4.1. Закони розподілу дискретних випадкових вели-чин. Їх числові характеристики


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

Законом розподілу дискретної випадкової величини на-

зивають відповідність між можливими значеннями і їх імовірностями. Його задають таблично, графічно чи аналітич-но (у виді формул). Сума імовірностей закону розподілу до-

рівнює 1:  ^pi=l або ^ pi = 1, якщо множина можливих

i=\        i=\

значень дискретної випадкової величини зліченна.

Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла друга величина. В протилежному випадкувипадкові величини є залежними. Декілька випадкових вели-чин називаються взаємно незалежними, якщо закони розпо-ділу будь-якого числа з них не залежать від того, які можливі значення набула решта величин.

Добутком незалежних випадкових величин Х та Y нази-вають випадкову величину ХY, можливі значення якої рівні всеможливим добуткам співмножників Х і Y. Імовірності цих добутків рівні добуткам імовірностей відповідних співмнож-ників. Якщо деякі добутки ХіГі рівні між собою, то імовірність цього добутку рівна сумі імовірностей цих добутків.

Сумою випадкових величин Х і Y називають випадкову величину Х + Y, можливі значення якої рівні всеможливим су-мам з доданків Х та Y. Імовірності цих сум рівні добуткам імовірностей доданків; для залежних величин - добуткам імо-вірностей одного доданку на умовну імовірність другого, якщо деякі суми рівні між собою, то імовірність такої суми рівна сумі відповідних імовірностей доданків.

Математичним сподіванням дискретної випадкової ве-личини називають суму добутків всіх її можливих значень на їх імовірності:

П

M(X) = xlpl +х2р2 +... + хпрп =^jxipi      (4.1.1).

і=\

Якщо дискретна випадкова величина Х приймає зліченну множину можливих значень, то М(Х) = /^ xtpt   при умові,

і=\

що ряд збігається абсолютно. Математичне сподівання при-близно рівне середньому арифметичному спостережних зна-

чень випадкової величини: М(Х) « X .

Властивості математичного сподівання:

1.         Математичне сподівання сталої величини є сама ця стала: М{С) = С.

Сталий множник можна виносити за знак математич-ного сподівання: М(СХ) = СМ(Х).3.            Математичне сподівання добутку двох незалежних ви-

падкових величин дорівнює добутку їх математичних споді-

вань: M(XY) = M{X)M{Y).

Наслідок. Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: M(XYZ... U) = M(X)M(Y)M(Z)...M(U).

4.         Математичне сподівання суми двох випадкових

величин дорівнює сумі їх математичних сподівань: М(Х + Y) =

= M(X) + M(Y).

Наслідок 1. Математичне сподівання суми скінченного числа випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

М(ХХ +Х2+... + Хп)=М(Х1)+М(Х2) + ..М(Хп).

Наслідок 2. Математичне сподівання різниці двох випад-кових величин дорівнює різниці їх математичних сподівань: М(Х- Y) = М(Х) - M(Y).

Для визначення міри розсіяння (розкиданості) значень випадкової величини навколо її математичного сподівання вводять поняття дисперсії.

Дисперсією D(X) випадкової величини Х називають мате-матичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання М(Х): D{X) =М[Х-М(Х)]2 (4.1.2).

Використання властивостей математичного сподівання приводить до розрахункової формули для обчислення дисперсії:

D(X) = М(Х2)-[M(X)f ='^x?pi-\£xipj  (4.1.3).

Дисперсія має розмірність квадратних одиниць вимірю-ваної величини. Щоб отримати розмірність міри розсіювання в одиницях вимірюваної величини розглядають квадратний

корінь  з дисперсії   сг(Х) = -JD(X) (4.1.4), який називають

середнім квадратичним відхиленням, або стандартом. Властивості дисперсії:

1. Дисперсія будь-якої випадкової величини невід’ємна: D(X) > 0.Наслідок. Для будь-якої випадкової величини (M(X))2 <M(X2).

2.         Дисперсія сталої дорівнює нулю: D(C) = 0.

3.         Сталий множник можна винести за знак дисперсії, під-нісши його до квадрату: D(CX) = C2D(X).

4.         Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Наслідок 1. Дисперсія суми попарно незалежних випад-кових величин ХиХ2, ... Хn незалежних у сукупності, дорівнює сумі їх дисперсій: D{XX + X2 + ... + Xn) = D{XX) + D(X2) + ... + + D(Xn).

Наслідок 2. Дисперсія суми постійної величини і випад-кової дорівнює дисперсії випадкової величини: D(C + X) = = D(X).

5.         Дисперсія різниці двох незалежних випадкових вели-

чин дорівнює сумі їх дисперсій: D(X - Y) = D(X) + D(Y).

Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми скінчен-ного числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин:

сг(X1+X2+... + Xn) = л/сг2(X1) + сг2(X2) + ... + сг2(Xn) (4.1.5).

Якщо декілька випадкових величин мають однакові розподіли, то їх числові характеристики (математичне сподівання, дисперсія, і т. д.) однакові.

1. Математичне сподівання середнього однаково розподі-лених взаємнонезалежних випадкових величин дорівнює ма-тематичному сподіванню а кожної з величин:

M(X) = a.

Дисперсія середнього арифметичного n однаково розподі-

лених взаємно незалежних випадкових величин в n раз менше

—      D(X) дисперсії D(Xі) кожної з величин: D(X) =i      (4.1.6).

N