Warning: session_start() [function.session-start]: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_da5f7d70552393d2fd08730eeb60a86d, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cookie - headers already sent by (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: session_start() [function.session-start]: Cannot send session cache limiter - headers already sent (output started at /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php:6) in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 7

Warning: file_get_contents(files/survey) [function.file-get-contents]: failed to open stream: No such file or directory in /var/www/nelvin/data/www/ebooktime.net/index.php on line 82
Задачі : Теорія ймовірностей та математична статистика : Бібліотека для студентів

Задачі


Повернутися на початок книги
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 

Загрузка...

3.3.1. Монету кинуто 2іУразів (N - велике!).

Знайти ймовірність того, що "герб" випаде рівно іУразів.

Розв’язок.

Маємо повторні незалежні випробування, в кожному з

яких імовірність появи “герба” рівна р = —, отже q = \-р =1

=          імовірність непояви  герба . Оскільки за умовою числовипробувань п = 2N - велике, для обчислення даної імовір-ності скористуємось локальною формулою Лапласа:r,k, ,ч        1       ,     к-пр

Рй, (Л) =         j3(x), де х =р^. Отже,

P2N (N)

„,,  1   1

Л,2І\Ґ 

V        2  2

V2       0,5642

р= • 0,3989 =      ,—   .

:<Р

N-2N--2

^2JV   

V        2  2

           

л/2

(Р\ 0)3.3.2. Moнету кинуто 2n разів. Знайти ймовірність того, що “герб” випаде на m разів більше, ніж напис. Розв’язок.

 

Імовірність випадання “герба” і “напису” рівна  pНайімовірніше число випадань “напису” в 2и випробуваннях

1 рівна к0 = 2п- — = п. Необхідно обчислити імовірність того,

2 що в 2п випробуваннях “герб” випаде  к = к0+т = п + т . Використаємо локальну формулу Муавра-Лапласа:

 

P2n (n + m)

„     1   1

л,2п    

V       2   2

:(Р

п + т-2п-

„     1   1

ЛІ2п   

V       2   2

 

Ї2

3.3.3. В урні містяться порівну білі і чорні кулі. В одному з експериментів при 10000 витягувань з поверненням було витягнуто 5011 білих і 4989 чорних куль: а) яка ймовірність такого результату експерименту? б) якщо повторити цей експеримент, то яка імовірність того, що дістанемо більше по модулю відхилення числа витягнутих білих куль за найімо-вірніше число?Розв’язок.

а) Необхідно обчислити імовірність події А, яка полягає в тому, що при n = 10000 повторних незалежних випробуваннях (оскільки кулі повертають назад в урну, то імовірність кож-ного витягання-випробування стала) було витягнуто 5011 бі-лих або 4989 чорних куль. Але в урні білих і чорних куль порівну, тому імовірність витягання білої чи чорної кулі рівна 0,5.

k-npІмовірність події А обчислимо за локальною формулою Лапласа:

де

-cp

Pnk (A)

^Jnpq     {-Jnpq n = 10000,/? = 0,5; g = 0,5 . Нехай k = 5011, тоді

P5011 (A)

10000

1          /5011-10000-0,5

д10000-0,5-0,5     ^-710000-0,5-0,5 = 0,02<p(0,22) = 0,02 • 0,3894 = 0,007788.

б) Спочатку обчислимо найімовірніше число появи білих куль в 10000 випробуваннях: np-q<k0 < пр + р або в чис-

лах:    10000-0,5-0,5 < к0 < 10000 -0,5 + 0,5.    Отже,   к0   =

= 5000 = пр.

Необхідно обчислити імовірність того, що величина від-хилення А більша за величину відхилення отриману в експе-рименті: A > І5011 - 5000І, тобто A > 11.

Перетворимо вираз Р\\т -пр\<А) = Р

т п

p

A

п

 

P

p

 

\

п pq

Таким чином, прийшли до відомої формули імовірності величини відхилення частоти від імовірності настання події в A

кожному випробуванні. Підставивши необхідні дані: є = — =

п

10000

( 0,0011

0,0011; да = 5011; пр = 5000;  р = 0,5;  q = 0,5 у

формулу, отримаємо: р(І5011-5000І <1і)=2Ф 0 0011   1000° = 2Ф(0,22) = 2 • 0,087 = 0,1742.

3.3.4. Ймовірність влучення в мішень при одному пострі-лі рівна 0,01.

Знайти наближене значення ймовірності того, що при 100 пострілах буде не менше 3 влучень.

Розв’язок.

р = 0,01; q =  1 - 0,01  = 0,99;   3<£<100;   и = 100;

Р100(3<к<100) = 1

I           спосіб. Оскільки п не є малим, скористуємось інтеграль-

ною теоремою Лапласа:

 ,          Л ЮО-100-0,01 ^І   J,     3-100-0,01   ^

Р 100 (3 < к < 100) = Ф    ,    - Ф\    ,

^ VI00 -0,01- 0,99 J      у уі 00 • 0,01- 0,99 у

= Ф(39) - Ф(2,01) = 0,5 - 0,4777 = 0,0223.

II         спосіб. Скористуємось формулою Пуассона, оскільки

X = пр = 100 х 0,01 = 1 < 10.

Тоді Р100 (3 < к < 100) = 1 - [Р100 (к = 0) + Р100 (к = 1) + + Рш(к = 2)1 де Рш(к = 0) = — е   =1x0,367888;

Рwo(k = \) = -e   =1-0,36788;

 ,,         I2   -1      1

Рию(к = 2) = — е   =-0,36788.

2!         2

Отже, Р100(3 < к < 100) = 1 - (0,36788 + 0,36788 +

+ -0,36788) = 0,0803ІІІ спосіб. Скористуємось точною формулою Бернуллі, де Р100{к = 0) = С000(0,01)00,99100~0 = 0,36603;

Р100(к = 1) = С1100(0,01)1(0,99)1004 = 100-0,01 • 0,36973 = 0,36973

Р100(к = 2) = С1200(0,01)2(0,99)100"2 = 0,18486

Тоді        Р100 (3 < к < 100) = 1 - [Р100 (к = 0) + Р100 (к = 1) +

+ Р100 (к = 2)] = 1 - (0,36603 + 0,36973 + 0,18486) = 1 -

-0,92062 = 0,07938.

Як видно з обчислень, формула Пуассона дає дуже близь-кі результати до точної формули Бернуллі. Результат, отри-маний з інтегральної теореми Лапласа дещо відрізняється внаслідок недостатньо великого числа п.



Warning: Unknown: open(/var/www/nelvin/data/mod-tmp/sess_da5f7d70552393d2fd08730eeb60a86d, O_RDWR) failed: Permission denied (13) in Unknown on line 0

Warning: Unknown: Failed to write session data (files). Please verify that the current setting of session.save_path is correct (/var/www/nelvin/data/mod-tmp) in Unknown on line 0