,51 = 1,229 . Отже, M(X) = 10,2 ; u(X) = 1,23 .

4.1.18. Дисперсія кожної з 25 однаково розподілених взаємно незалежних випадкових величин дорівнює 6,25. Об-числити середнє квадратичне відхилення середнього ариф-метичного цих величин.

Розв’язок.

« = 25; D(X) = 625.

а(Х) = yjD(X) , але

—      U Х,+Хп+.... + Х.+... + Х

D(X) = D\ —   -          -          -

v          п

D(XX +X2+.... + XJ+... + Xn)

zz        

n 2 Оскільки випадкові величини однаково розподілені, то D(XX) = D(X2 ) = ...D(X1).

nD(X.)    D(X)     625  ,

D(X) = "^ =-^ =          = 25 . Звідси,   <J(X) =

n2        n          25

 л/

25 =5.

4.1.19. Кидають n гральних кісток. Знайти математичне сподівання таких кидків, в кожному з яких випадає рівно m шісток, якщо загальне число кидків N.Розв’язок.

Імовірність Р того, що в одному підкиданні випаде рівно m шісток обчислимо за формулою Бернуллі:

УП      ш     п-т

Р = Сп pmq

льСпп

1     5

I   II оскільки імовірність випадання „6” рівна

p

то q = \-p = \ —

6          66

1 6

Нехай N – число таких підкидань. Оскільки всі підкидан-ня незалежні між собою і імовірності появи m шісток в

то математичне М(Х) сподіван-

rrr

кожному досліді рівні р

де N

Ь)

ня числа Х рівне М(Х) = NP = NCn число підкидань.

4.1.20. Двічі кидають монету. Описати простір елемен-тарних подій.

Нехай X - число появ “тризуба”. Знайти розподіл випад-кової величини, математичне сподівання М(Х) та дисперсію D(X).

Розв’язок.

Простір елементарних подій такий:

Q = {“цифра-цифра”, “цифра-тризуб”, “тризуб-цифра”, “тризуб-тризуб”}.

Нехай Х - число появ “тризуба”. Тоді:

т1    „,      1Ч    т    2    „,        т

Р(х = 0)

 

— = -; Р(х = \) = — = -; Р(х = 2) = — = —

п     4   и     4   и     4

Отже, даний закон розподілу має вигляд:

Хі        0          1        2

            1          2          1

Р          —        —        —

            4          4          4

274

Z

l     2    1    „ pi= —+ — + — = !; 4    4    4

M(X) = V xi pi =0       hi         h2- — = 1;

4       4        4

D(X) = M(X ) -M (X) = 0 • — + r • — + 2   r = —.

4          4          4          2

4.1.21. Випадкова величина X має розподіл:

 

X         -1        -0,5     -0,1     0          0,1       0,2       0,5       1,0       1,5       2

P          0,005   0,012   0,074   0.102   0,148   0,231   0,171   0,160   0,081   0,016

Обчислити:   P \x <

Розв’язок. 1

P<^|x| <-У = 0,012 + 0,074 + 0,102 + 0,148 + 0,231 + 0,171 =

= 0,738 - як сума імовірностей несумісних подій: (x = -0,5) + (x = -0,1) + (x = 0) + (x = 0,1) + (x = 0,2) + (x = 0,5) .

4.1.22. На фінансовому ринку представлені акції трьох видів (A, B, C. Норма прибутку акцій залежить від ринкової кон’юнктури (%). Проаналізувати ситуацію і вибрати тип акції, що найбільш приваблива для інвестора з точки зору міри її ризику. За величину ризику прийняти коефіцієнт варіації.

 

Види проектів           Оцінка можливого результату

 

            Песимістична             Стримана             Оптимістична

 

            Прибу-ток R1i           Ймовір-ність Р1і        Прибу-ток R2i           Ймовір-ність Р2і        Прибу-ток R3i            Ймовір-ність Р3і

А         59        0,25     29        0,53     19        0,22

В         49        0,3       39        0,45     29        0,25

С         39        0,27     29        0,5       19        0,23

275

Розв’язок.

1.         Визначимо сподівану норму прибутку m(R) для кож-

ного виду акцій:

п

М(R) = m(R) = ^Rj-Pi ■

і=\

M(RA) = 59-0,25 + 29-0,53 + 19-0,22 = 17,75 + 15,37 + 4,18 = = 34,3 (%);

M(RB) = 49-0,3 + 39-0,45 + 29-0,25 = 39,5 (%); M(RC) = 39-0,27 + 29-0,5 + 19-0,23 = 29,4 (%).

2.         Визначимо варіацію V(R) (дисперсію) норм прибутку

кожного виду акцій за формулою:

V(R) = D(R) = M(R2) - (M(R))2.

V(RA) = 592-0,25 + 292-0,53 + 192-0,22 - (34,3)2 = = 218,91 (%)2;

V(RB) = 422-0,3 + 392-0,45 + 292-0,25 - (39,5)2 = 54,75 (%)2;

V(RC) = 392-0,27 + 292-0,25 + 192-0,.23 - (29,4)2 = = 49,84 (%)2.

3.         Визначимо середні квадратичні відхилення сг(і?) від

сподіваних норм прибутків кожної акції або їх ризики за фор-

мулою:

a(R) = -yjD(R).

a(RA) = д/218,91 = 14,8(%); a(RB) = 754,75 = 7,4(%);

a(Rc) = д/49,84 = 7,06(%).

4.         Обчислимо коефіцієнти варіацій CV, як величину ри-

зику, що припадає на одиницю прибутку за формулою :

 a(R)

CV =   .

m(R)

14,8

CV(RA) =       = 0,432;

34,37,4

CV(RВ) =       = 0,187;

39,5

7,06

CV(RС)=        = 0,24.

29,4

Висновок: Потрібно вибрати акцію виду В, оскільки для неї коефіцієнт варіації, а отже і ризик, найменший.