Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

3.5.1. При встановленому технологічному процесі ймовір-ність бракованих виробів дорівнює 0,015.Визначити ймовірність того, що частота бракованих виро-бів серед 1000 виготовлених штук буде відрізнятися від ймо-вірності виготовлення бракованого виробу не більше, ніж на 0,005 в ту чи іншу сторону.

Як зміниться результат, якщо замість 1000 шт. взяти 625?

Розв’язок.

 

m

n

Згідно формули Лапласа дана імовірність рівна:

 

P

p

<s

 

n

pq

Л

 

Підставивши числові дані: ε = 0,005; р = 0,015; q = 0,985; n1 = 1000; n2 = 625, отримаємо:

 

mP

0,005,

 

\

 

0,005.

^

-0,015

 

< 0,005

m

P2

1000 2Ф(і,30079) = 2 • 0,4033 = 0,807;

 

-0,015

< 0,005

 

0,015-0,985 625

 

0,015-0,985

2Ф(і,0284) = 2 • 0,3481 = 0,6962 .

3.5.2. Французький вчений Бюффон (XVІІ ст.) кинув мо-нету 4040 разів, причому “герб” з'явився 2048 разів.

Знайти ймовірність того, що при повторенні досліду Бюффона відносна частота появи “герба” відхилиться від ймовірності появи “герба” за абсолютною величиною не біль-шою, ніж в досліді Бюффона.

Розв’язок.

Згідно умови задачі n = 4040; m = 2048, р = 1/2 –

імовірність випадань “герба”, q = 1/2 – імовірність невипадань

p

m “герба”. Величина відхилення ε відносно частоти      від імо-

вірності р в досліді Бюффона рівнат пp

           

           

0,5

є =

 

0,5069-0,5 =0,0069.Тоді  шукану  імовірність  обчислимо  згідно  формули

P

т п

p

           

п pq

Підставивши необхідні дані,

 

0,0069.

отримаємо:

 

т

( Р

0,5

2ч?

 

< 0,0069

j

V

2048  2Ф(0,8771) = 2 • 0,30976 = 0,6195.0,5 • 0,5

           

3.5.3. В ящику містяться білі і чорні кульки у співвідно-шенні 4:1. Після вилучення кульки реєструється її колір і кулька повертається в ящик.

Чому дорівнює найменше число вилучень п, при якому з ймовірністю 0,95 можна сподіватися, що абсолютна величина відхилення відносної частоти появи білої кульки від її ймовірності буде не більшою, ніж 0,01.

Розв’язок.

Імовірність появи білої кульки в кожному вилученні рівна

4       4 р =—  = — = 0,8 . Використаємо формулу:

4 + 1     5

P

т

п

 

p

 

<є) = 2Ф

\

п

pq

 

= Р.

У задачі/? = 0,8, q = 0,2; є = 0,01. Отже,

< 0,01

P

-0,8

 

= Р = 0,95 .

,       В    0,95

Тоді,   Ф(і) = — =      = 0,475 . З таблиць інтегральної

2       2

функції знаходимо t = 1,96.п

Отже,    є

\ РЧ 6146,56*; 6147.

t ,   звідки   n

t2pq    1,962-0,8-0,2

є2

0,012

           

3.5.4. При штампуванні отримуємо 60% деталей першого гатунку, 30% - другого і 10% - третього.

Визначити, скільки потрібно взяти відштампованих дета-лей, щоб з ймовірністю - 0,8, можна було б стверджувати, що частка деталей першого сорту буде відрізнятись від ймовірності виготовлення деталей першого гатунку за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,005.

Розв’язок.

Вказівка: р = 0,6; q = 0,4; є = 0,005;

P

P

 

0,6

т п

p

т п

 

< 0,005

           

0,8.

п

Л

pq

0,8.

0,8

0,2

Ф(x)

0,4 —» Ф(х) = 0,4 .   З  таблиці  інтегральної

п

функції знаходимо х = 1,281. Отже, 0,005

= 1,281, звідки п = 15766.

0,6 • 0,4

\

3.5.5. Для космічного корабля імовірність зіткнення про-тягом однієї години з метеоритом, маса якого не менше від m0, дорівнює 0,001. Знайти практично вірогідні межі числа зіткнень з такими метеоритами протягом трьох місяців польо-ту з 1 червня по 31 серпня, якщо імовірність практичної віро-гідності приймається в цьому випадку рівною 0,9995.Розв’язок.

Кількість годин у трьох місяцях з 1 червня по 31 серпня складає п = 24 • 92 = 2208. Це і буде число повторних неза-лежних випробувань. Імовірність настання події (зіткнення) в кожному випробуванні (протягом години) рівна р = 0,001, отже q = 1 - р = 0,999.

Тоді згідно інтегральної теореми Маура-Лапласа імовір-ність того, що частота події відхилиться від її імовірності в кожному випробуванні не більше, ніж на ε, рівна:

т

п

P

p

= Д

 

п

<є)=2Ф

pq

Користуючись таблицею інтегральної функції, знайдемо таке t, щоб Ф(і) = —. Тоді, згідно з формулою, дістанемо:

п pqt , звідки  Є = t

є

п pq

Згідно   умови   задачі   β=0,9995.   Отже,   Ф(t)

Р

 

0,99950,49975 . З таблиць знаходимо t = 3,5, звідки

 /0,001-0,999

s = 3,5.            = 0,0023542

V       2208

т п

p

З нерівності

< є)   випливає   р-є < — < р + є

п

або п(р-є)<т< п(р + є).

Підставивши необхідні дані, отримаємо межі, в яких зна-ходиться число настання події т:

2208(0,001 - 0,0023542) < т < 2208(0,001 + 0,0023542) або 0 < т < 7.

3.5.6. У ставок було випущено 100 мічених риб. Невдовзі після цього із ставка було виловлено 400 риб, серед яких виявилось 5 мічених. Оцінити загальну кількість риб у ставку з імовірністю: а) 0,9; б) 0,6.

Розв’язок.

Згідно з інтегральною теоремою Муавра-Лапласа:

m n

m

n

(пункт б).

n pq

 

m n

де М = 100, N – шукана

величина.

а) З таблиць інтегральної функції знаходимо значення t =

0,9

           

 

P

p

 

<є\^2Ф

P

p

 

< Є > = 0,9   (пункт а)  і   P

M

N

 

п pq

 

Тут, m = 5, n = 400, p

= 1,645, при якому Ф(ґ) = Ф

 

p

<s> = 0,6

0,45 . Таким чи-

 

ном,

1,645 = spq

Імовірність р відрізняється від частоти

т       5        1

— =     = — на величину є, значення яких поки що не-

п     400     80

відомі, але які можна знайти, розв’язавши квадратне рівняння.

 /й        1

Нехай р =       є =       є = 0,0125 -є,  тоді  q = 1-p = 1-

п          80

1          79

 

— + є = — + є = 0,9875 + є і рівняння має вигляд:

80        80

/(0,0125 - £г)(0,9875 + є)

є = t ■  ^          або

V         400

400s2 = t2(0,012344-0,975s-s2) .Спростивши      вираз,      отримуємо:       402,706025s2 + + 2,638374s-0,0334903 = 0, звідки s =0,006403.

Отже,N

 

0,0125

< 0,006403, що рівнозначно:0,0125 - 0,006403 <  < 0,0125 + 0,006403 або

N0,006097 <  < 0,018903 . Тому значення 7Vзнаходиться в

N

межах: 5290,17 < N < 16402.

т                                            

Нехайр = —\-є = 0,0125 + є; q = 0,9875-є. п

Тоді рівняння має вигляд:

/(0,0125 + £г)(0,9875 - є)

s = t ■

л                        ;

V         400

Тоді 100або   402,706025s2 - 2,638374s - 0,033403 = 0,   звідки s =0,012955.

-0,0125

< 0,012955, або 0,0125 - 0,012955 <

N

< 0,012955+ 0,0125   звідки   JV>3929.   Враховуючи

N

обидві нерівності остаточно отримуємо: 5290 < N < 16409 . Аналогічно  для  пункту  б)  знаходимо   t = 0,8418,  для

якого

P

т

 

п

p

 

<є}=2Ф

п

pq

0,6.

т

Для р =           є = 0,0125 -s і q = 0,9875 + s , рівняння

п

має вигляд:

400,70861s2 + 0,6908948s - 0,008747082 = 0,      звідки s =0,0038889.Тоді 100N

 

0,0125

 

< 0,0038889,     або     0,0086111 <

N

< 0,0163889, звідки 6102 < N < 11613.

т

Для р = — + є = 0,0125 + є і q = 0,9875 -є , рівняння п

має    вигляд:     400,70861s2 - 0,6908948s - 0,00874708 = 0,

Тоді 100або

звідки є =0,005613.

0,0125

0,006887 <

 

< 0,005613,

N

≤ 0,018133, звідки  5521 ≤ N ≤ 14521.  Враховуючи

N

обидві нерівності, весь діапазон значень N буде такий: 5521 ≤ N ≤ 14521. чи 6102 ≤ N ≤ 11613.Частина ІІ Випадкові величини